2020北师大版高中数学选修2-1《命题(一)》学案（含答案）

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1、 1 命命 题题(一一) 学习目标 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若 p，则 q”的形式. 3.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题. 4.理解并掌握四种命题 之间的关系，对给出的命题，会运用四种命题的相互关系来予以处理 知识点一 命题的定义及分类 1.命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作 命题. 2.命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命 题. 3.分类 命题 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 思考 下列哪些是命题，哪些不是命题. (1)x4.

2、(2)小明有可能生病了. (3)垂直于同一条直线的两直线一定平行吗？ (4)地球是太阳系的行星. (5)空集是任何集合的真子集. 答案 (4)(5)命题，(1)(2)(3)不是命题. 知识点二 命题的结构 1.命题的一般形式为“若 p，则 q”.其中 p 叫作命题的条件，q 叫作命题的结论. 2.确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若 p，则 q”的形式. 特别提醒：数学上有一些命题虽然表面上不是“若 p，则 q”的形式，但可以将它的表述作适 当改变，写成“若 p，则 q”的形式，从而得到该命题的条件和结论. 知识点三 四种命题 四种命题的定义如下表所示 名称 阐释 互逆命题 对于两个命题

3、，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题.其中一个命题叫作原命题， 另一个叫作原命题的逆命题 互否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否 定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫作互否命题.如果把其中的一个 命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题 互为逆否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否 定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中的 一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题 1.含有变量的语句也可能是命题.( ) 2.如果一个陈述句判断

4、为假，那么它就不是命题.( ) 3.有些命题在形式上可以不是“若 p，则 q”的形式.( ) 4.命题“若 ab，则 a2b2”的否命题是“若 a2b； 命题“若 a，b 是无理数，则 ab 是无理数”是真命题； 直线 x 2是函数 ysin x 的一条对称轴. 其中为真命题的是_.(填序号) 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 解析 结合函数 f(x)2x的单调性，知为真命题；由 2 20 可知是假命题；而函 数 ysin x 的对称轴方程为 x 2k，kZ，故为真命题. 反思感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命题为真命题， 需进行论证，而要判断一

5、个命题为假命题，只需举出一个反例即可. 跟踪训练 2 给定下列命题： 若 k0，则方程 x22xk0 有实数根； 若 ab0，cd0，则 acbd； 对角线相等的四边形是矩形； 若 xy0，则 x，y 中至少有一个为 0. 其中是真命题的为_.(填序号) 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 解析 中，当 k0 时，44(k)44k0，所以为真命题； 由不等式的乘法性质知命题正确，所以为真命题； 如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以是假命题； 由等式性质知命题正确，所以是真命题. 题型二 命题的结构形式 例 3 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假. (1)能被 6

6、 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧. 考点 命题的结构形式 题点 改写成标准的若 p 则 q 形式 解 (1)原命题可以写成： 若一个数能被 6 整除， 则它既能被 3 整除也能被 2 整除.这个命题是 真命题. (2)原命题可以写成： 若一条直线是弦的垂直平分线， 则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧， 这个命题是真命题. 反思感悟 将命题改写为“若 p，则 q”形式的方法及原则 跟踪训练 3 指出下列命题中的条件 p 和结论 q，并判断各命题的真假. (1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分； (2)若 a0，b0，则 ab0

7、； (3)面积相等的三角形是全等三角形. 考点 命题的结构形式 题点 区分命题的条件和结论 解 (1)条件 p：四边形是平行四边形，结论 q：四边形的对角线互相平分.真命题. (2)条件 p：a0，b0，结论 q：ab0.真命题. (3)条件 p：两个三角形面积相等，结论 q：它们是全等三角形.假命题. 题型三 四种命题的书写与辨析 例 4 写出下列各个命题的逆命题、否命题以及逆否命题. (1)若 sin 1 2，则 tan 3； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当 1b 时，acbc”.把该命题改写成“若 p，则 q”的形式，并写出该命 题的否命题. 解 该命题的“若 p，则

8、 q”的形式为已知 c0，若 ab，则 acbc，其否命题为已知 c0， 若 ab，则 acbc. 素养评析 (1)将含有大前提的命题改写成“若 p，则 q”的形式时，要注意其书写格式为 “大前提，若 p，则 q”，对含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变. (2)掌握命题的基本形式和规则是进行逻辑推理的前提和基础，有利于培养学生有条理，合乎 逻辑的思维素养. 1.下列语句为命题的是( ) A.2x50 B.求证对顶角相等 C.0 不是偶数 D.今天心情真好啊 考点 命题的定义 题点 命题的定义 答案 C 解析 结合命题的定义知 C 为命题. 2.下列命题为真命题的是( ) A

9、.若1 x 1 y，则 xy B.若 x21，则 x1 C.若 xy，则 x y D.若 xy，则 x2y2 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 A 解析 对于 A，若1 x 1 y，则 xy； 对于 B，若 x21，则 x 1； 对于 C，若 xy0，则 x与 y均无意义； 对于 D，若 x2，y1，满足 xy2. 故选 A. 3.已知命题 ： 如果 x3， 那么 x5， 命题 ： 如果 x3， 那么 x5， 则命题 是命题 的( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.无关命题 考点 四种命题的概念 题点 四种命题定义的应用 答案 B 解析 命题 ：如果 x3，那么 x

10、5；命题 ：如果 x3，那么 x5，即对命题 的条件和结 论同时进行否定，则命题 是命题 的否命题. 4.已知不等式 x30 的解集是 A，则使得 aA 是假命题的 a 的取值范围是_. 考点 命题的真假判断 题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 (，3) 解析 x30，Ax|x3. 又aA 是假命题，即 aA，a3. 5.将命题“正偶数不是质数”改写成“若 p，则 q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否 命题. 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题 解 原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数. 逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数. 否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数. 逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数. 1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真 命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的， 可以写成“若 p， 则 q”的形式.含有大前提的命题写成 “若 p，则 q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件 p 中.