2020北师大版高中数学选修2-1阶段训练二（范围：§1～§3）含答案

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1、阶段训练二阶段训练二(范围：范围： 1 3) 一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) A.若 ab，bc，则 a 与 c 所在直线平行 B.向量 a，b，c 共面即它们所在直线共面 C.空间任意两个向量共面 D.若 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理应用 答案 C 解析 对于 A，当 b0 时，a 与 c 所在直线可重合、平行、相交或异面；当 b0 时，a 与 c 所在直线可重合，排除 A；对于 B，它们所在直线可异面，排除 B；对于 D；b0 时不满足， 排除 D 项. 2.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列各组向量的夹角

2、为 45 的是( ) A.AB 与A 1C1 B.AB 与C 1A1 C.AB 与A 1D1 D.AB 与B 1A1 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 A 3.如图，空间四边形 OABC，OA a，OB b，OC c，点 M 在 OA 上，且 OM2MA，N 是 BC 的中点，则MN 等于( ) A.1 2a 2 3b 1 2c B.2 3a 1 2b 1 2c C.1 2a 1 2b 2 3c D.2 3a 2 3b 1 2c 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 B 解析 MN MA AB BN. OM2MA，MA 1 3OA 1 3a. N 是

3、BC 的中点，且BC OC OB cb， BN 1 2BC 1 2c 1 2b. 又AB OB OA ba， MN MA AB BN1 3aba 1 2c 1 2b 2 3a 1 2b 1 2c. 4.已知 M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(1，2，3)，若|PQ |3|MN |且PQ MN ，则 Q 点的坐 标为( ) A.(2，5，0) B.(4，1，6)或(2，5，0) C.(3，4，1) D.(3，4，1)或(3，2，5) 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B 解析 设 Q(x，y，z)，则PQ (x1，y2，z3)，MN (1，1，1)， x12y2

4、2z323 121212， x1y2z3， 解得 x4， y1， z6 或 x2， y5， z0， Q 点的坐标为(4，1，6)或(2，5，0). 5. 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是正方形， E 为 PD 的中点， 若PA a， PBb， PC c，则BE等于( ) A.1 2a 1 2b 1 2c B.1 2a 1 2b 1 2c C.1 2a 3 2b 1 2c D.1 2a 1 2b 3 2c 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 C 解析 由 E 为 PD 的中点知， BE 1 2(BP BD ) 1 2PB 1 2(BA BC) 1 2PB

5、 1 2BA 1 2BC 1 2PB 1 2(PA PB)1 2(PC PB) 3 2PB 1 2PA 1 2PC 1 2a 3 2b 1 2c. 6.在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AE CF等于( ) A.0 B.1 2 C.3 4 D.1 2 考点 空间向量的数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 答案 D 解析 AE CF1 2(AB AC) 1 2AD AC 1 4AB AD 1 4AC AD 1 2AB AC1 2|AC |2 1 4cos 60 1 4cos 60 1 2cos 60 1 2 1 2. 7.ABC 的顶点分别为 A(

6、1，1，2)，B(5，6，2)，C(1，3，1)，则 AC 边上的高 BD 等 于( ) A.5 B. 41 C.4 D.2 5 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 A 解析 设AD AC ， 又AC (0，4，3)，则AD (0，4，3). 又AB (4，5，0)，BD (4，45，3). 由AC BD 0，得 4 5， BD 4，9 5， 12 5 ，|BD |5. 二、填空题 8.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是 AB 的中点， 则 sinDB1 ，CM _. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线线角 答案 210 15 解析 如

7、图所示，以点 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空 间直角坐标系. 设棱长为 1，则 D(0，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，M 1，1 2，0 ， DB1 (1，1，1)，CM 1，1 2，0 . cosDB1 ，CM DB1 CM |DB1 |CM | 11 2 311 4 15 15 ， sinDB1 ，CM 210 15 . 9.已知向量 a(2，1，2)，b(1，1，4)，则(2a3b) (a2b)_. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 81 解析 因为 2a3b2(2，1，2)3(1，1，4)(1，

8、5，8)，a2b(2，1，2) 2(1，1，4)(4，1，10)，所以(2a3b) (a2b)(1，5，8) (4，1，10)81. 10.已知矩形 ABCD 中，AB1，BC 3，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使平面 ABC 与 平面 ACD 垂直，则 B 与 D 之间的距离为_. 考点 空间向量数量积的应用 题点 空间向量数量积的综合应用 答案 10 2 解析 如图，过 B，D 分别向 AC 作垂线，垂足分别为 M，N， 可求得 AM1 2，BM 3 2 ，CN1 2，DN 3 2 ，MN1.BD BM MN ND ，|BD |2(BM MN ND )2|BM |2|MN |2|

9、ND |22(BM MN MN ND BM ND ) 3 2 212 3 2 20 5 2，|BD | 10 2 . 三、解答题 11.已知向量 a(2，1，2)，c(1，0，1)，若向量 b 同时满足下列三个条件：a b 1；|b|3；b 与 c 垂直. (1)求向量 b 的坐标； (2)若向量 b 与向量 d 1，1 2，1 共线，求向量 ab 与 2b3c 夹角的余弦值. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 解 (1)设 b(x， y， z)， 则由题意可知 2xy2z1， x2y2z29， xz0， 解得 x2， y1， z2 或 x2， y1， z2. b(2，1

10、，2)或 b(2，1，2). (2)向量 b 与向量 d 1，1 2，1 共线， b(2，1，2). 又a(2，1，2)，c(1，0，1)， ab(0，2，4)，2b3c(1，2，7)， (ab) (2b3c)32，且|ab|2 5，|2b3c|3 6， ab 与 2b3c 夹角的余弦值为 cosab，2b3cab 2b3c |ab|2b3c| 8 30 45 . 12.设向量 a(3，5，4)，b(2，1，8)，计算 2a3b，3a2b，a b 以及 a 与 b 所成角的 余弦值，并确定 ， 应满足的条件，使 ab 与 z 轴垂直. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 解

11、 2a3b2(3，5，4)3(2，1，8) (6，10，8)(6，3，24)(12，13，16). 3a2b3(3，5，4)2(2，1，8) (9，15，12)(4，2，16)(5，13，28). a b(3，5，4) (2，1，8)653221. |a|3252425 2， |b| 221282 69， cosa，b a b |a|b| 21 5 2 69 7 138 230 . ab 与 z 轴垂直. (32，5，48) (0，0，1)480，即 2，当 ， 满足 2 时， 可使 ab 与 z 轴垂直. 13.空间四边形 ABCD 中，若向量AB (3，5，2)，CD (7，1，4)，点

12、E，F 分别为 线段 BC，AD 的中点，则EF 的坐标为( ) A.(2，3，3) B.(2，3，3) C.(5，2，1) D.(5，2，1) 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B 解析 如图，取 AC 的中点 M，连接 ME，MF， 则ME 1 2AB 3 2， 5 2，1 ， MF 1 2CD 7 2， 1 2，2 ， 从而EF MF ME (2，3，3). 14.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90 ，将ACD 沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60 角，求 B，D 间的距离. 考点 空间向量数量积的应用 题点 空间向量数量积的综合应用 解 ACD90 ，AC CD 0. 同理AC BA0. 在三棱锥 ABCD 中，AB 与 CD 成 60 角， BA ，CD 60 或 120 . 又BD BA ACCD ， |BD |2|BA |2|AC|2|CD |22BA AC2BA CD 2AC CD 3211cosBA ，CD . 当BA ，CD 60 时，|BD |24； 当BA ，CD 120 时，|BD |22. |BD |2 或 2，即 B，D 间的距离为 2 或 2.