2018-2019学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019 学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的项符合题目要求的. 1 （5 分）在复平面内，复数 z+2i 所对应的点在第几象限（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）抛物线 y4x2的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （0，1） C （） D （） 3 （5 分）一物体的运动方程是 Sat2（a 为常数） ，则该物体在 tt0时刻的瞬时速度 为（ ） Aat0 Bat0 Cat0

2、 D2at0 4 （5 分）具有线性相关关系的变量 x，y，满足一组数据如表所示，若 y 与 x 的回归直线方 程为 y3x1.5，则 m 的值为（ ） x 0 1 2 3 y 1 m 4m 8 A1 B1.5 C2 D2.5 5 （5 分）若随机变量 X 服从分布 XN（2，2） ，且 2P（X3）P（1X2） ，则 P（X 3）（ ） A B C D 6 （5 分）将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设 事件 A两次掷的玩具底面图案不相同，B两次掷的玩具底面图案至少出现一次小 狗，则 P（B|A）（ ） A B C D 7 （5 分）函数 ylnx 在 P（

3、3，f（3） ）处的切线与双曲线的一 条渐近线平行，则双曲线的离心率是（ ） A B C D 第 2 页（共 20 页） 8 （5 分）如图在矩形 OABC 中的曲线分别是 sinx、ycosx，A（，0） ，C（0，1） ，在 矩形 OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C4（） D4（） 9（5 分） 已知函数 f （x） 的图象在点 （2， f （2） ） 处的切线方程是 x2y+10， 若， 则 h（2）（ ） A B C D 10 （5 分）从 1，3，5 中任取 2 个不同的数字，从 0，2，4 中任取 2 个不同的数字，可以 组成没有重复数字的四位偶数

4、的个数为（ ） A96 B54 C108 D78 11 （5 分）已知定圆，定点 M（4，1） ， 动圆 C 满足与 C1外切且与 C2内切，则|CM|+|CC1|的最大值为（ ） A B C D 12 （5 分）设函数 f（x）ex（12x） ，g（x）axa，a1，若存在唯一的整数 x0， 使 f（x）g（x）0，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi20191+i，则| | 14 （5 分） 15 （5 分）观察下列等式 11

5、 2+3+49 第 3 页（共 20 页） 3+4+5+6+725 4+5+6+7+8+9+1049 照此规律，第五个等式应为 16 （5 分）已知函数 f（x）是 f（x） （xR）的导函数，若 2f（2x）f（2x）0，则 e1 xf （2x）f（2）的 （其中 e 为自然对数的底数） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤. 17已知的展开式中第 7 项是常数项 （1）求 n 的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项， 18每年的 4 月 23 日为“世界

6、读书日” ，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽 样调查，该调查机 构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生， 现已得知 100 人中喜爱阅读的学生占 60%， 统计情况如表： 喜爱 不喜爱 合计 男生 25 女生 15 合计 100 （1）完成 22 列联表，根据以上数据，能否有 95%的把握认为是否喜爱阅读与被调查 对象的性别有关？ 请说明理由： （2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取 3 位学生进行调查， 求抽取的 3 位学生中至少有 2 人喜爱阅读的概率， （以下临界值及公式仅供参考） P（K2K0） 0.15 0.100 0.050

7、0.025 0.010 K0 2.072 2.706 3，841 5.024 6.635 ，na+b+c+d 第 4 页（共 20 页） 19某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销量 y（单位：千克）与销售价格 x（单 位：元/千克）满 足关系式，其中 4x7，a 为常数，已知销售价格为 6 元/千克时， 每日可售出该 商品 110 千克 （1）求 a 的值： （2）若该商品的成本为 4 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获 得的利润最大 20某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类 别开设课程数及学分设定如表所示： 人文科学类

8、自然科学类 艺术体育类 课程门数 3 3 2 每门课程学分 2 3 1 学校要求学生在高中三年内从中选修 3 门课程，假设学生选修每门课程的机会均等 （1）求甲三种类别各选一门概率； （2）设甲所选 3 门课程的学分数为 X，写出 X 的分布列，并求出 X 的数学期望 21已知椭圆的离心率为，F1（c，0） ，F2（c，0）分别 为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上 （1）求 C 的方程； （2）若直线 yk（x1）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，试问：在 x 轴上是否在点 D，当 k 变化时，总有ODAODB？若存在求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由 22已知函数 f（x），若函数 f（x

9、）有两个零点 x1，x2 （1）求 a 的取值范围； （2）证明： 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科）学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的项符合题目要求的. 1 （5 分）在复平面内，复数 z+2i 所对应的点在第几象限（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算

10、化简，求出 z 的坐标得答案 【解答】解：z+2i， 复数 z+2i 所对应的点的坐标为（3，2） ，在第四象限 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 2 （5 分）抛物线 y4x2的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （0，1） C （） D （） 【分析】将抛物线化简得 x2y，解出，结合抛物线标准方程的形式，即得所 求焦点坐标 【解答】解：抛物线的方程为 y4x2，即 x2y 2p，解得 因此抛物线 y4x2的焦点坐标是（0，） 故选：D 【点评】本题给出抛物线方程，求抛物线的焦点坐标着重考查了抛物线的定义、标准 方程与简单几何

