第三章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测章末检测(三三) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析 抛物线的焦点到准线的距离为 p4. 答案 C 2.已知双曲线x 2 a2y 21(a0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点重合， 则此双曲线的 渐近线方程是( ) A.y 5x B.y 5 5 x C.y 3x D.y 3 3 x 解析 y28x 焦点是(2，0)， 双曲线 x2 a2y 21 的半焦距 c2， 又虚半轴长 b1 且 a0， 所以 a 2212 3， 双曲线

2、的渐近线方程是 y 3 3 x. 答案 D 3.已知 M(2，0)，N(2，0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹 方程是( ) A.x2y22 B.x2y24 C.x2y22(x2) D.x2y24(x 2) 解析 点 P 的轨迹是以 MN 为直径的圆，又 P 为直角三角形的顶点，点 P 不能 与 M，N 两点重合，故 x 2. 答案 D 4.抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 的距离的最小值是( ) A.4 3 B.7 5 C.8 5 D.3 解析 设与直线 4x3y80 平行的直线方程为 4x3yc0， 与抛物线联立方 程组得 4x3yc0， yx2， 消去 y

3、 得 3x24xc0，(4)243(c)0，解 得 c4 3，则抛物线与直线 4x3y80 平行的切线是 4x3y 4 30，问题转 化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得 d |4 38| 4232 4 3，故选 A. 答案 A 5.k1，关于 x，y 的方程(1k)x2y2k21 所表示的曲线是( ) A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的双曲线 D.焦点在 x 轴上的双曲线 解析 原方程可化为 y2 k21 x2 1k1， k1， k210，1k0. 方程所表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线. 答案 C 6.设双曲线的一个焦点为 F，虚

4、轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一 条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1 3 2 D.1 5 2 解析 不妨设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，则可令 F(c，0)，B(0，b)，直 线 FB：bxcybc0 与渐近线 yb ax 垂直，所以 b c b a1，即 b 2ac，所以 c2a2ac，即 e2e10，所以 e1 5 2 或 e1 5 2 (舍去). 答案 D 7.已知点 A(0，2)，B(2，0).若点 C 在抛物线 x2y 的图像上，则使得ABC 的面 积为 2 的点 C 的个数为( ) A.4 B.3 C.2

5、 D.1 解析 由已知可得|AB|2 2， 要使SABC2， 则点C到直线AB的距离必须为 2， 设 C(x，x2)，而 lAB：xy20，所以有|xx 22| 2 2，所以 x2x2 2， 当 x2x22 时，有两个不同的 C 点； 当 x2x22 时，亦有两个不同的 C 点. 因此满足条件的 C 点有 4 个，故选 A. 答案 A 8.直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y2 m1 总有公共点，则 m 的取值范围是( ) A.(1，) B.(0，) C.1，5)(5，) D.(0，1)(1，5) 解析 直线 ykx1 过定点(0， 1)， 只需该点落在椭圆内或椭圆上， 0 2 5 1 m1，

6、 解得 m1，又 m5，故选 C. 答案 C 9.设 k0， x2 3k y2 k1 表示焦点在 x 轴上的椭圆. a23k，b2k. a2b23c2， 与已知椭圆有相同焦点. 综上，二次曲线 x2 3k y2 k 1 与x 2 5 y2 21 有相同的焦点. 答案 C 10.已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线过点(2， 3) ，且双曲线的一 个焦点在抛物线 y24 7x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A. x2 21 y2 281 B. x2 28 y2 211 C.x 2 3 y2 41 D.x 2 4 y2 31 解析 双曲线x 2 a2 y2 b21 的

7、渐近线方程为 y b ax， 又渐近线过点(2， 3)，所以2b a 3，即 2b 3a， 抛物线 y24 7x 的准线方程为 x 7， 由已知得 a2b2 7，即 a2b27， 联立解得 a24，b23， 所求双曲线的方程为x 2 4 y2 31，选 D. 答案 D 11.若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y2 31 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一 点，则OP FP 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 解析 由椭圆方程得 F(1，0)，设 P(x0，y0)， 则OP FP (x 0，y0) (x01，y0)x20x0y20. P 为椭圆上一点，x 2 0 4

