第二章 空间向量与立体几何 学案（含答案）

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1、章末复习章末复习 学习目标 1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的有关知识.3.会用向量法解决立 体几何问题. 1.空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 ，v，则 线线平行 lmabakb，kR 线面平行 laa 0 面面平行 vkv，kR 线线垂直 lmaba b0 线面垂直 laak，kR 面面垂直 vv0 线线夹角 l，m 的夹角为 0 2 ，cos |a b| |a|b| 线面夹角 l， 的夹角为 0 2 ，sin |a | |a| 面面夹角 ， 的夹角为 0 2 ，cos | v| |v| 2.用向量法解决

2、立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论. 关键点如下： (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要， 恰当的坐标系可以使得点的坐标、 向量的坐标易 求且简单，简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的 方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化 也是这类问题解决的关键. 1.向量 a，b 的夹角a，b与它们所在直线所成的角相等.( )

3、2.两异面直线夹角的范围是 0， 2 ， 直线与平面所成角的范围是 0， 2 ， 面面夹角的范围是0， .( ) 3.若空间向量 a 平行于平面 ，则 a 所在直线与平面 平行.( ) 4.只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.( ) 5.若 P，A，B，C 为空间四点，且PA PBPC，则“1”是“A，B，C 三点共线” 的充要条件.( ) 6.已知平面 的一个法向量为 n(0，1，1)，如果直线 l平面 ，则直线 l 的单位方向向 量是 0， 2 2 ， 2 2 或 0， 2 2 ， 2 2 .( ) 题型一 空间向量的概念及运算 例 1 (1)判断下列各命题的真假： 向量 a

4、 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终 点必相同；零向量是没有方向的；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的 个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 假命题， 当 a 与 b 中有一个为零向量时， 其方向是不确定的； 真命题； 假命题， 零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；假命题，向量可用有向线段来表示，但 并不是有向线段. (2)如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A，B，C，D 的距 离都等于 2. 给

5、出以下结论： SA SBSCSD0； SA SBSCSD0； SA SBSCSD0； SA SBSC SD； SA SC0， 其中正确结论的序号是_. 考点 空间向量的运算 题点 空间向量的运算 答案 解析 可以推出：SA SBSCSDBADC 0，所以正确；又因为底面 ABCD 是边长 为1的正方形， SASBSCSD2， 所以SA SB22cosASB， SC SD22cosCSD， 而ASBCSD， 于是SA SBSC SD，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是. 反思感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法 则及各运算公式，理解向量运算法则

6、、运算律及其几何意义. 跟踪训练 1 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长度 都为 1，且两两夹角为 60 . (1)求AC1 的长； (2)求BD1 与AC 夹角的余弦值. 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 解 记AB a，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60 ，a bb cc a1 2. (1)|AC1 |2(abc)2a2b2c22(a bb cc a) 1112 1 2 1 2 1 2 6， |AC1 | 6. (2)BD1 bca，AC ab， |BD1 | 2，|AC | 3， BD1 AC

7、 (bca) (ab)b2a2a cb c1， cosBD1 ，AC BD1 AC |BD1 |AC | 6 6 . 题型二 利用空间向量证明位置关系 例 2 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，AB AD2，CD4，M 为 CE 的中点. (1)求证：BM平面 ADEF； (2)求证：BC平面 BDE. 考点 空间向量在证明平行与垂直中的应用 题点 空间向量证明平行与垂直 证明 平面ADEF平面ABCD， 平面ADEF平面ABCDAD， ADED， ED平面ADEF， ED平面 ABCD. 以 D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为 x 轴，y

8、 轴，z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系. 则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2). (1)M 为 EC 的中点，M(0，2，1)， 则BM (2，0，1)，AD (2，0，0)，AF (0，0，2)， BM AD 1 2AF ，故BM ，AD ，AF 共面. 又 BM平面 ADEF，BM平面 ADEF. (2)BC (2，2，0)，DB (2，2，0)，DE (0，0，2)， BC DB 440，BCDB. 又BC DE 0，BCDE. 又 DEDBD，BC平面 BDE. 引申探究 本例条件不变，如何证明平面 BC

9、E平面 BDE. 证明 由例 2(2)知 BC平面 BDE， 又 BC平面 BCE，平面 BCE平面 BDE. 反思感悟 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于 坐标的有关性质求解(证). 跟踪训练 2 已知在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别在 DB， D1C 上， 且 DED1F 2 3 a，其中 a 为正方体棱长.求证：EF平面 BB1C1C. 考点 向量法求解线面位置关系 题点 向量法求解线面平行 证明 如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间 直角坐标系 Dxyz，则 E a 3，

10、a 3，0 ，F 0，a 3， 2a 3 ， 故EF a 3，0， 2a 3 . 又AB (0，a，0)为平面 BB 1C1C 的一个法向量， 而AB EF(0，a，0) a 3，0， 2a 3 0， AB EF，即 ABEF.又 EF平面 BB 1C1C， 因此 EF平面 BB1C1C. 题型三 利用空间向量求空间角 例 3 如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD， 点 G 为 AB 的中点，ABBE2. (1)求证：EG平面 ADF； (2)求平面 OEF 与平面 CEF 夹角的正弦值； (3)设 H 为线段 AF 上的点，且 AH2

11、3HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 (1)证明 依题意，OF平面 ABCD， 如图，以 O 为原点，分别以AD ，BA ，OF 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐 标系， 依题意可得 O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)， D(1，1，0)，E(1，1，2)，F(0，0，2)，G(1，0，0). 依题意，AD (2，0，0)，AF (1，1，2). 设 n1(x1，y1，z1)为平面 ADF 的法向量， 则 n1 AD 0， n1 AF 0， 即 2x10， x1