11、性质等知识，属于基础题 3 （5 分）一物体的运动方程是 Sat2（a 为常数） ，则该物体在 tt0时刻的瞬时速度 为（ ） Aat0 Bat0 Cat0 D2at0 第 6 页（共 20 页） 【分析】求出 S 与 t 函数的导函数，把 tt0代入确定出瞬时速度即可 【解答】解：由 Sat2（a 为常数） ，得到 Sat， 则 vS|tt0at0， 故选：B 【点评】此题考查了变化的快慢与变化率，熟练掌握导数的求法是解本题的关键 4 （5 分）具有线性相关关系的变量 x，y，满足一组数据如表所示，若 y 与 x 的回归直线方 程为 y3x1.5，则 m 的值为（ ） x 0 1 2 3 y

12、 1 m 4m 8 A1 B1.5 C2 D2.5 【分析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得 m 值 【解答】解：， 样本点的中心坐标为（1.5，） ， 代入 y3x1.5，得，解得 m1 故选：A 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 5 （5 分）若随机变量 X 服从分布 XN（2，2） ，且 2P（X3）P（1X2） ，则 P（X 3）（ ） A B C D 【分析】设 P（X3）x，则 P（1X2）2x，再由正态分布曲线的对称性列式求 得 x，则答案可求 【解答】解：设 P（X3）x，则 P（1X2）2x， 根据对称性，P（2

13、X3）2x， 则 P（X2）3x，P（X3）x 即， 故选：B 第 7 页（共 20 页） 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 6 （5 分）将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设 事件 A两次掷的玩具底面图案不相同，B两次掷的玩具底面图案至少出现一次小 狗，则 P（B|A）（ ） A B C D 【分析】由古典概型及条件概率得：P（B|A），得解 【解答】解：由题意有：事件 A两次掷的玩具底面图案不相同， 则事件 A 的基本事件有12 种， 事件 B两次掷的玩具底面图案至少出现一次

14、小狗， 则事件 B 的基本事件有6 种， 即 P（B|A）， 故选：C 【点评】本题考查了古典概型及条件概率，属中档题 7 （5 分）函数 ylnx 在 P（3，f（3） ）处的切线与双曲线的一 条渐近线平行，则双曲线的离心率是（ ） A B C D 【分析】先根据导数求其切线的斜率 k，即，再根据离心率公式计算即可 【解答】解：解：由于 ylnx， 则 yx 1， ky|x3， ，则双曲线的离心率是 e， 故选：D 【点评】本题考查了导数和几何意义以及双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考 查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题 第 8 页（共 20 页） 8 （5 分）如图

15、在矩形 OABC 中的曲线分别是 sinx、ycosx，A（，0） ，C（0，1） ，在 矩形 OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C4（） D4（） 【分析】利用定积分求解图中阴影部分的面积，再求出矩形的面积，由测度比为面积比 得答案 【解答】解：图中阴影部分的面积 S 矩形面积为， 在矩形 OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 故选：B 【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查定积分的求法，是中档题 9（5 分） 已知函数 f （x） 的图象在点 （2， f （2） ） 处的切线方程是 x2y+10， 若， 则 h（2）（ ） A B C D 【

16、分析】根据题意，求出函数 h（x）的导数，由导数的几何意义以及函数 f（x）的图象 在点（2，f（2） ）处的切线方程分析可得 f（2）与 f（2）的值，进而计算可得答案 第 9 页（共 20 页） 【解答】解：根据题意，则 h（x）； 函数 f（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线方程是 x2y+10，则 f（2），f（2） ， 则 h（2）； 故选：C 【点评】本题考查导数的几何意义以及导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于 基础题 10 （5 分）从 1，3，5 中任取 2 个不同的数字，从 0，2，4 中任取 2 个不同的数字，可以 组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A

17、96 B54 C108 D78 【分析】由排列组合中的特殊元素，特殊位置优先处理的方法得：可以组成没有重复数 字的四位偶数的个数为96，得解 【解答】解：先假设 0 可以在千位位置，则组成没有重复数字的四位偶数的个数为 108， 又当千位数字为 0 时，组成没有重复数字的四位偶数的个数为12， 即可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为 1081296， 故选：A 【点评】本题考查了排列组合中的特殊元素，特殊位置的处理方法，属中档题 11 （5 分）已知定圆，定点 M（4，1） ， 动圆 C 满足与 C1外切且与 C2内切，则|CM|+|CC1|的最大值为（ ） A B C D 【分析】由已知求

18、出 C 的轨迹，可得 C 的轨迹为椭圆，左焦点为 C1（5，0） ，右焦点 为 C2（5，0） ，长轴长为 16 再由点 M（4，1）在椭圆内部，可得|CM|+|CC1|CM|+16 |CC1|16+（|CM|CC2|）16+|MC2|，求出 M 与 C2的距离得答案 【解答】解：如图， 第 10 页（共 20 页） 定圆的圆心坐标为 C1（5，0） ，半径为 1， 定圆的圆心坐标为 C2（5，0） ，半径为 15， 设动圆 C 的半径为 r，则 CC1r+1，CC215r， CC1+CC216，则 C 的轨迹为椭圆， 左焦点为 C1（5，0） ，右焦点为 C2（5，0） ，长轴长为 16 点

