2020北师大版高中数学选修2-1《第二章 空间向量与立体几何》章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测试卷章末检测试卷(二二) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.与向量 a(1，3，2)平行的一个向量的坐标是( ) A. 1 3，1，1 B. 1 2， 3 2，1 C. 1 2， 3 2，1 D.( 2，3，2 2) 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 B 2.已知 A(1，0，1)，B(0，0，1)，C(2，2，2)，D(0，0，3)，则 sinAB ，CD 等于( ) A.2 3 B.2 3 C. 5 3 D. 5 3 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案

2、 C 解析 因为AB (1，0，0)，CD (2，2，1)， 所以 cosAB ，CD 2 3， 所以AB ，CD 2， ， 所以 sinAB ，CD 5 3 . 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 的对角线交于点 O，且OA a，OB b，则BC 等 于( ) A.ab B.ab C.1 2ab D.2(ab) 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A 解析 BC BO OC BO OA OA OB ab. 4.若向量 a 与 b 不共线，且 mab，nab，pa，则( ) A.m，n，p 共线 B.m 与 p 共线 C.n 与 p 共线 D.m，n

3、，p 共面 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 D 解析 (ab)(ab)2a，即 mn2p，即 p1 2m 1 2n，m 与 n 不共线，m，n，p 共 面. 5.设 a12mjk，a2m3j2k，a32mj3k，a43m2j5k，其中 m，j，k 是 两两垂直的单位向量，若 a4a1a2va3，则实数 ，v 的值分别是( ) A.1，2，3 B.2，1，3 C.2，1，3 D.1，2，3 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 B 解析 由题意知 a42mjkm3j2k2vmvj3vk3m2j5k， 所以 22v3， 3v2， 23v5， 解得 2， 1，

4、v3. 故选 B. 6.如图所示，BC4，原点 O 是 BC 的中点，点 A 3 2 ，1 2，0 ，点 D 在平面 yOz 上，且BDC 90 ，DCB30 ，则 AD 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 D 解析 因为点 D 在平面 yOz 上，所以点 D 的横坐标为 0，又 BC4，原点 O 是 BC 的中点， BDC90 ，DCB30 ，所以点 D 的竖坐标 z4sin 30 sin 60 3，纵坐标 y (2 4sin 30 cos 60 ) 1 ， 所 以D(0 ， 1 ，3 ). 所 以 |AD| 3

5、 2 0 2 1 21 20 32 6.故选 D. 7.已知空间三点 O(0， 0， 0)， A(1， 1， 0)， B(0， 1， 1)， 在直线 OA 上有一点 H 满足 BHOA， 则点 H 的坐标为( ) A.(2，2，0) B.(2，2，0) C. 1 2， 1 2，0 D. 1 2， 1 2，0 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 C 解析 由OA (1，1，0)，且点 H 在直线 OA 上，可设 H(，0)，则BH (，1， 1).又 BHOA，BH OA 0，即(，1，1) (1，1，0)0，即 10，解得 1 2，H 1 2， 1 2，0 ，故选 C

6、. 8.如图，在三棱锥 ABCD 中，ABACAD2，BAD90 ，BAC60 ，则AB CD 等 于( ) A.2 B.2 C.2 3 D.2 3 考点 空间向量数量积的概念与性质 题点 用定义求数量积 答案 A 解析 AB CD AB (AD AC )AB AD AB AC |AB |AD |cos 90 |AB |AC|cos 60 22cos 90 22cos 60 2. 9.若向量 a，b 满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|等于( ) A.2 B. 2 C.1 D. 2 2 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 B 解析 (ab)a，a (ab)

7、0， a b|a|2. 同理 b (2ab)0，a b1 2|b| 2. 联立，得|a|21 2|b| 2. 又|a|1，|b| 2.故选 B. 10.在四棱锥 PABCD 中，AB (4，2，3)，AD (4，1，0)，AP (6，2，8)，则这 个四棱锥的高 h 等于( ) A.1 B.2 C.13 D.26 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 B 解析 设平面 ABCD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n AB 0， n AD 0， 即 4x2y3z0， 4xy0. 不妨令 x3，则 y12，z4，可得 n(3，12，4)， 四棱锥的高 h|AP n| |n|

8、 26 132. 11.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 A1BD 与平面 C1BD 夹角的余弦值为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 3 D.1 3 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求面面夹角 答案 D 解析 如图，以点 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系， 设正方体的棱长为 1，则 A1(1，0，1)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，C1(0，1，1)， A1C (1，1，1)，AC1 (1，1，1). 易知 A1C平面 BC1D，AC1平面 A1BD. cosAC1 ，A1C 1 3， 平面 A1

