2019-2020学年江西省宜春市高安市八年级（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020 学年江西省宜春市高安市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分每小题只有一个正确选项）分每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）已知三角形的三边长分别为 4，5，x，则 x 不可能是（ ） A3 B5 C7 D9 2 （3 分）在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）已知：点 P（2，4） ，与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （2，4） B （2，4） C （2，4） D （4，2） 4 （3 分）下列各图中 a、b、c 为三角形的边长，

2、则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC 一 定全等的是（ ） A甲和乙 B乙和丙 C甲和丙 D只有丙 5 （3 分）如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在ABC 外的 A处，折痕 为 DE如果A，CEA，BDA，那么下列式子中正确的是（ ） A2+ B+2 C+ D180 6 （3 分）如图，已知：ACBC，DCEC，ACBECD90，现有下列结论： BDCAEC； 若EBD38，则AEB128；BDAE；AE 所在的 直线BD其中正确的有（ ） 第 2 页（共 29 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，

3、每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为 8 （3 分）如图，已知 ABDC，ADBC，EF 在 DB 上两点且 BFDE，则图中全等三 角形的对数为 对 9 （3 分）如图的 24 的正方形网格中，ABC 的顶点都在小正方形的格点上，这样的三 角形称为格点三角形，在网格中与ABC 成轴对称的格点三角形一共有 个 10 （3 分） “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定，O

4、CCDDE，点 D、E 可在槽中滑动若BDE 75，则CDE 的度数是 11 （3 分）如图，ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时，CPE 的度数是 第 3 页（共 29 页） 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（0，6） ， 点 C 在 x 轴上运动（不与点 A 重合） ，点 D 在 y 轴上运动（不与点 B 重合） ，当以点 C、 O、D 为顶点的三角形与AOB 全等时，则点 D 的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，每小

5、题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分） （1）一个多边形的内角和比四边形的外角和多 540，求这个多边形的边数 （2）如图，已知AD，COBO，求证：AOCDOB 14 （6 分）如图是雨伞开闭过程中某时刻的截面图，伞骨 ABAC，支撑杆 OEOF，AB 2AE，AC2AF当 O 沿 AD 滑动时，雨伞开闭雨伞开闭过程中，BAD 与CAD 有何关系？请说明理由 15 （6 分）如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是BAC、ABC 的平分 第 4 页（共 29 页） 线，BAC50，ABC60，试求EAD+ACD 的度数 16 （6 分）如图，

6、在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E （1）若A40，求EBC 的度数； （2）若 AD5，EBC 的周长为 16，求ABC 的周长 17 （6 分）如图，在ABE 中，AEBE，请你仅用无刻度的直尺按要求作图 （不写作法， 保留作图痕迹） （1）如图 1，点 C，D 分别为 AE，BE 的中点，作出 AB 的垂线； （2）如图 2，EFAB 于点 F，点 C 为 AE 上任意一点，在 BE 上找出一点 D，使 ED EC 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）如图，在ABC 中，

7、AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CF AB 交 ED 的延长线于点 F （1）求证：BDECDF （2）当 ADBC，AE1，CF2 时，求 AC 的长 第 5 页（共 29 页） 19 （8 分）如图，点 D 是AOB 内一点，点 E，F 分别在 OA，OB 上，且 OEOF，DE DF，OED+OFD180， （1）请作出点 D 到 OA，OB 的距离，标明垂足； （2）求证：OD 平分AOB； （3）若AOB60，OD6，OE4，求ODE 的面积 20 （8 分）如图，在ABC 中，BAC120，ABAC4，ADBC，延长 AD 至点 E， 使得 AE2

8、AD，连接 BE （1）求证：ABE 为等边三角形； （2）将一块含 60角的直角三角板 PMN 如图放置，其中点 P 与点 E 重合，且NEM 60，边 NE 与 AB 交于点 G，边 ME 与 AC 交于点 F求证：BGAF 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分）已知射线 AP 是ABC 的外角平分线，ABAC，连结 PB、PC （1）如图 1，若 BP 平分ABC，且ACB30，请直接写出：APB ； （2） 如图 2， 若过点 P 作 PMBA 交 BA 延长线于 M 点， 且BACBPC， 求： 第 6 页（

