北京市西城区2020届高三下学期数学综合模拟试卷（一）含答案解析

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1、2020 年高考模拟高考数学模拟试卷（一）年高考模拟高考数学模拟试卷（一） 一、选择题 1若集合Ax|x 2+2x0，Bx|x|1，则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x0 Cx|0x1 Dx|1x2 2已知a，bR，且ab，则（ ） A Bsinasinb C Da 2b2 3 已知直线x+y+20 与圆x 2+y2+2x2y+a0 没有公共点， 则实数 a的取值范围为 （ ） A（，0 B0，+） C（0，2） D（，2） 4设 是单位向量， 是非零向量，则“ ”是“ （ + ）1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5设 ， 是两个

2、不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A若m，mn，则 n B若 ，m，n，则mn C若n，mn，则m D若 ，m，n，则mn 6在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正方形网格的边长为 1，那么该 四面体最长棱的棱长为（ ） A B C6 D 7 数列an是等差数列， bn是各项均为正数的等比数列， 公比q1， 且a5b5， 则 （ ） Aa3+a7b4+b6 Ba3+a7b4+b6 Ca3+a7b4+b6 Da3+a7b4+b6 8A、B两种品牌各三种车型 2017 年 7 月的销量环比（与 2017 年 6 月比较）增长率如表： A品牌车型 A1 A2

3、A3 环比增长率 7.29% 10.47% 14.70% B品牌车型 B1 B2 B3 环比增长率 8.49% 28.06% 13.25% 根据此表中的数据，有如下关于 7 月份销量的四个结论： A1车型销量比B1车型销量多； A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于 14.70%； B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正； A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 9设函数f（x）sin（x+），A0，0，若f（x）在区间，上单调，且 f（）f（）f（），则f（x）的最小正周期为 （ ） A B2 C4 D 10

4、已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名 具体积分 规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2 表 1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 100 米跑 以 13 秒得 60 分为标准，每少 0.1 秒加 5 分，每多 0.1 秒扣 5 分 跳高 以 1.2 米得 60 分为标准，每多 0.02 米加 2 分，每少 0.02 米 扣 2 分 掷实心球 以 11.5 米得 60 分为标准， 每多 0.1 米加 5 分， 每少 0.1 米扣 5 分 表 2 某队模拟成绩明细 姓名 100 米跑（秒） 跳高（米） 掷实心球（米） 甲 13.3 1.24 1

5、1.8 乙 12.6 1.3 11.4 丙 12.9 1.26 11.7 丁 13.1 1.22 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 二、填空题（共 5 小题） 11已知复数z满足（1i）z2i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数 12 已知点F为抛物线y 28x 的焦点， 则点F坐标为 ； 若双曲线（a0） 的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是 13已知展开式中x 5的系数为 21，则实数 a的值为 14已知函数f（x）sinx若对任意的实数，都存在唯一的实数 （0，m），使f（）+f（）0，则实数m的最大值是 15已知函数其中a0，且

6、a1 （i）当a2 时，若f（x）f（2），则实数x的取值范围是 ； （ii） 若存在实数m使得方程f（x） m0 有两个实根， 则实数a的取值范围是 三、解答题（共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16若ABC的面积为，且A为锐角 （）求 cosA的值； （）求的值 17 如图， 在三棱锥VABC中， 平面VAC平面ABC， ABC和VAC均是等腰直角三角形， ABBC，ACCV2，M，N分别为VA，VB的中点 （）求证：AB平面CMN； （）求证：ABVC； （）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值 18 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意

7、情况， 随机抽取了一些客户 进行回访，调查结果如，表： 汽车型号 I II III IV V 回访客户（人数） 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中 该型号汽车的满意率相等 （）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率； （）从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为 ， 求 的分布列和期望； （）用“11”，“21”，“31”，“41”，“51”分别表示I，II

8、， III，IV，V型号汽车让客户满意，“10”，“20”，“30”，“40”， “50”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意写出方差D1，D2， D3，D4，D5的大小关系 19已知函数f（x）lnxax 2+2ax （）若a1，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）若f（x）x恒成立，求实数a的取值范围 20已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A， 右顶点B在直线l：x2 上 （）求椭圆C的方程； （）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断 以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明 21设有限数列，

9、定义集合Mai+aj|1ijn为数 列A的伴随集合 （）已知有限数列P：1，0，1，2 和数列Q：1，3，9，27分别写出P和Q的伴随 集合； （）已知有限等比数列A：2，2 2，2n（nN*），求 A的伴随集合M中各元素之和 S； （）已知有限等差数列A：a1，a2，a2019，判断是否能同时属于A的 伴随集合M，并说明理由 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项） 1若集合Ax|x 2+2x0，Bx|x|1，则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x0 Cx|0x1 Dx|1x2 解：Ax|2x0，Bx|x1，或x