9、BD 与平面 C1BD 夹角的余弦值为1 3. 12.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，使平面 ABD 与平面 BCD 的夹角为 90， 有如下四个结 论： ACBD；ACD 是等边三角形；直线 AB 与平面 BCD 所成的角为 60 ；AB 与 CD 所成的角为 60 .其中错误的结论是( ) A. B. C. D. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 答案 C 解析 如图所示，以 O 为坐标原点，OD，OA，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 空间直角坐标系 Oxyz， 设正方形 ABCD 的边长为 2，则 D(1，0，0)，B(1，0，0)，

10、C(0，0，1)，A(0，1，0)， 所以AC (0，1，1)，BD (2，0，0)，AC BD 0， 故 ACBD，正确. 又|AC | 2，|CD | 2，|AD | 2， 所以ACD 为等边三角形，正确. 对于，OA 为平面 BCD 的一个法向量， cosAB ，OA AB OA |AB | |OA | 1，1，0 0，1，0 2 1 1 2 2 2 . 因为直线与平面所成的角的范围是0，90， 所以 AB 与平面 BCD 所成的角为 45 ，故错误. 又 cosAB ，CD AB CD |AB | |CD | 1，1，0 1，0，1 2 2 1 2. 因为异面直线所成的角为锐角或直角，

11、 所以 AB 与 CD 所成的角为 60 ，故正确. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，若AC1 aAB 2bAD 3cA1A ，则 abc_. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 1 6 解析 由平行六面体 ABCDA1B1C1D1，得AC1 AB AD AA1 ，又已知AC1 aAB 2bAD 3cA1A ，可得 a1，2b1，3c1，解得 a1，b1 2，c 1 3，所以 abc 1 6. 14.已知平面 的一个法向量为 n(1，1，0)，则 y 轴与平面 所成的角的大小为_. 考点 空间

12、向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 答案 4 解析 y 轴的一个方向向量 s(0，1，0)，cosn，s n s |n|s| 2 2 ，即 y 轴与平面 所成 角的正弦值是 2 2 ，故其所成的角的大小是 4. 15.如图所示，已知正四面体 ABCD 中，AE1 4AB，CF 1 4CD，则直线 DE 和 BF 所成角的 余弦值为_. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线线角 答案 4 13 解析 设正四面体棱长为 4， ED EA AD 1 4BA AD ，BF BCCFBC1 4CD ， 所以 cosED ，BF ED BF |ED |BF | 1 4BA AD

13、 BC 1 4CD 1 4BA AD 2 BC 1 4CD 2 2002 13 13 4 13. 16.如图所示， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 底面是以ABC 为直角的等腰三角形， AC2a， BB13a，D 是 A1C1的中点，点 E 在棱 AA1上，要使 CE平面 B1DE，则 AE_. 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 a 或 2a 解析 以 B 为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 A( 2a，0，0)，B1(0，0，3a)，C(0， 2a，0).设点 E 的坐标为( 2a

14、，0，z)(0z3a)，则 CE ( 2a， 2a，z)，B 1E ( 2a，0，z3a)，由CE B 1E ，得 2a2z23az0，解得 z a 或 2a，即 AEa 或 2a. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17.(10 分)如图所示，在四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AM 的 长为 3，且 AM 和 AB，AD 的夹角都是 60 ，N 是 CM 的中点，设 aAB ，bAD ，cAM ， 试以 a，b，c 为基向量表示出向量BN ，并求 BN 的长. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 BN BCCN AD

15、1 2CM AD 1 2(AM AC ) AD 1 2AM (AD AB )1 2AB 1 2AD 1 2AM . 所以BN 1 2a 1 2b 1 2c，|BN |2BN2 1 2a 1 2b 1 2c 2 1 4(a 2b2c22a b2a c2b c)17 4 . 所以|BN |17 2 ，即 BN 的长为 17 2 . 18.(12 分)已知空间内三点 A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5). (1)求以向量AB ，AC为一组邻边的平行四边形的面积 S； (2)若向量 a 与向量AB ，AC都垂直，且|a| 3，求向量 a 的坐标. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空

16、间向量的坐标运算 解 (1)AB (2，1，3)，AC(1，3，2)， cosBAC AB AC |AB |AC| 7 14 14 1 2， 又BAC0，180， BAC60 ，S|AB |AC|sin 60 7 3. (2)设 a(x，y，z)，由 aAB ，得2xy3z0， 由 aAC ，得 x3y2z0， 由|a| 3，得 x2y2z23， xyz1 或 xyz1. a(1，1，1)或 a(1，1，1). 19.(12 分)如图所示，已知点 P 在正方体 ABCDABCD的对角线 BD上，PDA 60 . (1)求 DP 与 CC所成角的大小； (2)求 DP 与平面 AADD 所成角的

17、大小. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 解 (1)如图所示，以 D 为原点，DA ，DC ，DD 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立 空间直角坐标系，设 DA1. 则DA (1，0，0)，CC (0，0，1). 连接 BD， BD， 在平面 BBDD 中， 延长 DP 交 BD于 H， 设DH (m， m，1)(m0)， 由已知得DH ，DA 60 ， 由DA DH |DA |DH |cosDH ，DA ， 可得 2m 2m21，解得 m 2 2 ， 所以DH 2 2 ， 2 2 ，1 . 因为 cosDH ，CC 2 2 0 2 2 011 1 2 2