9、共 29 页） 的值 22 （9 分）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形 互为“等角三角形” 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线 段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形， 另一个与原来三角形是 “等角三角形” ， 我们把这条线段叫做这个三角形的 “等角分割线” 理解概念 （1） 如图 1， 在 RtABC 中， ACB90， CDAB， 请写出图中两对 “等角三角形” 概 念应用 （2）如图 2，在ABC 中，CD 为角平分线，A40，B60 求证：CD 为ABC

10、的等角分割线 （3）在ABC 中，A42，CD 是ABC 的等角分割线，直接写出ACB 的度数 六、 （本大题六、 （本大题 12 分）分） 23 （12 分）直线 CD 经过BCA 的顶点 C，CACBE，F 分别是直线 CD 上两点，且 BECCFA （1） 【数学思考】 若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若BCA90，90，求证：EFBEAF； 如图 2，若 0BCA90，当 与BCA 之间满足 关系时，中结论 第 7 页（共 29 页） 仍然成立，并给予证明 （2） 【问题拓展】 如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，

11、BCA， （1）中的结论是否仍然成立？若 成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明 第 8 页（共 29 页） 2019-2020 学年江西省宜春市高安市八年级（上）期中数学试卷学年江西省宜春市高安市八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分每小题只有一个正确选项）分每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）已知三角形的三边长分别为 4，5，x，则 x 不可能是（ ） A3 B5 C7 D9 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和这样就可以确定

12、x 的范围，也就可以求出 x 的不可能取得的值 【解答】解：54x5+4，即 1x9，则 x 的不可能的值是 9， 故选：D 【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的 和 2 （3 分）在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项

13、错误 故选：A 【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分沿对称轴折叠后可重合 3 （3 分）已知：点 P（2，4） ，与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （2，4） B （2，4） C （2，4） D （4，2） 【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答 【解答】解：与点 P（2，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（2，4） 故选：A 第 9 页（共 29 页） 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的 坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反

14、数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 4 （3 分）下列各图中 a、b、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC 一 定全等的是（ ） A甲和乙 B乙和丙 C甲和丙 D只有丙 【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与ABC 全等，甲与ABC 不全等 【解答】解：乙和ABC 全等；理由如下： 在ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和ABC 全等； 在ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和ABC 全等； 不能判定甲与ABC 全等； 故选：B 【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三

15、角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全 等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 5 （3 分）如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在ABC 外的 A处，折痕 为 DE如果A，CEA，BDA，那么下列式子中正确的是（ ） A2+ B+2 C+ D180 第 10 页（共 29 页） 【分析】根据三角形的外角得：BDAA+AFD，AFDA+CEA，代入已知 可得结论 【解答】解：由折叠得：AA， BDAA+AFD，AFDA+CEA， A，CEA，BDA， BDA+2+，

16、 故选：A 【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个 内角的和是关键 6 （3 分）如图，已知：ACBC，DCEC，ACBECD90，现有下列结论： BDCAEC； 若EBD38，则AEB128；BDAE；AE 所在的 直线BD其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可 【解答】解：ACBECD90， BCDACE， 在BDC 和AEC 中， 第 11 页（共 29 页） BDCAEC（SAS） ，故正确； DBCEAC，BDAE，故正确； EBDDBC+EBC38， EAC+EBC38， ABE+

17、EAB903852， AEB180（ABE+EAB）18052128，故正确； 34， BFEACE90， AEBD，故正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，找三角形全等应有规律的去找，先 找单个的全等三角形，再找由 2 部分或 2 部分以上组成全等的三角形 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为 12 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等 腰三角形有两条边长为 2 和 5，而没有明确腰、底分别