10、1； ABx|2x1 故选：A 2已知a，bR，且ab，则（ ） A Bsinasinb C Da 2b2 解：设，由指数函数的性质知，函数为R上的减函数， 又ab，故 故选：C 3 已知直线x+y+20 与圆x 2+y2+2x2y+a0 没有公共点， 则实数 a的取值范围为 （ ） A（，0 B0，+） C（0，2） D（，2） 解：依题意可知，直线与圆相离 圆x 2+y2+2x2y+a0 即为（x+1）2+（y1）22a 由0，解得 0a2 实数a的取值范围为（0，2） 故选：C 4设 是单位向量， 是非零向量，则“ ”是“ （ + ）1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件

11、C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解： 是单位向量， 是非零向量，则 （ + ）1 2+ 10 ， 故“ ”是“ （ + ）1”的充分必要条件， 故选：C 5设 ， 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A若m，mn，则 n B若 ，m，n，则mn C若n，mn，则m D若 ，m，n，则mn 解：对于A，垂直于同一直线的直线和平面可能平行，也有可能是n，所以A错误； 对于B，若 ，m，n，则mn，故B正确 对于C，若n，mn，则m 或mn，故C错误； 对于D，若 ，m，n，则mn或异面，故D错误 故选：B 6在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正

12、方形网格的边长为 1，那么该 四面体最长棱的棱长为（ ） A B C6 D 解：由三视图可得，该几何体为三棱锥，直观图为侧棱垂直于底面，侧棱长为 4，底面为 底边长，为 4，高为 4 的等腰三角形， 多面体的最长的棱长为6 故选：C 7 数列an是等差数列， bn是各项均为正数的等比数列， 公比q1， 且a5b5， 则 （ ） Aa3+a7b4+b6 Ba3+a7b4+b6 Ca3+a7b4+b6 Da3+a7b4+b6 解：数列an是等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，公比q1， 由a3+a72a52b5， b4+b622b5， a3+a7b4+b6， 由于q1 可得a3+a7b4+b6

13、， 故选：C 8A、B两种品牌各三种车型 2017 年 7 月的销量环比（与 2017 年 6 月比较）增长率如表： A品牌车型 A1 A2 A3 环比增长率 7.29% 10.47% 14.70% B品牌车型 B1 B2 B3 环比增长率 8.49% 28.06% 13.25% 根据此表中的数据，有如下关于 7 月份销量的四个结论： A1车型销量比B1车型销量多； A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于 14.70%； B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正； A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 解：根据表

14、中数据，对关于 7 月份销量的四个结论： 对于，A1车型销量增长率比B1车型销量增长率高，但销量不一定多，错误； 对于，A品牌三种车型中增长率最高为 14.70%， 所以总销量环比增长率不可能大于 14.70%，错误； 对于，B品牌三款车型中有销量增长率为 13.25%， 所以它的总销量环比增长率也可能为正，正确； 对于，由题意知A品牌三种车型总销量环比增长率， 也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，正确； 综上所述，其中正确的结论序号是 故选：B 9设函数f（x）sin（x+），A0，0，若f（x）在区间，上单调，且 f（）f（）f（），则f（x）的最小正周期为 （ ） A B2 C4

15、D 解：函数f（x）sin（x+），A0，0，若f（x）在区间，上单调， ，即，03 f（）f（）f（）， x，为f（x）sin（x+）的一条对称轴， 且（，0）即（，0）为f（x）sin（x+）的一个对称中心， ，解得 2（0，3，T， 故选：D 10 已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名 具体积分 规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2 表 1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 100 米跑 以 13 秒得 60 分为标准，每少 0.1 秒加 5 分，每多 0.1 秒扣 5 分 跳高 以 1.2 米得 60 分为标准，每多 0.02 米

16、加 2 分，每少 0.02 米 扣 2 分 掷实心球 以 11.5 米得 60 分为标准， 每多 0.1 米加 5 分， 每少 0.1 米扣 5 分 表 2 某队模拟成绩明细 姓名 100 米跑（秒） 跳高（米） 掷实心球（米） 甲 13.3 1.24 11.8 乙 12.6 1.3 11.4 丙 12.9 1.26 11.7 丁 13.1 1.22 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 解：由题意知，四名运动员的各项得分成绩如下； 姓名 100 米跑（秒） 跳高（米） 掷实心球（米） 合计 甲 45 64 75 184 乙 80 70 55 205

