第二章 空间向量与立体几何 章末检测试卷(含答案)
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1、章末检测试卷章末检测试卷(二二) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1已知 a3m2n4p0,b(x1)m8n2yp,且 m,n,p 不共面,若 ab,则 x,y 的值为( ) A13,8 B13,5 C7,5 D7,8 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 A 解析 ab 且 a0, ba,即(x1)m8n2yp3m2n4p. 又m,n,p 不共面,x1 3 8 2 2y 4, x13,y8. 2已知平面 的一个法向量是(2,1,1),则下列向量可作为平面 的一个法向量的 是( ) A(4,2,
2、2) B(2,0,4) C(2,1,5) D(4,2,2) 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 , 的法向量与 的法向量平行, 又(4,2,2)2(2,1,1),故选 D. 3下列各组向量中不平行的是( ) Aa(1,2,2),b(2,4,4) Bc(1,0,0),d(3,0,0) Ce(2,3,0),f(0,0,0) Dg(2,3,5),h(16,24,40) 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 D 解析 对于 A,b2a,即 ab;对于 B,d3c,即 dc;对于 C,零向量与任何向量 都平行 4在以下命题中,不正确的个数为(
3、 ) |a|b|ab|是 a,b 共线的充要条件; 对 ab,则存在唯一的实数 ,使 ab; 对空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若OP 2OA 2OB OC ,则 P,A,B,C 四点共面; |(a b) c|a| |b| |c|. A2 B3 C4 D1 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 C 解析 |a|b|ab|a 与 b 的夹角为 ,故是充分不必要条件,故不正确;b 需为非零 向量,故不正确;因为 2211,由共面向量定理知,不正确;由向量的数量积的性 质知,不正确 5已知空间四边形 ABCD,点 E,F 分别是 AB 与 AD 边上的点,M,N
4、 分别是 BC 与 CD 边 上的点,若AE AB,AFAD ,CM CB ,CN CD ,则向量EF 与MN 满足的关系为( ) AEF MN BEF MN C|EF |MN | D|EF |MN | 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 B 解析 AE AFABAD DB , 即FE DB .同理NM DB .因为 DB DB , 所以FE NM , 即EF MN .又 与 不一定相等,故EF 不一定等于MN 且|MN |不一定等于|EF |. 6已知向量 a(0,2,1),b(1,1,2),则 a 与 b 的夹角为( ) A0 B45 C90 D180 考点 空间
5、向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 C 解析 cosa,b a b |a|b| 22 5 60, 又a,b0,180, a,b90 . 7A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB AC0,AC AD 0,AB AD 0,M 为 BC 中点,则AMD 是( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 C 解析 M 为 BC 中点, AM 1 2(AB AC) AM AD 1 2(AB AC) AD 1 2AB AD 1 2AC AD 0. AMAD,AMD 为直角三角形 8.如图所示,在三棱柱 ABCA1B1
6、C1中,AA1底面 ABC,ABBCAA1,ABC90 ,点 E,F 分别是棱 AB,BB1的中点,则直线 EF 和 BC1的夹角是( ) A45 B60 C90 D120 考点 空间向量的数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 B 解析 不妨设 ABBCAA11, 则EF BFBE1 2(BB1 BA ),BC 1 BC BB 1 , |EF |1 2|BB1 BA |2 2 ,|BC1 | 2, EF BC 1 1 2(BB1 BA ) (BCBB 1 )1 2, cosEF ,BC 1 EF BC 1 |EF |BC 1 | 1 2 2 2 2 1 2, EF ,BC 1 60 ,即异
7、面直线 EF 与 BC1的夹角是 60 . 9已知OA (1,2,3),OB (2,1,2),OP (1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,则当QA QB 取得 最小值时,点 Q 的坐标为( ) A. 1 2, 3 4, 1 3 B. 1 2, 3 2, 3 4 C. 4 3, 4 3, 8 3 D. 4 3, 4 3, 7 3 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 C 解析 设 Q(x,y,z),因 Q 在OP 上,故有OQ OP , 设OQ OP (R),可得 x,y,z2, 则 Q(,2),QA (1,2,32), QB (2,1,22), 所以QA QB
8、6216106 4 3 22 3, 故当 4 3时,QA QB 取最小值,此时 Q 4 3, 4 3, 8 3 . 10在矩形 ABCD 中,AB1,BC 2,PA平面 ABCD,PA1,则直线 PC 与平面 ABCD 的夹角为( ) A30 B45 C60 D120 考点 题点 答案 A 解析 以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空 间直角坐标系 Axyz,则 P(0,0,1),C(1, 2,0),PC (1, 2,1), 平面 ABCD 的一个法向量为 n(0,0,1),所以 cosPC ,nPC n |PC |n| 1 2, 又因为
9、PC ,n0,180, 所以PC ,n120 , 所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线的夹角为 60 , 所以斜线 PC 与平面 ABCD 的夹 角为 30 . 11.如图,过边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 EA平面 AC, 若 EA1, 则平面 ADE 与平面 BCE 夹角的大小为( ) A120 B45 C150 D60 考点 题点 答案 B 解析 以 A 为坐标原点,分别以 AB,AD,AE 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系 Axyz, 则 A(0,0,0),E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0), EB
10、(1,0,1),EC(1,1,1) 设平面 BCE 的法向量为 n(x,y,z), 则 n EB 0, n EC 0, 即 xz0, xyz0, 可取 n(1,0,1) 又平面 EAD 的法向量为AB (1,0,0), 所以 cosn,AB 1 21 2 2 , 故平面 ADE 与平面 BCE 夹角的大小 45 . 12将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC,有如下四个结论: ACBD; ACD 是等边三角形; AB 与平面 BCD 夹角为 60 ; AB 与 CD 所成的角为 60 . 其中错误的结论是( ) A B C D 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合
11、应用 答案 C 解析 如图所示,取 BD 的中点 O,以 O 为坐标原点,OD,OA,OC 所在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,设正方形 ABCD 边长为 2,则 D(1,0,0), B(1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC (0,1,1),BD (2,0,0),AC BD 0, 故 ACBD.正确 又|AC | 2,|CD | 2,|AD | 2, 所以ACD 为等边三角形正确 对于,OA 为平面 BCD 的一个法向量, cosAB ,OA AB OA |AB | |OA | 1,1,0 0,1,0 2 1 1 2 2 2 . 所以
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