18、是多少，所以要进行讨论，还要应 用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【解答】解： （1）若 2 为腰长，5 为底边长， 由于 2+25，则三角形不存在； （2）若 5 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边 所以这个三角形的周长为 5+5+212 故答案为：12 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角 第 12 页（共 29 页） 形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应 养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去 8 （3 分）如图，已知 ABDC，ADBC，EF 在 DB 上两点且 BFDE，则图中全

19、等三 角形的对数为 3 对 【分析】已知 ABDC，ADBC，BDDB 得出三角形全等，再由全等的结论证明其它 的三角形全等 【解答】解：在ABD 与CDB 中 ， ABDCDB（SSS） ， ABECDF，ADBCBD， BFDE， BEDF， 在ABE 与CDF 中 ， ABECDF（SAS） ， 在ADE 和CBF 中， ， ADECBF（SAS） 故答案为：3 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，找三角形全等应有规律的去找，先 找单个的全等三角形，再找由 2 部分或 2 部分以上组成全等的三角形 9 （3 分）如图的 24 的正方形网格中，ABC 的顶点都在小正方形的格点上，

20、这样的三 角形称为格点三角形，在网格中与ABC 成轴对称的格点三角形一共有 3 个 第 13 页（共 29 页） 【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可 【解答】解：如图： 共 3 个， 故答案为：3 【点评】本题考查的是轴对称图形，根据题意作出图形是解答此题的关键 10 （3 分） “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定，OCCDDE，点 D、E 可在槽中滑动若BDE 75，则CDE 的度数是 80 【分析】由等腰三角形的性

21、质可得OCDO，DCEDEC，由外角性质可得O 25，即可求解 【解答】解：OCCDDE， OCDO，DCEDEC， DCEO+CDO2O， DEC2O， BDEO+2DEC3O75， O25， DCEDEC50， CDE80， 第 14 页（共 29 页） 故答案为 80 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推 理是本题关键 11 （3 分）如图，ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时，CPE 的度数是 60 【分析】连接 BE，则 BE 的长度即为 PE 与 PC

22、 和的最小值再利用等边三角形的性质可 得PBCPCB30，即可解决问题； 【解答】解：如连接 BE，与 AD 交于点 P，此时 PE+PC 最小， ABC 是等边三角形，ADBC， PCPB， PE+PCPB+PEBE， 即 BE 就是 PE+PC 的最小值， ABC 是等边三角形， BCE60， BABC，AEEC， BEAC， BEC90， EBC30， PBPC， PCBPBC30， CPEPBC+PCB60， 故答案为 60 第 15 页（共 29 页） 【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知 识是解答此题的关键 12 （3 分）如图，在平面直角坐

23、标系中，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（0，6） ， 点 C 在 x 轴上运动（不与点 A 重合） ，点 D 在 y 轴上运动（不与点 B 重合） ，当以点 C、 O、D 为顶点的三角形与AOB 全等时，则点 D 的坐标为 （0，6）或（0，3）或 （0，3） 【分析】分三种情况讨论：当点 C 在 x 轴负半轴上，点 D 在 y 轴负半轴上时，AOB COD，当点 C 在 x 轴负半轴上，点 D 在 y 轴上时，AOBDOC，当点 C 在 x 轴的正半轴上，点 D 在 y 轴上时，AOBDOC，分别根据全等三角形的对应边 相等，即可得到点 C 的坐标 【解答】解：当点 C 在

24、x 轴负半轴上，点 D 在 y 轴负半轴上时，AOBCOD， DOBO6， D（0，6） ； 当点 C 在 x 轴负半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上时，AOBDOC， DOBO3， D（0，3） ； 当点 C 在 x 轴的正半轴上，点 D 在 y 轴负半轴上时，AOBDOC， DOBO3， D（0，3） 故答案为： （0，6）或（0，3）或（0，3） 第 16 页（共 29 页） 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及坐标与图形性质，解决问题的关键是依 据点 D 的不同位置进行分类讨论 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分