17、 丙 65 66 70 201 丁 55 62 65 182 由表中数据知，乙的综合得分最高，应选乙参加比赛 故选：B 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11 已知复数z满足 （1i）z2i（i是虚数单位） ， 则复数z的共轭复数 1i 解：由（1i）z2i，得z， 故答案为：1i 12已知点F为抛物线y 28x 的焦点，则点F坐标为 （2，0） ；若双曲线（a 0）的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是 yx 解：点F为抛物线y 28x 的焦点，2p8，即p4， 由焦点坐标（，0），即有F（2，0）， 双曲线（a0）的一个焦点与点F（2，0）重合， 可得a 2

18、+24，可得 a， 即有双曲线的方程为x 2y22， 可得渐近线方程为yx 故答案为：（2，0），yx 13已知展开式中x 5的系数为 21，则实数 a的值为 3 解：展开式中的通项公式Tr+1（a） r x 72r， 令 72r5，解得r1 a21，解得a3 故答案为：3 14已知函数f（x）sinx若对任意的实数，都存在唯一的实数 （0，m），使f（）+f（）0，则实数m的最大值是 解：由f（x）sin，则f（）（，），存在唯一 的实数 （0，m），使f（）+f（）0 即f（）k，k（，）有且仅有一个解， 作函数图象yf（）与直线xk，k（，）， 当两图象只有一个交点时，由图知，m， 故实

19、数m的最大值是， 故答案为： 15已知函数其中a0，且a1 （i）当a2 时，若f（x）f（2），则实数x的取值范围是 （，2） ； （ii）若存在实数m使得方程f（x）m0 有两个实根，则实数a的取值范围是 （0， 1）（1，2） 解：（1）当a2 时，f（x）， 则f（2）2 24， 当x1 时，解不等式 2 x4，解得：1x2， 当x1 时，解不等式x+14，解得：x1， 综合得： 实数x的取值范围是：（，2）， （2）当 0a1 时，由图一知， 存在直线ym与yf（x）有两个交点， 即 0a1 满足题意， 当a1 时，由图二知，当a时， 存在直线ym与yf（x）有两个交点， 即a即 1

20、a2 综合得： 实数a的取值范围是为：0a1 或 1a2， 故答案为：（，2），（0，1）（1，2） 三、解答题（共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16若ABC的面积为，且A为锐角 （）求 cosA的值； （）求的值 解：（）因为ABC的面积为， 所以 ， 所以 因为ABC中，A为锐角， 所以 （II）在ABC中，由余弦定理， ， 所以 由正弦定理 ， 所以 所以 17 如图， 在三棱锥VABC中， 平面VAC平面ABC， ABC和VAC均是等腰直角三角形， ABBC，ACCV2，M，N分别为VA，VB的中点 （）求证：AB平面CMN； （）求证：ABVC；

21、（）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值 解：（）证明：M，N分别为VA，VB的中点， MNAB， AB平面CMN，MN平面CMN， AB平面CMN （）证明：ABC和VAC均是等腰直角三角形， ABBC，ACCV2，M，N分别为VA，VB的中点 ABBC，VCAC， 平面VAC平面ABC，平面VAC平面ABCAC， VC平面ABC， AB平面ABC，ABVC （）解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空 间直角坐标系， V（，0，2），B（0，0，0），C（，0，0），N（，0，1），A（0，0）， M（，1）， （），（，1），（，0，1）， 设平面CM

22、N的法向量 （x，y，z）， 则，取x2，得 （2，0，）， 设直线VB与平面CMN所成角为 ， 则直线VB与平面CMN所成角的正弦值为： sin 18 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况， 随机抽取了一些客户 进行回访，调查结果如，表： 汽车型号 I II III IV V 回访客户（人数） 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中 该型号汽车的满意率相等 （）从所有的回访客户中随机抽取

23、 1 人，求这个客户满意的概率； （）从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为 ， 求 的分布列和期望； （）用“11”，“21”，“31”，“41”，“51”分别表示I，II， III，IV，V型号汽车让客户满意，“10”，“20”，“30”，“40”， “50”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意写出方差D1，D2， D3，D4，D5的大小关系 【解答】（本小题满分 13 分） 解：（）由题意知，样本中的回访客户的总数是 250+100+200+700+3501600， 满意的客户人数 2500.5+1000.3+2000.6+7000.3+

24、3500.2555， 故所求概率为 （）0，1，2 设事件A为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”， 事件B为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件 根据题意，P（A）估计为 0.5，P（B）估计为 0.2 则， 0.5 0.8+0.50.20.5， P（2）P（AB）P（A）P（B）0.50.20.1 的分布列为 0 1 2 P 0.4 0.5 0.1 的期望E（）00.4+10.5+20.10.7 （）用“11”，“21”，“31”，“41”，“51”分别表示I，II， III，IV，V型号汽车让客户满意， “10”，“20”，“30”，“40”，“50”分别