18、2 ，所以DH ，CC 45 ， 即 DP 与 CC所成的角为 45 . (2)平面 AADD 的法向量是DC (0，1，0)， 因为 cosDH ，DC 2 2 0 2 2 110 1 2 1 2， 所以DH ，DC 60 ，可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30 . 20.(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PG平面 ABCD，垂足 为 G，G 在 AD 上，且 PG4，AG1 3GD，BGGC，GBGC2，E 是 BC 的中点. (1)求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值； (2)若 F 是棱 PC 上一点，且 DFGC，求PF FC的

19、值. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线线角 解 (1)如图，以 G 点为原点，GB，GC，GP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系， 则 B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)， 故 E(1，1，0)，GE (1，1，0)，PC (0，2，4). 因为 cosGE ，PC GE PC |GE |PC | 2 22 5 10 10 ， 所以 GE 与 PC 所成角的余弦值为 10 10 . (2)因为GD 3 4BC 3 2， 3 2，0 ， 所以 D 3 2， 3 2，0 . 设 F(0，y，z)，则DF (0，y，z) 3 2， 3

20、2，0 3 2，y 3 2，z . 因为DF GC ，所以DF GC 0，即 3 2，y 3 2，z (0，2，0)2y30，所以 y 3 2. 又点 F 在 PC 上，所以PF PC，即 0，3 2，z4 (0，2，4)，所以 z1，故 F 0，3 2，1 . 所以PF 0，3 2，3 ，FC 0，1 2，1 ， 所以PF FC 3 5 2 5 2 3. 21.(12 分)如图所示， 在直角梯形 ABCD 中， ADC90 ， CDAB， AB4， ADCD2， 点 M 为线段 AB 的中点，将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 D ABC，如图所示. (1)求证

21、：BC平面 ACD； (2)求平面 ACD 与平面 CDM 夹角的余弦值. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求面面夹角 (1)证明 由已知可得 AC2 2，CAB45 ，在ABC 中，由余弦定理得 CB2 2，从而 AC2BC2AB2， ACBC. 平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，BC平面 ACD. (2)解 取 AC 的中点 O，连接 DO，MO，由题意知 DO平面 ABC. O，M 分别是 AC，AB 的中点，OMBC， OMAC. 以 O 为坐标原点，以 OA，OM，OD 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系 Oxyz.

22、由(1)知，M(0， 2，0)，C( 2，0，0)，D(0，0， 2). CM ( 2， 2，0)，CD ( 2，0， 2)， 设平面 CDM 的法向量为 n(x，y，z)，则有 n CM 0， n CD 0， 即 2x 2y0， 2x 2z0. 取 x1，得平面 CDM 的一个法向量为 n(1，1，1). 由题意知平面 ACD 的一个法向量为 m(0，1，0). cosm，n m n |m|n| 3 3 . 所以平面 ACD 与平面 CDM 夹角的余弦值为 3 3 . 22.(12 分)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E 为 CD 的中点. (1)求证：B1EAD1

23、； (2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说 明理由； (3)若平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的大小为 30 ，求 AB 的长. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 (1)证明 以 A 为原点，AB ，AD ，AA1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角 坐标系(如图). 设 ABa，则 A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E a 2，1，0 ，B1(a，0，1)， 故AD1 (0，1，1)，B1E a 2，1，1 ，AB1 (a，0，1)，AE a 2，1，0

24、. AD1 B1E a 2011(1)10， B1EAD1. (2)解 假设在棱 AA1上存在一点 P(0，0，z0)(0z01)，使得 DP平面 B1AE， 此时DP (0，1，z0). 设平面 B1AE 的法向量为 n(x，y，z). 则 nAB1 ，nAE ，得 axz0， ax 2 y0. 取 x1，得平面 B1AE 的一个法向量 n 1，a 2，a . 要使 DP平面 B1AE，只要 nDP ，即a 2az00， 解得 z01 2. 又 DP平面 B1AE， 存在点 P，使得 DP平面 B1AE，此时 AP1 2. (3)解 连接 A1D，B1C，由长方体 ABCDA1B1C1D1及 AA1AD1，得 AD1A1D. B1CA1D，AD1B1C， 又由(1)知 B1EAD1，且 B1CB1EB1，B1C，B1E平面 DCB1A1， AD1平面 DCB1A1， AD1 是平面 A1B1E 的一个法向量，且AD1 (0，1，1). 设AD1 与 n 所成的角为 ， 则 cos nAD， |n| AD，| a 2a 21a 2 4 a2 平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的大小为 30 ， |cos |cos 30 ，即 3a 2 215a 2 4 3 2 . 解得 a2，即 AB 的长为 2.