25、） 13 （6 分） （1）一个多边形的内角和比四边形的外角和多 540，求这个多边形的边数 （2）如图，已知AD，COBO，求证：AOCDOB 【分析】 （1）设多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式得出方程，再求出方程的解 即可； （2）根据全等三角形的判定定理得出即可 【解答】 （1）解：设多边形的边数为 n，可得： （n2） 180360+540 解得：n7， 即这个多边形的边数为 7； （2）证明：在AOC 与DOB 中 AOCDOB（AAS） 【点评】本题考查了全等三角形的判定和多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和 定理公式是解（1）的关键，能熟记全等三角形的判定定理是解（

26、2）的关键 14 （6 分）如图是雨伞开闭过程中某时刻的截面图，伞骨 ABAC，支撑杆 OEOF，AB 2AE，AC2AF当 O 沿 AD 滑动时，雨伞开闭雨伞开闭过程中，BAD 与CAD 有何关系？请说明理由 第 17 页（共 29 页） 【分析】根据题意结合三角形全等的证明方法得出AEOAFO 即可得出答案 【解答】解：BADCAD，理由： ABAC，AB2AE，AC2AF， AEAF， 在AEO 和AFO 中， AEOAFO（SSS） ， BADCAD 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关 键 15 （6 分）如图，ABC 中，AD 是 BC 边上

27、的高，AE、BF 分别是BAC、ABC 的平分 线，BAC50，ABC60，试求EAD+ACD 的度数 【分析】依据 AD 是 BC 边上的高，ABC60，即可得到BAD30，依据BAC 50，AE 平分BAC，即可得到DAE5，再根据ABC 中，C180ABC BAC70，可得EAD+ACD75 【解答】解：AD 是 BC 边上的高，ABC60， BAD30， BAC50，AE 平分BAC， BAE25， 第 18 页（共 29 页） DAE30255， ABC 中，C180ABCBAC70， EAD+ACD5+7075 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为 180解决问题的关

28、键是三角 形外角性质以及角平分线的定义的运用 16 （6 分）如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E （1）若A40，求EBC 的度数； （2）若 AD5，EBC 的周长为 16，求ABC 的周长 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出ABC 的度数，根据线段 的垂直平分线的性质求出EBA 的度数，计算即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求出 AC+BC+AB16+5+526， 计算即可 【解答】解： （1）ABAC，A40， ABCC70， DE 是 AB 的垂直平分线， EAEB， EBAA40， EBC3

29、0； （2）DE 是 AB 的垂直平分线， DABD5，EBAE， EBC 的周长EB+BC+ECEA+BC+ECAC+BC16， 则ABC 的周长AB+BC+AC26 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直 平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 第 19 页（共 29 页） 17 （6 分）如图，在ABE 中，AEBE，请你仅用无刻度的直尺按要求作图 （不写作法， 保留作图痕迹） （1）如图 1，点 C，D 分别为 AE，BE 的中点，作出 AB 的垂线； （2）如图 2，EFAB 于点 F，点 C 为 AE 上任意一点，在 BE 上找出一

30、点 D，使 ED EC 【分析】 （1）连接 AD、BC，交于点 O，作直线 EO，与 AB 交于点 M，则 EM 即为所求； （2）连接 BC，交 EF 于点 P，作射线 AP，交 BE 于点 D，即为所求 【解答】解： （1）如图 1，直线 EM 即为所求； （2）如图 2，点 D 即为所求 【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、线段中 垂线的性质等知识点 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CF

31、AB 交 ED 的延长线于点 F （1）求证：BDECDF （2）当 ADBC，AE1，CF2 时，求 AC 的长 第 20 页（共 29 页） 【分析】 （1）根据平行线的性质得到BFCD，BEDF，由 AD 是 BC 边上的 中线，得到 BDCD，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到 BECF2，求得 ABAE+BE1+23，于是得到结 论 【解答】 （1）证明：CFAB， BFCD，BEDF， AD 是 BC 边上的中线， BDCD， BDECDF（AAS） ； （2）解：BDECDF， BECF2， ABAE+BE1+23， ADBC，BDCD， ACAB3 【点评】本题考查