12、y12z10， 不妨取 z11，可得 n1(0，2，1)， 又EG (0，1，2)，可得EG n10， 又因为直线 EG平面 ADF，所以 EG平面 ADF. (2)解 易证OA (1，1，0)为平面 OEF 的一个法向量， 依题意，EF (1，1，0)，CF(1，1，2). 设 n2(x2，y2，z2)为平面 CEF 的法向量， 则 n2 EF 0， n2 CF 0， 即 x2y20， x2y22z20， 不妨取 x21，可得 n2(1，1，1). 因此有 cosOA ，n2 OA n2 |OA |n2| 6 3 ， 于是 sinOA ，n2 3 3 . 所以平面 OEF 与平面 CEF 夹

13、角的正弦值为 3 3 . (3)解 由 AH2 3HF，得 AH 2 5AF. 因为AF (1，1，2)， 所以AH 2 5AF 2 5， 2 5， 4 5 ， 进而有 H 3 5， 3 5， 4 5 ，从而BH 2 5， 8 5， 4 5 . 因此 cosBH ，n2 BH n2 |BH |n2| 7 21. 所以直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 7 21. 反思感悟 1.异面直线所成的角，可通过两异面直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值求解. 2.线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值. 3.对于两平面的夹角应先求两平面法向量的夹角，再根据所求下结论. 跟

14、踪训练 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD， PAPD 6，AB4. (1)求平面 BPD 与平面 APD 夹角的大小； (2)若 M 为 PB 的中点，求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 解 (1)取 AD 的中点 O，设 ACBDE，连接 OP，OE. 因为 PAPD，所以 OPAD， 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，且 OP平面 PAD， 所以 OP平面 ABCD. 因为 OE平面 ABCD，所以 OPOE. 因为四边形 ABCD

15、是正方形， 所以 OEAD， 如图，以 O 为坐标原点，OD，OE，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系 Oxyz， 则 P(0，0， 2)，D(2，0，0)，B(2，4，0)，BD (4，4，0)，PD (2，0， 2). 设平面 BDP 的法向量 n(x，y，z)， 则 n BD 0， n PD 0， 即 4x4y0， 2x 2z0. 令 x1，则 y1，z 2. 于是 n(1，1， 2). 平面 PAD 的法向量为 p(0，1，0)， 所以 cosn，p n p |n|p| 1 2. 所以平面 BPD 与平面 APD 夹角的大小为 3. (2)由题意知 M

16、1，2， 2 2 ，C(2，4，0)，MC 3，2， 2 2 . 设直线 MC 与平面 BDP 所成的角为 ，则 sin |cosn，MC |n MC | |n|MC | 2 6 9 . 所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为2 6 9 . 1.已知向量 a(2，1，3)，b(4，2，x)，则使 ab 成立的 x 与使 ab 成立的 x 分别为 ( ) A.10 3 ，6 B.10 3 ，6 C.6，10 3 D.6，10 3 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 A 解析 由 aba b103x0，得 x10 3 ， 由 ab 2 4 3 x，得 x6. 2

17、.在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，设OA a，OB b，OC c，则OD 可 表示为( ) A.acb B.a2bc C.bca D.ac2b 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A 解析 OD OA AD OA BC OA OC OB acb. 3.已知 a3i2jk，bij2k，i，j，k 是两两互相垂直的单位向量，则 5a 与 3b 的数量 积等于( ) A.15 B.5 C.3 D.1 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的线性运算 答案 A 解析 a(3，2，1)，b(1，1，2)， 故 5a(15，10，5)，3b(3，3，6)

18、， 5a 3b15310(3)(5)645303015. 4.如图，在空间直角坐标系 Dxyz 中，四棱柱 ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1AB2AD， 点 E，F 分别为 C1D1，A1B 的中点，则平面 B1A1B 与平面 A1BE 夹角的余弦值为( ) A. 3 6 B. 3 4 C. 3 3 D. 3 2 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求面面夹角 答案 C 解析 设 AD1，则 A1(1，0，2)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，因为 E，F 分别 为 C1D1，A1B 的中点， 所以 E(0，1，2)，F(1，1，1)， 所以A1E

19、 (1，1，0)，A1B (0，2，2)， 设 m(x，y，z)是平面 A1BE 的法向量， 则 A1E m0， A1B m0， 所以 xy0， 2y2z0， 所以 yx， yz， 取 x1，则 yz1， 所以平面 A1BE 的一个法向量为 m(1，1，1). 又 DA平面 A1B1B，所以DA (1，0，0)是平面 A1B1B 的一个法向量，所以 cosm，DA m DA |m|DA | 1 3 3 3 ，所以平面 B1A1B 与平面 A1BE 夹角的余弦值为 3 3 ，故选 C. 5.已知点 B(1，0，0)，C(1，1，1)，D(0，1，1)，若点 E 的坐标为(2，1，m)，且点 B，

20、 C，D，E 四点共面，实数 m 的值为_. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 1 解析 B(1，0，0)，C(1，1，1)，D(0，1，1)，E(2，1，m)， BC (0，1，1)，BD (1，1，1)， BE (3，1，m)， 根据平面向量的基本定理，存在实数 x，y， 使得BC xBD yBE ， 则有 0x3y， 1xy， 1xmy， 解得 m1. 解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为 工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决 问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.