3.1.2 第3课时 椭圆中的定点、定值及存在性问题 学案(含答案)
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1、第第 3 课时课时 椭圆中的定点椭圆中的定点、定值及定值及存在存在性问题性问题 题型一 定点问题 例 1 设椭圆 E:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 e 2 2 ,且过点 1, 6 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左顶点是 A,若直线 l:xmyt0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M,N(M,N 与 A 均不重合),若以 MN 为直径的圆过点 A,试判定直线 l 是否过定点,若过定点,求出该 定点的坐标. 考点 椭圆中的定值、定点问题 题点 椭圆中的定点问题 解 (1)由 e2c 2 a2 a2b2 a2 1 2, 可得 a22b2, 椭圆方程为 x2
2、2b2 y2 b21, 代入点 1, 6 2 可得 b22,a24, 故椭圆 E 的方程为x 2 4 y2 21. (2)由 xmyt0 得 xmyt, 把它代入 E 的方程得(m22)y22mtyt240, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 y1y2 2mt m22,y1y2 t24 m22, x1x2m(y1y2)2t 4t m22, x1x2(my1t)(my2t) m2y1y2tm(y1y2)t22t 24m2 m22 . 因为以 MN 为直径的圆过点 A, 所以 AMAN, 所以AM AN (x 12,y1) (x22,y2)x1x22(x1x2)4y1y2 2t 24m
3、2 m22 2 4t m224 t24 m22 3t28t4 m22 t23t2 m22 0. 因为 M,N 与 A 均不重合,所以 t2, 所以 t2 3,直线 l 的方程是 xmy 2 3,直线 l 过定点 T 2 3,0 , 由于点 T 在椭圆内部,故满足判别式大于 0, 所以直线 l 过定点 T 2 3,0 . 反思感悟 求定点问题,需要注意两个方面: 一是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在或斜率为 0 的特 殊情况入手找出定点,为解题指明方向. 二是抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,所以要抓住问题的核心,实质就是 求解直线方程中参数之间的关系,
4、所以要熟悉直线方程的特殊形式,若直线的方程为 ykx b,则直线 ykxb 恒过点(0,b),若直线方程为 yk(xa),则直线恒过点(a,0). 跟踪训练 1 已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率 e 2 2 ,短轴长为 2 2. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图所示,椭圆 C 的左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点.试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?并说明理由. 考点 题点 解 (1)由椭圆 C 的短轴长为 2 2,得 b 2, 又
5、由 ec a a2b2 a 2 2 ,得 a24, 椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 21. (2)设 P(x0,y0),则 Q(x0,y0),且x 2 0 4 y20 21, 即 x202y204. 易知 A(2,0),直线 PA 的方程为 y y0 x02(x2), M 0, 2y0 x02 , 直线 QA 的方程为 y y0 x02(x2), N 0, 2y0 x02 . 可得 MN 的中点为 0,2x0y0 x204 , 根据两点间距离公式可得|MN| 8y0 x204 , 以 MN 为直径的圆的方程为 x2 y2x0y0 x204 2 4y0 x204 2, 即 x2y24x0
6、y0 x204y 4y20 x2040, 又x2042y20, 以 MN 为直径的圆的方程为 x2y22x0 y0 y20, 令 y0,则 x220,解得 x 2, 以 MN 为直径的圆过定点( 2,0)和( 2,0). 题型二 定值问题 例 2 已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21 过 A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 考点 椭圆中的定值、定点问题 题点 椭圆中的定值问题 (1)解 由题意得 a2,
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