32、了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键 19 （8 分）如图，点 D 是AOB 内一点，点 E，F 分别在 OA，OB 上，且 OEOF，DE DF，OED+OFD180， （1）请作出点 D 到 OA，OB 的距离，标明垂足； （2）求证：OD 平分AOB； （3）若AOB60，OD6，OE4，求ODE 的面积 【分析】 （1）根据垂线的概念求解可得； （2）先证EDMFDN 得 DMDN结合 DMOA，DNOB 可得答案； （3）由 OD 平分AOB 知DOEAOB30，结合 DMOA 知 DMOD3， 再根据三角形的面积公式可得答案 第 21

33、 页（共 29 页） 【解答】解： （1）如图，过点 D 作 DMOA 于 M，DNOB 于 N，则 DM，DN 分别为 点 D 到 OA，OB 的距离； （2）证明：DMOA，DNOB， DMEDNF90 OED+OFD180，且OED+MED180， MEDOFD DEDF， EDMFDN（AAS） ， DMDN DMOA，DNOB， OD 平分AOB； （3）OD 平分AOB， DOEAOB30， DMOA， DMOD3， SODEOEDM6 【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、 角平分线的性质、垂线段的概念等知识点 20 （8 分）如图，在ABC

34、中，BAC120，ABAC4，ADBC，延长 AD 至点 E， 使得 AE2AD，连接 BE （1）求证：ABE 为等边三角形； （2）将一块含 60角的直角三角板 PMN 如图放置，其中点 P 与点 E 重合，且NEM 60，边 NE 与 AB 交于点 G，边 ME 与 AC 交于点 F求证：BGAF 第 22 页（共 29 页） 【分析】 （1）由直角三角形的性质可得 AB2ADAE，由等腰三角形的性质可得BAE 60，则ABE 为等边三角形； （2）由“ASA”可证BEGAEF，可得 BGAF 【解答】证明： （1）连接 BE， ABAC，ADBC， BAECAEBAC60，BDA90，

35、 ABD90BAE30， AB2AD， AE2AD， ABAE，且BAE60， ABE 是等边三角形 （2）ABE 是等边三角形， ABEAEB60，AEBE， 由（1）CAE60， ABECAE， 第 23 页（共 29 页） NEMBEA60， NEMAENBEAAEN， AEFBEG，且 AEBE，ABEEAF， BEGAEF（ASA） BGAF 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明BEGAEF 是本题的关键 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分）已知射线 AP 是ABC 的外角平分线

36、，ABAC，连结 PB、PC （1）如图 1，若 BP 平分ABC，且ACB30，请直接写出：APB 15 ； （2） 如图 2， 若过点 P 作 PMBA 交 BA 延长线于 M 点， 且BACBPC， 求： 的值 【分析】 （1）根据三角形的角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论； （2）过 P 作 PNAC 于 N，根据角平分线的性质得到 PMPN，根据全等三角形的性质 得到 AMAN，BMCN，于是得到结论 【解答】解： （1） AP 平分DAC，PB 平分ABC， DAPDAC，ABPABC， DACABC+ACB，DAPABP+APB， 第 24 页（共 29 页） APBD

37、APABPDACABCACB15， 故答案为：15； （2）过点 P 作 PNAC 于 N， AP 平分MAN，PMBA， PMPN， 在 RtAPM 与 RtAPN 中， ， RtAPMRtAPN（HL） ， AMAN， BACBPC， 由“8 字形”得：MBPPCN， 在PMB 与PNC 中， ， BMCN， AMAN， ACAB2AM， 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，角平分线的定义和 性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 22 （9 分）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形 互为“等角三角形

