2.4 第2课时 用空间向量解决立体几何中的垂直问题 学案（含答案）

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1、第第 2 课时课时 用空间向量解决立体几何中的垂直问题用空间向量解决立体几何中的垂直问题 学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有 关空间线面垂直关系的方法步骤. 知识点一 向量法判断线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b(b1，b2，b3)，则 lma b 0a1b1a2b2a3b30. 知识点二 向量法判断线面垂直 设直线 l 的方向向量 a(a1，b1，c1)，平面 的法向量 (a2，b2，c2)，则 laa k(kR). 知识点三 向量法判断面面垂直 若平面 的法向量为 (a1，b1，c1)，

2、平面 的法向量为 (a2，b2，c2)，则 0a1a2b1b2c1c20. 1.平面 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量.( ) 2.两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直.( ) 3.直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.( ) 4.两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂 直.( ) 题型一 证明线线垂直问题 例 1 如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧 棱 CC1上的点，且 CN1 4CC1.求证：AB1MN. 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题

3、点 方向向量与线线垂直 证明 设 AB 中点为 O，作 OO1AA1.以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，OC 所在直线 为 y 轴，OO1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 由已知得 A 1 2，0，0 ，B 1 2，0，0 ，C 0， 3 2 ，0 ，N 0， 3 2 ，1 4 ，B1 1 2，0，1 ， M 为 BC 中点， M 1 4， 3 4 ，0 . MN 1 4， 3 4 ，1 4 ，AB1 (1，0，1)， MN AB1 1 40 1 40. MN AB1 ，AB1MN. 反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线

4、的方 向向量证明向量垂直得到两直线垂直. 跟踪训练 1 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证： ACBC1. 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 证明 直三棱柱 ABCA1B1C1底面三边长 AC3，BC4，AB5， AC，BC，C1C 两两垂直. 如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标 系 Cxyz. 则 C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)， AC (3，0，0)，BC 1 (0，4，4)， AC BC 1 0.ACBC1.

5、题型二 证明线面垂直问题 例 2 如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中点. 求证：AB1平面 A1BD. 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 证明 如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO. 因为ABC 为正三角形， 所以 AOBC. 因为在正三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC平面 BCC1B1，且平面 ABC平面 BCC1B1 BC，AO平面 ABC，所以 AO平面 BCC1B1. 取 B1C1的中点 O1，以 O 为坐标原点，OB，OO1，OA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建 立空间直角坐标系 Oxy

6、z， 则 B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2， 3)，A(0，0， 3)，B1(1，2，0). 所以AB1 (1，2， 3)，BA1 (1，2， 3)，BD (2，1，0). 因为AB1 BA1 1(1)22( 3) 30. AB1 BD 1(2)21( 3)00. 所以AB1 BA1 ，AB1 BD ，即 AB1BA1，AB1BD. 又因为 BA1BDB，BA1，BD平面 A1BD. 所以 AB1平面 A1BD. 反思感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：基向量法 (1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表

7、示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0. 方法二：坐标法 (1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量. (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 跟踪训练 2 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点 P 为 DD1的中 点.求证：直线 PB1平面 PAC. 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 证明 如图，以 D 为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间 直角坐标系 Dxyz， C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0

8、，1)，B1(1，1，2)， PC (1，0，1)，PA(0，1，1)，PB 1 (1，1，1)， PB1 PC (1，1，1) (1，0，1)0， 所以PB1 PC ，即 PB 1PC. 又PB1 PA (1，1，1) (0，1，1)0， 所以PB1 PA ，即 PB 1PA. 又 PAPCP，PA，PC平面 PAC， 所以 PB1平面 PAC. 题型三 证明面面垂直问题 例 3 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 A1B1C1，BAC 90 ，A1A平面 ABC，A1A 3，ABAC2A1C12，D 为 BC 的中点.证明：平面 A1AD 平面 BCC1B1.

9、 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 证明 方法一 如图，以 A 为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0， 3)，C1(0，1， 3). D 为 BC 的中点，D 点坐标为(1，1，0)， AD (1，1，0)，AA1 (0，0， 3)，BC (2，2，0)， AD BC 1(2)12000， AA1 BC 0(2)02 300， AD BC ，AA 1 BC ， BCAD，BCAA1. 又 A1AADA，A1A，AD平面 A1AD

10、， BC平面 A1AD. 又 BC平面 BCC1B1，平面 A1AD平面 BCC1B1. 方法二 同方法一建系后，得AA1 (0，0， 3)， AD (1，1，0)，BC (2，2，0)，CC 1 (0，1， 3). 设平面 A1AD 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 平面 BCC1B1的法向量为 n2(x2，y2，z2). 由 n1 AA1，0， n1 AD，0， 得 3z10， x1y10， 令 y11，则 x11，z10， n1(1，1，0). 由 n2 BC，0， n2 CC1，0， 得 2x22y20， y2 3z20， 令 y21，则 x21，z2 3 3 ， n2 1，1，