8、y 2 0 3 1. OP FP x2 0x03 1x 2 0 4 x 2 0 4x03 1 4(x02) 22.2x02， OP FP 的最大值在 x 02 时取得，且最大值等于 6. 答案 C 12.已知抛物线 y2x，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB 2(其中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.17 2 8 D. 10 解析 如图，可设 A(m2，m)，B(n2，n)，其中 m0，n0，则OA (m2， m)， OB (n2， n)， OA OB m2n2mn2， 解得 mn1(舍) 或 mn2. lAB：(m2n

9、2)(yn) (mn) (xn2)， 即(mn)(yn)xn2， 令 y0，解得 xmn2， C(2，0)，点 C 为直线 AB 与 x 轴的交点. SAOBSAOCSBOC1 22m 1 22(n)mn，SAOF 1 2 1 4m 1 8m，则 SAOBSAOFmn1 8m 9 8mn 9 8m 2 m2 9 8m 2 m3，当且仅当 9 8m 2 m，即 m4 3时等号成立.故ABO 与AFO 面积之和的最小值为 3. 答案 B 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.双曲线 x2 16 y2 91 的两条渐近线的方程为_. 解析 由题意可得，a4，b3.

10、又双曲线的焦点在 x 轴上，y b ax 3 4x. 答案 y 3 4x 14.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离 心率为 2 2 .过 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么椭 圆 C 的方程为_. 解析 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由 e 2 2 知，c a 2 2 ，b 2 a2 1 2. ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16， a4，b28.椭圆 C 的方程为 x2 16 y2 81. 答案 x2 16 y2 81 15.设 F1

11、， F2分别是双曲线 x2y 2 91 的左、 右焦点， 若点 P 在双曲线上， 且PF1 PF2 0，则|PF1 PF2 |_. 解析 F1， F2分别是双曲线 x2y 2 91 的左、 右焦点， 点 P 在双曲线上， 且PF1 PF2 0，O 为坐标原点，则|PF1 PF2 |2|PO |F1F2 |F1F2|2 10. 答案 2 10 16.已知抛物线 y2px2(p0)的焦点为 F，点 P 1，1 4 在抛物线上，过点 P 作 PQ 垂 直于抛物线的准线，垂足为点 Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点 M，则四边 形 PQMF 的面积为_. 解析 由 P(1， 1 4)在抛物线上， 得

12、p 1 8， 故抛物线的标准方程为 x 24y， 焦点 F(0， 1)，准线为 y1， |FM|2，|PQ|11 4 5 4，|MQ|1， 则直角梯形 PQMF 的面积为1 2 5 42 1 13 8 . 答案 13 8 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分) 17.(10 分)抛物线 y2x 上存在两点关于直线 ym(x3)对称，求 m 的取值范围. 解 设抛物线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 ym(x3)对称，A，B 中点 M(x，y)，则当 m0 时，有直线 y0，显然存在两点关于它对称. 当 m0 时， y 2 1x1， y22x2 y 1y2 x1x2

13、1 y1y2 1 2y 1 m， 所以 ym 2，所以 M 的坐标为 5 2， m 2 ， M 在抛物线内，则有5 2 m 2 2 ， 得 100.解得 0b0)的离心率为 6 3 ，右焦点为(2 2，0)，斜 率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3，2). (1)求椭圆 G 的方程； (2)求PAB 的面积. 解 (1)由已知得 c2 2，c a 6 3 . 解得 a2 3，又 b2a2c24. 所以椭圆 G 的方程为 x2 12 y2 41. (2)设直线 l 的方程为 yxm. 由 yxm， x2 12 y2 41， 联立得 4x26mx3m2120. 设 A、B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) (x10. 将 ykxm 代入椭圆 C 的方程， 可得(14k2)x28kmx4m240， 由 0，可得 m214k2. 由可知 0t1， 因此 S2 （4t）t2 t24t，故 S2 3， 当且仅当 t1，即 m214k2时取得最大值 2 3. 由()知，ABQ 面积为 3S， 所以ABQ 面积的最大值为 6 3.