2020北师大版高中数学选修2-1阶段训练六（范围：§1～§4）含答案

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1、阶段训练六阶段训练六(范围：范围：14) 一、选择题 1.“双曲线的方程为 x2y21”是“双曲线的渐近线方程为 y x”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 以离心率或渐近线为条件下的简单问题 答案 A 解析 双曲线x2y21的渐近线方程为y x， 而渐近线为y x的双曲线为x2y2(0)， 故选 A. 2.如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 2，a(a2)，原点 O 为 AD 的中点，抛 物线 y22px(p0)经过 C，F 两点，则 a 等于( ) A. 21 B. 22 C.2

2、 22 D.2 22 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C 解析 由题意知 C(1，2)，F(1a，a)， 42p， a22p1a， 解得 a2 22(负值舍去).故选 C. 3.已知抛物线 y1 2x 2的焦点与椭圆y 2 m x2 21 的一个焦点重合，则 m 等于( ) A.9 4 B. 127 64 C.7 4 D. 129 64 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题 答案 A 解析 y1 2x 2即 x22y 的焦点坐标为 0，1 2 ， 由题意可得 m21 4 9 4. 4.已知双曲线x 2 4 y2 b21(b0)的右焦点与抛物线 y

3、212x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其 渐近线的距离等于( ) A. 5 B.4 2 C.3 D.5 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 以离心率或渐近线为条件下的简单问题 答案 A 解析 由题意得抛物线的焦点为(3，0)， 所以双曲线的右焦点为(3，0)， 所以 b2945， 所以双曲线的一条渐近线方程为 y 5 2 x， 即 5x2y0， 所以所求距离为 d |3 5| 54 5. 5.已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为1 2，E 的右焦点与抛物线 C：y 28x 的焦点重合， A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|等于( ) A.3 B.6 C.9 D.12 考点

4、 抛物线的简单性质 题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题 答案 B 解析 设椭圆 E 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 因为 ec a 1 2，y 28x 的焦点为(2，0)， 所以 c2，a4，b2a2c212， 故椭圆 E 的方程为x 2 16 y2 121，将 x2 代入椭圆方程， 解得 y 3，所以|AB|6. 6.已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1，F2的坐标分别为( 5，0)和( 5，0)，点 P 在双 曲线上，且 PF1PF2，PF1F2的面积为 1，则双曲线的方程为( ) A.x 2 2 y2 31 B.x 2 3 y2 21 C.x 2 4y 21 D.

5、x2y 2 41 考点 由双曲线的简单性质求方程 题点 待定系数法求双曲线方程 答案 C 解析 由题意知， |PF1| |PF2|2， |PF1|2|PF2|22 52 (|PF1|PF2|)216，即 2a4，解得 a2， 又 c 5，所以 b1， 所以所求双曲线的方程为x 2 4y 21，故选 C. 7.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1 4，则该椭圆 的离心率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 考点 椭圆的离心率 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 B 解析 如图，由题意得， |BF|a，|OF|c，|OB

6、|b， |OD|1 42b 1 2b. 在 RtOFB 中，|OF|OB|BF|OD|， 即 cba 1 2b，所以 a2c， 故椭圆离心率 ec a 1 2，故选 B. 8.(2018 泉州高二检测)已知点 A(4，0)，抛物线 C：x212y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线和 它的准线分别相交于点 M 和 N，则|FM|MN|等于( ) A.23 B.34 C.35 D.45 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 C 解析 抛物线焦点为 F(0，3)， 又 A(4，0)，所以 FA 的方程为 3x4y120， 设 M(xM，yM)，由 x212y， 3x4y120，

7、 可得 xM3(负值舍去)，所以 yM3 4， 所以|FM| |MN| 3 5，故选 C. 二、填空题 9.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB| 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为_. 考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 3 解析 由题意得|AB|2b 2 a 22a，得 b22a2，即 c2a22a2，离心率 e 3. 10.已知点 A 到点 F(1，0)的距离和到直线 x1 的距离相等，点 A 的轨迹与过点 P(1，0) 且斜率为 k 的直线没有交点，则 k 的取值范围是_. 考点 直线与抛

8、物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数的问题 答案 (，1)(1，) 解析 设点 A(x，y)，依题意，得点 A 在以 F(1，0)为焦点，x1 为准线的抛物线上， 该抛物线的标准方程为 y24x. 过点 P(1，0)，斜率为 k 的直线为 yk(x1). 由 y24x， ykxk， 消去 x，得 ky24y4k0. 当 k0 时，显然不符合题意； 当 k0 时，依题意，得 (4)24k 4k0，解得 k1 或 k0，n0)， 双曲线与椭圆共焦点且离心率为 2， m2n272， 6 2 n 2， 解得 m6， n6， 所求双曲线方程为y 2 36 x2 361. 13.(2018 南宁高

9、二检测)已知抛物线 C：y22px(p0)上横坐标为 1 的点到焦点的距离为 2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)若过点(0，2)的直线与抛物线交于不同的两点 A，B，且以 AB 为直径的圆过坐标原点 O， 求OAB 的面积. 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线性质的综合问题 解 (1)依题意得 1p 22，解得 p2， 所以抛物线 C 的方程为 y24x. (2)依题意，若直线斜率不存在，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意. 所以设直线方程为 ykx2(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 ykx2， y24x， 消去 y 得 k2x2(4k4)x40， 所以 (4

10、k4)24k2 40，即 kb0)的左焦点为 F1，离心率为 3 2 ，且 C 上任意 一点 P 到 F1的最短距离为 2 3. (1)求 C 的方程； (2)过点 A(0，2)的直线 l(不过原点)与 C 交于两点 E，F，M 为线段 EF 的中点. (i)证明：直线 OM 与 l 的斜率乘积为定值； (ii)求OEF 面积的最大值及此时 l 的斜率. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 (1)解 由题意得 ac2 3， c a 3 2 ， 解得 a2， c 3， a24，b2a2c21，椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. (2)()证明 由题设知直线 l

11、 的斜率存在，设直线 l 为 ykx2， E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(xM，yM)， 由题意得 ykx2， x2 4y 21， (14k2)x216kx120， 由 16(4k23)0，得 k23 4， 由根与系数的关系得， x1x2 16k 14k2，x1 x2 12 14k2， xM 8k 14k2，yMkxM2 2 14k2. kOMyM xM 1 4k，k kOM 1 4， 直线 OM 与 l 的斜率乘积为定值. ()解 由()可知，|EF| 1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2 4 1k2 4k23 14k22 4 1k24k23 14k2 ， 又点 O 到直线 l 的距离 d 2 1k2， OEF 的面积 SOEF1 2 d |EF| 1 2 2 1k2 4 1k24k23 14k2 4 4k 23 14k2 ， 令 4k23t，则 t0， SOEF 4t t24 4 t4 t 4 41， 当且仅当 t2 时等号成立，此时 k 7 2 ，且满足 0， OEF 面积的最大值是 1，此时直线 l 的斜率 k 7 2 .