38、” 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线 第 25 页（共 29 页） 段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形， 另一个与原来三角形是 “等角三角形” ， 我们把这条线段叫做这个三角形的 “等角分割线” 理解概念 （1） 如图 1， 在 RtABC 中， ACB90， CDAB， 请写出图中两对 “等角三角形” 概 念应用 （2）如图 2，在ABC 中，CD 为角平分线，A40，B60 求证：CD 为ABC 的等角分割线 （3）在ABC 中，A42，CD 是ABC 的等角分割线，直接写出ACB 的度数 【分析】 （1）

39、根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出ACB，根据角平分线的定义得到ACDDCB ACB40，根据“等角三角形”的定义证明； （3）分ACD 是等腰三角形，DADC、DAAC 和BCD 是等腰三角形，DBBC、 DCBD 四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算 【解答】解： （1）ABC 与ACD，ABC 与BCD，ACD 与BCD 是“等角三角 形” ； （2）在ABC 中，A40，B60 ACB180AB80 CD 为角平分线， ACDDCBACB40， ACDA，DCBA， CDDA， 在DBC 中，DCB40，B60， BDC180DCBB80，

40、BDCACB， 第 26 页（共 29 页） CDDA，BDCACB，DCBA， BB， CD 为ABC 的等角分割线； （3）当ACD 是等腰三角形，DADC 时，ACDA42， ACBBDC42+4284， 当ACD 是等腰三角形，DAAC 时，ACDADC69， BCDA42， ACB69+42111， 当BCD 是等腰三角形，DCBD 时，ACDBCDB46， ACB92， 当BCD 是等腰三角形，DBBC 时，BDCBCD， 设BDCBCDx， 则B1802x， 则ACDB1802x， 由题意得，1802x+42x， 解得，x74， ACD1802x32， ACB106， ACB 的

41、度数为 111或 84或 106或 92 【点评】本题“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运 用分情况讨论思想是解题的关键 六、 （本大题六、 （本大题 12 分）分） 23 （12 分）直线 CD 经过BCA 的顶点 C，CACBE，F 分别是直线 CD 上两点，且 BECCFA （1） 【数学思考】 若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若BCA90，90，求证：EFBEAF； 如图 2，若 0BCA90，当 与BCA 之间满足 +ACB180 关 系时，中结论仍然成立，并给予证明 （2） 【问题拓展】 第

42、 27 页（共 29 页） 如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，BCA， （1）中的结论是否仍然成立？若 成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明 【分析】 （1）求出BECAFC90，CBEACF，根据 AAS 证BCE CAF，推出 BECF，CEAF 即可；当+ACB180，证明BECAFC， CBEACF，根据 AAS 证BCECAF，推出 BECF，CEAF 即可； （2） 求出BECAFC， CBEACF， 根据 AAS 证BCECAF， 推出 BECF， CEAF 即可 【解答】解： （1）如图 1 中， BECAFC90，ACB90， BCE+ACF90，

43、EBC+BCE90， EBCACF， 在BCE 和CAF 中， ， BCECAF（AAS） ， BECF，CEAF， EFCFCEBEAF 当+ACB180时，中结论仍然成立； 证明：如图 2 中， 第 28 页（共 29 页） BECCFAa，+ACB180， BCE+ACFEBC+BCE， EBCACF， 在BCE 和CAF 中， ， BCECAF（AAS） ， BECF，CEAF， EFCFCEBEAF 故答案为+ACB180 （2）不成立，结论：EFBE+AF 理由：如图 3 中， BECCFAa，aBCA， 又EBC+BCE+BEC180，BCE+ACF+ACB180， EBC+BCEBCE+ACF， EBCACF， 在BEC 和CFA 中， ， 第 29 页（共 29 页） BECCFA（AAS） ， AFCE，BECF， EFCE+CF， EFBE+AF 【点评】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明 方法完全类似，属于中考常考题型