第三章 圆锥曲线与方程 章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习章末复习 学习目标 1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.3.掌握圆锥 曲线的简单性质，会利用简单性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题 的解决方法. 1.三种圆锥曲线的定义、标准方程、简单性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等 于常数(大于|F1F2|)的 点的集合 平面内到两定点 F1， F2的距 离之差的绝对值等于常数 (大于零且小于|F1F2|)的点的 集合 平面内与一个定点 F 和 一条定直线 l(l 不过 F) 的距离相等的点的集合 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) x2 a2

2、 y2 b21(a0，b0) y22px(p0) 关系式 a2b2c2 a2b2c2 图形 封闭图形 无限延展，有渐近线 无限延展，没有渐近线 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 00，B0， AB)，将双曲线方程设为 mx2ny21(mn0 等价于直线与圆锥曲线相交于两点；0 等价于直线与 圆锥曲线相切于一点；0)的渐近线与抛物线 y x21 相切，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D. 6 (2)如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上，则 抛物线 E 的标准方

3、程为_. 考点 抛物线的简单性质 题点 由简单性质求抛物线方程 答案 (1)C (2)x24y 解析 (1)双曲线的渐近线为 y b ax， 即 bx ay0， 由对称性，取切线方程为 bxay0， 由 bxay0， yx21， 得 x2b ax10，所以 b2 a240， 即b 2 a24 c2a2 a2 e21， 因为 e1，所以 e 5.故选 C. (2)依题意知，|OB|8 3，BOy30 . 设 B(x，y)，则 x|OB|sin 30 4 3，y|OB|cos 30 12. 因为点 B(4 3，12)在抛物线 E：x22py(p0)上， 所以(4 3)22p12，解得 p2. 故抛

4、物线 E 的标准方程为 x24y. 题型三 直线与圆锥曲线 例 3 已知椭圆的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上，右焦点到直线 xy2 20 的距 离为 3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线 ykxm(k0)相交于不同的两点 M，N，当|AM|AN|时，求 m 的取值范 围. 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的综合应用 解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2 a2y 21(a1)， 则右焦点 F( a21，0)， 由题设，知| a 212 2| 2 3， 解得 a23， 故所求椭圆的方程为x 2 3y 21. (2)设点 P 为弦 MN 的中点， 由 y

5、kxm， x2 3y 21， 得(3k21)x26mkx3(m21)0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以 0，即 m2m2，解得 01 2， 故所求 m 的取值范围是 1 2，2 . 反思感悟 直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦 长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程 联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常 利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题. 跟踪训练 3 已知 P 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上任一点，F1，F2 为椭圆的焦点

6、，|PF1|PF2| 4，离心率为 2 2 . (1)求椭圆的方程； (2)若直线 l：ykxm(m0)与椭圆的两交点为 A，B，线段 AB 的中点 C 在直线 y1 2x 上， O 为坐标原点，当OAB 的面积等于 2时，求直线 l 的方程. 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的综合应用 解 (1)由椭圆定义得 2a4，a2， 所以 cae 2，故 b 2， 所以椭圆的方程为x 2 4 y2 21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ykxm 代入方程x 2 4 y2 21， 得(12k2)x24kmx2m240.(*) 所以 xCx1x2 2 2km 1

7、2k2，yCkxCm m 12k2， 所以 m 12k2 1 2 2km 12k2， 解得 k1， 则(*)式变为 3x24mx2m240， 则|AB| 2|x1x2|4 6m 2 3 ， OAB 底边 AB 上的高 h|m| 2， 所以OAB 的面积 S 2 6m2m2 3 . 令 2 6m2m2 3 2，解得 m 3， 把 k1，m 3代入(*)式，经检验，均满足 0， 此时直线 l 的方程为 xy 30 或 xy 30. 题型四 圆锥曲线中参数范围和最值问题 例 4 (1)已知 P 为抛物线 y1 4x 2上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是(2,0)， 则|PA

8、|PM|的最小值是_ 考点 题点 答案 51 (2)若抛物线 x22y 上距离点 A(0， a)的最近点恰好是抛物线的顶点， 则 a 的取值范围是( ) Aa0 B00， 即 3k2m210. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 线段 PQ 的中点 N(x0，y0)， 则 x0x1x2 2 3km 13k2， y0kx0m m 13k2. |AP|AQ|，PQAN. 设 kAN表示直线 AN 的斜率， 又 k0，kAN k1. 即 1 m 13k2 3km 13k2 k1， 得 3k22m1. 3k20，m1 2. 将代入得 2m1m210，即 m22m0，b0)的一条渐近线被圆(x2)

9、 2y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.2 3 3 考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 A 解析 设双曲线的一条渐近线方程为 yb ax， 圆的圆心为(2，0)，半径为 2， 由弦长为 2 得圆心到渐近线的距离为 2212 3. 由点到直线的距离公式得 |2b| a2b2 3， 解得 b23a2. 所以 C 的离心率 ec a c2 a2 1b 2 a22. 故选 A. 3.已知 F 是抛物线 y24x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，且|AF|BF|12，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) A.1 B.3 C.

10、5 D.7 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 答案 C 解析 F 是抛物线 y24x 的焦点， F(1，0)，准线方程为 x1. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|BF|x11x2112， 即 x1x210， 线段 AB 的中点的横坐标为1 2(x1x2)5， 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 5.故选 C. 4.已知双曲线x 2 3y 21，O 为坐标原点，F 为双曲线的右焦点，过 F 的直线与双曲线的两渐 近线交点分别为 M，N，若OMN 为直角三角形，则|MN|_. 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 以离心率或渐近线为条件下的简单问题 答

11、案 3 解析 由题意知渐近线的斜率为 3 3 ，F(2，0)， FOM30 ，直线 MN 的倾斜角为 60 或 120 . 由双曲线的对称性，设倾斜角为 60 ， 直线 MN：y 3(x2)， 分别与两渐近线联立可求得 M(3， 3)，N 3 2， 3 2 . |MN|3. 5.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点 A(2，1)，离心率为 2 2 ，过点 B(3，0)的直线 l 与椭圆交于 不同的两点 M，N. (1)求椭圆的方程； (2)若|MN|3 2 2 ，求直线 MN 的方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 解 (1)由题意有 4 a

12、2 1 b21， ec a 2 2 ，a2b2c2， 解得 a 6，b 3，c 3， 所以椭圆方程为x 2 6 y2 31. (2)由直线 MN 过点 B 且与椭圆有两个交点， 可设直线 MN 方程为 yk(x3)， 代入椭圆方程整理得(2k21)x212k2x18k260， 2424k20，得 k21. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x2 12k2 2k21，x1x2 18k26 2k21 ， |MN|x1x22y1y22 k21x1x22 k21x1x224x1x2 3 2 2 ，解得 k 2 2 ，满足 k21， 所以所求直线方程为 x 2y30 或 x 2y30. 1.利用待定系数法求圆锥曲线标准方程一般是先定位、后定量，即 2.求离心率的三种方法 (1)定义法；(2)方程法；(3)几何法. 3.解决直线与圆锥曲线的综合问题通常从方程思想入手. 4.解决定点、定值问题的常规处理策略 (1)从特殊情况入手，先求含有变量的定点、定值，再证明这个点(值)与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点(值).