11、 3 3 . n1 n21100，n1n2， 平面 A1AD平面 BCC1B1. 反思感悟 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. 跟踪训练 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点. (1)求证：平面 AED平面 A1FD1； (2)在直线 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 AED. 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 (1)证明 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所 示

12、的空间直角坐标系 Dxyz. 设正方体的棱长为 2，则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)， D1(0，0，2)， DA D1A1 (2，0，0)，DE (2，2，1)，D1F (0，1，2). 设平面 AED 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1). 由 n1 DA，x1，y1，z1 2，0，00， n1 DE，x1，y1，z1 2，2，10， 得 2x10， 2x12y1z10. 令 y11，得 n1(0，1，2). 同理平面 A1FD1的一个法向量为 n2(0，2，1). n1 n2(0，1，2) (0，2，1)0，n1n2， 平

13、面 AED平面 A1FD1. (2)解 由于点 M 在直线 AE 上， 因此可设AM AE (0，2，1)(0，2，)， 则 M(2，2，)，A1M (0，2，2). 要使 A1M平面 AED，只需A1M n1， 即2 1 2 2 ，解得 2 5. 故当 AM2 5AE 时，A1M平面 AED. 利用向量求解空间中的探索性问题 典例 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1上求一点 P，使得平 面 A1B1P平面 C1DE. 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 解 如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y

14、 轴、z 轴建立空间直角坐标 系. 设正方体的棱长为 1，P(0，1，a)，则 A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E 1 2，1，0 ，C1(0，1，1)， A1B1 (0，1，0)，A 1P (1，1，a1)，DE 1 2，1，0 ，DC1 (0，1，1). 设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则 n1 A1B1， 0， n1 A1P，0， 即 y10， x1y1a1z10， x1(a1)z1，y10. 令 z11，得 x1a1， n1(a1，0，1). 设平面 C1DE 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)， 则 n2 DE，0， n2 DC1，0，

15、即 1 2x2y20， y2z20， x22y2， z2y2. 令 y21，得 x22，z21， n2(2，1，1). 平面 A1B1P平面 C1DE， n1 n20，即2(a1)10，得 a1 2. 当 P 为 CC1的中点时，平面 A1B1P平面 C1DE. 素养评析 立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意.本例由题 意设出探求点的坐标，利用两平面垂直，法向量的位置关系及严密的逻辑推理，从而得出点 P 的坐标. 1.下列命题中，正确命题的个数为( ) 若 n1，n2分别是平面 ， 的法向量，则 n1n2； 若 n1，n2分别是平面 ， 的法向量，则 n1 n20； 若

16、 n 是平面 的法向量，a 是直线 l 的方向向量，若 l 与平面 平行，则 n a0； 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 答案 C 解析 中平面 ， 可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知正确. 2.已知两直线的方向向量为 a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) A.a(1，0，0)，b(3，0，0) B.a(0，1，0)，b(1，0，1) C.a(0，1，1)，b(0，1，1) D.a(1，0，0)，b(1，0，0) 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 向量

17、法解决线线垂直 答案 B 解析 因为 a(0，1，0)，b(1，0，1)，所以 a b0110010，所以 ab，故 选 B. 3.若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面 的法向量为 (2，0，4)，则( ) A.l B.l C.l D.l 与 斜交 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 B 解析 a，l. 4.平面 的一个法向量为 m(1，2，0)，平面 的一个法向量为 n(2，1，0)，则平面 与平面 的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 答案 C 解

18、析 (1，2，0) (2，1，0)0， 两法向量垂直，从而两平面垂直. 5.在三棱锥 SABC 中，SABSACACB90 ，AC2，BC 13，SB 29，则直 线 SC 与 BC 是否垂直_.(填“是”“否”) 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 向量法解决线线垂直 答案 是 解析 如图， 以 A 为坐标原点， AB， AS 所在直线分别为 y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Axyz， 则由 AC2，BC 13，SB 29， 得 B(0， 17，0)，S(0，0，2 3)，C 2 13 17， 4 17，0 ， SC 2 13 17， 4 17，2 3 ，CB 2 13 17，

19、13 17，0 . 因为SC CB0，所以 SCBC. 空间垂直关系的解决策略 几何法 向量法 线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为 90 . (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所 有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直 线面 垂直 对于直线 l，m，n 和平面 (1)若 lm， ln， m， n， m 与 n 相交， 则 l. (2)若 lm，m，则 l (1)证明直线的方向向量分别与 平面内两条相交直线的方向向 量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面 的法向量是平行向量 面面 垂直 对于直线 l，m 和平面 ， (1)若 l，l，则 . (2)若 l，m，lm，则 . (3)若平面 与 相交所成的二面角为直角， 则 证明两个平面的法向量互相垂 直