专题突破三:空间直角坐标系的构建策略 课时对点练(含答案)
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1、专题突破三专题突破三 空间直角坐标系的构建策略空间直角坐标系的构建策略 一、选择题 1.在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1 3,则异面直线 AD1与 DB1所成角的 余弦值为( ) A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 考点 题点 答案 C 解析 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1, 3),D1(0,0, 3), 所以AD1 (1,0, 3),DB1 (1,1, 3), 因为 cosAD1 ,DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 13 2 5
2、 5 5 . 2.如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,M,E,F 分别为 PQ,AB,BC 的中点,则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是( ) A. 30 30 B.2 5 C. 30 30 D.1 5 考点 题点 答案 A 解析 由题设易知,AB,AD,AQ 两两垂直.以 A 为原点,AB,AD,AQ 所在直线分别为 x, y,z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方形边长为 2, 则 A(0,0,0),E(1,0,0),M(0,1,2),F(2,1,0), EM (1,1,2),AF (2,1,0), cosEM ,AF EM AF |EM | |
3、AF | 1 30 30 30 , 则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值为 30 30 . 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,BD 与平面 A1C1D 所成角的正弦值是( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 2 2 D.1 考点 题点 答案 B 解析 以 D1为坐标原点,D1A1 ,D 1C1 ,D 1D 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立 空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 2,则 A1(2,0,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),B(2,2,2), 且 n(1,1,1)是平面 A1C1D 的一个法向量, 因为DB (2,2,0), 所以 cosn,D
4、B DB n |DB |n| 4 2 2 3 6 3 . 设 DB 与平面 A1C1D 所成的角为 ,则 sin cosn,DB 6 3 . 4.在正三棱柱 ABCA1B1C1中,若 AB 2BB1,则 AB1与 C1B 所成角的大小为( ) A.60 B.75 C.105 D.90 考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 答案 D 解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设 BB11, 则 A(0,0,1),B1 6 2 , 2 2 ,0 ,C1(0, 2,0),B 6 2 , 2 2 ,1 . AB1 6 2 , 2 2 ,1 ,C1B 6 2 , 2 2 ,1 ,
5、 AB1 C1B 6 4 2 410, 即 AB1与 C1B 所成角的大小为 90 . 5.(2018 贵州贵阳高二检测)如图,四棱锥 PABCD 中,PB平面 ABCD,底面 ABCD 为直 角梯形,ADBC,ABBC,ABADPB3,点 E 在棱 PA 上,且 PE2EA,则平面 ABE 与平面 BED 的夹角的余弦值为( ) A. 2 3 B. 6 6 C. 3 3 D. 6 3 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 答案 B 解析 如图,以 B 为坐标原点,分别以 BC,BA,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空 间直角坐标系, 则 B(0,0
6、,0),A(0,3,0),P(0,0,3),D(3,3,0),E(0,2,1), BE (0,2,1),BD (3,3,0). 设平面 BED 的法向量为 n(x,y,z), 则 n BE 2yz0, n BD 3x3y0, 取 z1,得 n 1 2, 1 2,1 . 又平面 ABE 的法向量为 m(1,0,0), cosn,m m n |n|m| 1 2 6 2 1 6 6 . 平面 ABE 与平面 BED 的夹角的余弦值为 6 6 . 6.如图,直三棱柱 ABCA1B1C1中,AB1,ACAA1 3,ABC60 ,则平面 AA1C 与 平面 A1CB 夹角的余弦值是( ) A. 5 5 B
7、. 10 5 C. 15 5 D. 2 2 考点 题点 答案 C 解析 由题意知 ABAC,以 A 为坐标原点,AB ,AC,AA 1 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的 正方向建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),A1(0,0, 3). 设平面 A1BC 的法向量为 n(x,y,z), 则BC n0,A 1C n0. 又因为BC (1, 3,0),A 1C (0, 3, 3), 所以 x 3y0, 3y 3z0, 令 y1,则 n( 3,1,1). 取 mAB (1,0,0)为平面 AA 1C 的一个法向量, 所以 cosm,n m n |m|
8、n| 31 32111 15 5 . 所以平面 AA1C 与平面 A1CB 夹角的余弦值为 15 5 . 二、填空题 7.如图所示,在四面体 ABCD 中,CACBCDBD2,ABAD 2,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为_. 考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 答案 2 4 解析 取 BD 的中点 O,连接 OA,OC. 由题意知 OA,OC,BD 两两垂直, 以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示, 则 B(1,0,0),D(1,0,0),C(0, 3,0),A(0,0,1), 所以AB (1,0,1),CD (1, 3,0), cosA
9、B ,CD 1 22 2 4 , 因为异面直线所成角的范围是 0, 2 , 所以 AB 与 CD 所成角的余弦值是 2 4 . 8.如图,已知四棱锥 PABCD 的底面是菱形,对角线 AC,BD 交于点 O,OA4,OB3, OP4,OP底面 ABCD.设点 M 满足PM MC (0),当 1 2时,直线 PA 与平面 BDM 所 成角的正弦值是_. 考点 题点 答案 10 10 解析 以 O 为坐标原点,OA ,OB ,OP 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角 坐标系, 则PA (4,0,4),DB (0,6,0),AB (4,3,0). 当 1 2时,得 M 4 3,
10、0, 8 3 , 所以MB 4 3,3, 8 3 . 设平面 DBM 的法向量为 n(x,y,z), 则 DB n6y0, MB n4 3x3y 8 3z0, 解得 y0,令 x2,则 z1, 所以 n(2,0,1). 因为 cosPA ,nPA n |PA |n| 4 4 2 5 10 10 , 所以直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值为 10 10 . 9.(2018 山西太原高二检测)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA PD 5, 平面 ABCD平面 PAD, M 是 PC 的中点, O 是 AD 的中点, 则直线 BM 与平面 PCO 所成角的
11、正弦值是_. 考点 向量法求直线与平面所成的角 题点 向量法求直线与平面所成的角 答案 8 85 85 解析 如图,以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系. 则 B(1,2,0),C(1,2,0),P(0,0,2),M 1 2,1,1 . BM 3 2,1,1 . 设平面 PCO 的法向量为 n(x,y,z), 则 n OP x,y,z 0,0,20, n OC x,y,z 1,2,00, z0, x2y, 取 n(2,1,0). 因此直线 BM 与平面 PCO 所成角的正弦值是 |cosBM ,n| |31| 17 2 5 8 85 85 . 10.如图,四棱锥 FABCD 的底面 ABCD
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