2020北师大版高中数学选修2-1《命题(二)》学案（含答案）

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1、 1 命命 题题(二二) 学习目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决 问题.3.会判断四种命题的真假性. 知识点一 四种命题间的关系 知识点二 四种命题间的真假关系 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系： (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 1.两个互逆命题的真假性相同.( ) 2.原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.( ) 3.在四种命题中，真命题的个数为 0 或 2 或

2、 4.( ) 题型一 四种命题的真假判定 例 1 (1)下列命题中为真命题的是( ) “正三角形都相似”的逆命题； “若 m0，则 x2xm0 有实根”的逆否命题； “若 x 2是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题. A. B. C. D. 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 B 解析 原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命 题. 原命题的逆否命题为“若 x2xm0 无实根，则 m0”. 方程无实根，判别式 14m0，则 ab0.它为真命题. 所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题. (2)原命题与其逆命题“若 a，b 都为

3、0，则 a2b20”均为真命题，所以原命题的逆否命题 与否命题也均为真命题. 题型二 等价命题在证明中的应用 例 2 判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集是空 集，则 a0， 即抛物线与 x 轴有交点， 所以关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集不是空集， 故原命题的逆否命题为真. 方法二 先判断原命题的真假如下： 因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集为空集， 所以不等式对应方程的判别式 (2a1)24(a22)4a7|y|”的逆命题 B.命题“若 x1，则 x21”的否命题 C.命题“若 x

4、1，则 x2x20”的否命题 D.命题“若 x21，则 x1”的逆否命题 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 A 解析 对 A，即判断：若 x|y|，则 xy 的真假，显然是真命题. 3.给出命题：若函数 yf(x)是幂函数，则它的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、 逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数 答案 C 解析 原命题是真命题，因为幂函数的图像不过第四象限，反过来，图像不过第四象限的函 数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题；根据等价命题的真假性相同可知，否

5、命题为假命 题，逆否命题为真命题，故选 C. 4.证明“若 x2y22，则 xy2”时，可以转化为证明( ) A.若 xy2，则 x2y22 B.若 xy2，则 x2y22 C.若 x2y22，则 xy2 D.若 xy2，则 x2y22 考点 逆否证法 题点 逆否证法 答案 B 解析 由于原命题与其逆否命题的真假性相同， 所以可以转化为证明“若 xy2，则 x2y22”， 故选 B. 5.写出命题“若 x2(y1)20， 则 x2 且 y1”的否命题， 并判断该命题的逆命题、 否命题、逆否命题的真假. 考点 四种命题间的相互关系 题点 写出四种命题利用四种命题关系判断真假 解 否命题：若 x2(y1)20，则 x2 或 y1，真命题， 其逆命题是真命题， 又原命题为真命题， 其逆否命题是真命题. 1.四种命题之间的相互关系 2.互为逆否的命题真假性相同 在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明 原命题为真(假)命题.