2020北师大版高中数学选修2-1《专题突破三:空间直角坐标系的构建策略》学案(含答案)
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1、专题突破三专题突破三 空间直角坐标系的构建策略空间直角坐标系的构建策略 利用空间向量的方法解决立体几何问题,关键是依托图形建立空间直角坐标系,将其他向量 用坐标表示,通过向量运算,判定或证明空间元素的位置关系,以及空间角、空间距离问题 的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要,下面简述空间建系的四种方法,希望同 学们面对空间几何问题能做到有的放矢,化解自如. 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱 例 1 已知直四棱柱中, AA12, 底面 ABCD 是直角梯形, DAB 为直角, ABCD, AB4, AD2,DC1,试求异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值. 考点 向量法求直线与直线所
2、成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 解 如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空 间直角坐标系 Dxyz, 则 D(0,0,0),C1(0,1,2),B(2,4,0),C(0,1,0), 所以BC1 (2,3,2),CD (0,1,0). 所以 cosBC1 ,CD BC1 CD |BC1 |CD | 3 17 17 . 故异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值为3 17 17 . 点评 本例以直四棱柱为背景, 求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三 条棱互相垂直关系处着手,建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标和相
3、关向量的坐标,再 求两异面直线的方向向量的夹角即可. 跟踪训练 1 如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABAC,ABAC2,AA14,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 夹角的余弦值; (2)求平面 ADC1与平面 ABA1夹角的正弦值. 考点 向量法求平面与平面的夹角 题点 向量法求平面与平面的夹角 解 (1)以 A 为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐 标系 Axyz, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4), A1B (2,0
4、,4),C1D (1,1,4), cosA1B ,C1D A1B C1D |A1B |C1D | 3 10 10 , 异面直线 A1B 与 C1D 夹角的余弦值为3 10 10 . (2)AC (0,2,0)是平面 ABA 1的一个法向量. 设平面 ADC1的法向量为 n(x,y,z), AD (1,1,0),AC1 (0,2,4), n AD xy0, n AC1 2y4z0, 即 x2z, y2z, 取 n(2,2,1). 设平面 ADC1与平面 ABA1的夹角为 , 则 cos |cosAC ,n|AC n| |AC |n| 2 3, sin 5 3 , 平面 ADC1与平面 ABA1夹
5、角的正弦值为 5 3 . 二、利用线面垂直关系 例 2 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,AB平面 BB1C1C,E 为棱 C1C 的中点,已知 AB 2,BB12,BC1,BCC1 3.试建立合适的空间直角坐标系,求出图中所有点的坐标. 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 解 过点 B 作 BP 垂直 BB1交 C1C 于点 P, 因为 AB平面 BB1C1C,所以 ABBP, 又 BPBB1,BB1ABB, 且 BB1,AB平面 ABB1A1,所以 BP平面 ABB1A1, 以 B 为坐标原点,分别以 BP,BB1,BA 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标
6、系 Bxyz. 因为 AB 2,BB12,BC1,BCC1 3, 所以 CP1 2,C1P 3 2,BP 3 2 , 则各点坐标分别为 B(0,0,0),A(0,0, 2),B1(0,2,0),C 3 2 ,1 2,0 ,C1 3 2 ,3 2,0 , E 3 2 ,1 2,0 ,A1(0,2, 2),P 3 2 ,0,0 . 点评 空间直角坐标系的建立, 要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上, 这样建成的坐标系, 既能迅速写出各点的坐标,又由于坐标轴上的点的坐标含有 0,也为后续的运算带来了方便. 本题已知条件中的垂直关系“AB平面 BB1C1C”,可作为建系的突破口. 跟踪训练 2 如图,四
7、棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,ADBC,ABADAC3,PA BC4,M 为线段 AD 上一点,AM2MD,N 为 PC 的中点.求直线 AN 与平面 PMN 所成 角的正弦值. 考点 向量法求直线与平面所成的角 题点 向量法求直线与平面所成的角 解 取 BC 的中点 E,连接 AE. 由 ABAC 得 AEBC, 从而 AEAD,AE AB2BE2AB2 BC 2 2 5. 以 A 为坐标原点,AE 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C( 5,2,0),N 5 2 ,1,2 ,PM (0,2,4), P
8、N 5 2 ,1,2 ,AN 5 2 ,1,2 . 设 n(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,则 n PM 0, n PN 0, 即 2y4z0, 5 2 xy2z0, 可取 n(0,2,1). 于是|cosn,AN |n AN | |n|AN | 8 5 25 . 设 AN 与平面 PMN 所成的角为 ,则 sin 8 5 25 , 直线 AN 与平面 PMN 所成的角的正弦值为8 5 25 . 三、利用面面垂直关系 例 3 如图 1,在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,ABAD2,ABC60 ,E 是 BC 的中点. 将ABE 沿 AE 折起, 使平面 BAE平面 AEC(如图 2),
9、 连接 BC, BD.求平面 ABE 与平面 BCD 夹角的大小. 考点 向量法求平面与平面的夹角 题点 向量法求平面与平面的夹角 解 取 AE 中点 M,连接 BM,DM. 因为在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,ABAD,ABC60 ,E 是 BC 的中点, 所以ABE 与ADE 都是等边三角形, 所以 BMAE,DMAE. 又平面 BAE平面 AEC,所以 BMMD. 以 M 为坐标原点,分别以 ME,MD,MB 所在的直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 Mxyz,如图, 则 B(0,0, 3),C(2, 3,0),D(0, 3,0),M(0,0,0), 所以DC (2,0,0)
10、,BD (0, 3, 3),MD (0, 3,0), 设平面 BCD 的法向量为 m(x,y,z), 由 m DC 2x0, m BD 3y 3z0. 取 y1,得 m(0,1,1), 又因平面 ABE 的一个法向量MD (0, 3,0), 所以 cosm,MD m MD |m|MD | 2 2 , 所以平面 ABE 与平面 BCD 夹角为 45 . 点评 本题求解关键是利用面面垂直关系,先证在两平面内共点的三线垂直,再构建空间直 角坐标系,然后分别求出两个平面的法向量,求出两法向量夹角的余弦值,即可得所求的两 平面的夹角的大小.用法向量的夹角求两平面夹角时应注意: 已知平面 1与 2的法向量
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