25、表示I，II，III， IV，V型号汽车让客户不满意 方差D1，D2，D3，D4，D5的大小关系为：D1D3D2D4 D5 19已知函数f（x）lnxax 2+2ax （）若a1，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）若f（x）x恒成立，求实数a的取值范围 解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+） 当a1 时，f（x）lnx+x 22x ， f（0）1，且f（1）1 所以曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y（1）x1，即xy2 0 （ II）若f（x）x恒成立，即f（x）x0 恒成立 设g（x）f（x）xlnxax 2+（2a1）x只要 g（x）max0 即可；

26、g（x） 当a0 时，令g（x）0，得x1 x，g（x），g（x）变化情况如下表： x （0，1） 1 （1，+） g（x） + 0 g（x） 极大值 所以g（x）maxg（1）10，故满足题意 当a0 时，令g（x）0，得x（舍），或x1； x，g（x），g（x）变化情况如下表： x （0，1） 1 （1，+） g（x） + 0 g（x） 极大值 所以g（x）maxg（1）a10，得 0a1 当a0 时，存在，满足g（2）ln（2）0，所以f（x）0 不能恒成立，所以a0 不满足题意 综上，实数a的取值范围为0，1 20已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A， 右顶点B在直线l

27、：x2 上 （）求椭圆C的方程； （）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断 以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明 解：（）依题可知B（a，0），a2 因为， 所以c1， 故椭圆C的方程为 （）方法一：以BD为直径的圆与直线PF相切 证明如下：由题意可设直线AP的方程为yk（x+2）（k0） 则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）， 直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k 2）x2+16k2x+16k2120 设点P的坐标为（x0，y0），则2x0 所以x0，y0 因为点F坐标为（1，0）， 当k时，点P的坐标为（1，），直线PF

28、的方程为x1，D的坐标为（2， 2） 此时以BD为直径的圆（x2） 2+（y1）21 与直线 PF相切 当k时，则直线PF的斜率kPF 所以直线PF的方程为y（x1），即 点E到直线PF的距离 又因为|BD|2R4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切 综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切 综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切 方法二：以BD为直径的圆与直线PF相切 证明如下：设点P（x0，y0），则 当x01 时，点P的坐标为（1，），直线PF的方程为x1， D的坐标为（2，2） 此时以BD为直径的圆（x2） 2+（y1）21 与直线 PF相切 当

29、x1 时直线AP的方程为， 点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故 直线PF的斜率为， 故直线PF的方程为，即， 所以点E到直线PF的距离 故以BD为直径的圆与直线PF相切 综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切 21设有限数列，定义集合Mai+aj|1ijn为数 列A的伴随集合 （）已知有限数列P：1，0，1，2 和数列Q：1，3，9，27分别写出P和Q的伴随 集合； （）已知有限等比数列A：2，2 2，2n（nN*），求 A的伴随集合M中各元素之和 S； （）已知有限等差数列A：a1，a2，a2019，判断是否能同时属于A的 伴随集合M，并说明理由 解：（）由数列A的伴随集合定

30、义可得， 数列P的伴随集合为1，0，1，2，3， 数列Q的伴随集合为4，10，12，28，30，36； （）先证明对任意ik或jl，则ai+ajak+al（1ijn，1kln） 假设ai+ajak+al（1ijn，1kln） 当ik且jl，因为ai+ajak+al，则ajal，即 2 j2l， 所以jl，与jl矛盾 同理，当ik且jl时，也不成立 当ik且jl时，不妨设ik，因为ai+ajak+al，则 2 i+2j2k+2l， 所以 1+2 ji2ki+2li， 左边为奇数，右边为偶数，所以 1+2 ji2ki+2li， 综上，对任意ik或jl，则ai+ajak+al（1ijn，1kln）

31、所以求集合M中各元素之和时，每个ai（1in）均出现n1 次， 所以S（n1）（2+2 2+2n） ； （）假设同时属于数列A的伴随集合M 设数列A的公差为d（d0）， 则即， 得， 得， 两式相除得， 因为， 所以（i2+j2）（i1+j1）5000k，（i3+j3）（i1+j1）21k（kZ，k0）， 所以|（i2+j2）（i1+j1）|5000 又因为 1i1，j1，i2，j22019， 所以（i2+j2）（i1+j1）（2019+2018）（2+1）4034， （i2+j2）（i1+j1）（1+2）（2018+2019）4034， 所以|（i2+j2）（i1+j1）|4034，与|（i2+j2）（i1+j1）|5000 矛盾， 所以不能同时属于数列A的伴随集合M