19、 M（4，1）在椭圆内部， 则|CM|+|CC1|CM|+16|CC1|16+（|CM|CC2|）16+|MC2| 16+ 故选：A 【点评】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系的应用，训练了椭圆中最值的求法，考 查数形结合、数学转化等思想方法，是中档题 12 （5 分）设函数 f（x）ex（12x） ，g（x）axa，a1，若存在唯一的整数 x0， 使 f（x）g（x）0，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】由题意知存在唯一的整数 x0使得 f（x0）在直线 yaxa 的上方，求得 f（x） 的导数和单调性、极值和最值，求得直线 g（x）恒过定点，可得af（0）1 且 f（ 1

20、）3e 1aa，解不等式可得所求范围 【解答】解：函数 f（x）ex（12x） ，g（x）axa， 由题意知存在唯一的整数 x0使得 f（x0）在直线 yaxa 的上方， f（x）ex（12x）2exex（2x+1） ， 第 11 页（共 20 页） 当 x时，f（x）0， 当 x时，f（x）0， 当 x时，f（x）取最大值 2e， 当 x0 时，f（0）1，当 x1 时，f（1）e0， 直线 yaxa 恒过定点（1，0）且斜率为 a， 故af（0）1 且 f（1）3e 1aa， 解得1a 故选：C 【点评】注意运用转化思想和运用导数判断单调性，求得最值，以及不等式恒成立思想， 是解题的关键

21、二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi20191+i，则| | 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，最后利用复数模的计算 公式求解 【解答】解：由 zi20191+i， 得 z |z| | 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 14 （5 分） 【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得 （x3cosx）dx+（）dx，分别求出（x3cosx）dx 与（）dx 的值，相加即可得答案 【解答】 解： 根据题意，（x3c

22、osx） dx+（） dx， 第 12 页（共 20 页） 设 f（x）x3cosx，则有 f（x）x3cosxf（x） ，即函数 f（x）为奇函数，则 （x3cosx）dx0， 设 y，则（）dx 的几何意义为半圆 x2+y29（y0）的面积， 则（）dx， 故（x3cosx）dx+（）dx， 故答案为： 【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式 15 （5 分）观察下列等式 11 2+3+49 3+4+5+6+725 4+5+6+7+8+9+1049 照此规律，第五个等式应为 5+6+7+8+9+10+11+12+1381 【分析】根据题意，观察等式的左边，分析可得规律：第

23、 n 个等式的左边是从 n 开始的 （2n1）个数的和，进而可得答案 【解答】解：根据题意，观察可得， 第一个等式的左边、右边都是 1， 第二个等式的左边是从 2 开始的 3 个数的和， 第三个等式的左边是从 3 开始的 5 个数的和， 其规律为：第 n 个等式的左边是从 n 开始的（2n1）个数的和， 第五个等式的左边应该是从 5 开始的 9 个数的和，即 5+6+7+8+9+10+11+12+13，计算可 得，其结果为 81； 故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+1381 【点评】本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注 意验证即可 16 （5 分）

24、已知函数 f（x）是 f（x） （xR）的导函数，若 2f（2x）f（2x）0，则 e1 xf （2x）f（2）的 （1，+） 第 13 页（共 20 页） （其中 e 为自然对数的底数） 【分析】 由 2f （2x） f （2x） 0， 构造函数 h （x） 由 h （x） 0 得出 h（x）在 R 上是增函数 将问题等价转化 e1 xf（2x）f（2） ，根据单调性则可得出故答 案为（1，+） 【解答】解：由 2f（2x）f（2x）0，可设 h（x） 则 h（x）0，h（x）在 R 上是增函数 又 e1 xf（2x）f（2） x1 故答案为： （1，+） 【点评】本题考查利用导数研究单调性

25、，用单调性解不等式的问题我们要根据条件和 结论分析构造函数，构造函数是关键属于中档题 三、解答三、解答题：本大题共题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤. 17已知的展开式中第 7 项是常数项 （1）求 n 的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项， 【分析】 （1）展开式的通项为因为第 7 项为常数项，所以 r6 时为常数项，所以 n90，解得即可； （2）因为 n9，根据展 开式中间项的二项式系数最大，所以二项系数最大的项为 T5与 T6，写出即可 【解答】解： （1）展开式的通项为

26、因为第 7 项为常数项， 所以 r6 时为常数项， 所以 n90， 即 n9 （2）因为 n9，根据展开式中间项的二项式系数最大， 第 14 页（共 20 页） 所以二项系数最大的项为 T5与 T6， 即， 【点评】本题考查二项式定理，属于容易题 18每年的 4 月 23 日为“世界读书日” ，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽 样调查，该调查机 构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生， 现已得知 100 人中喜爱阅读的学生占 60%， 统计情况如表： 喜爱 不喜爱 合计 男生 25 女生 15 合计 100 （1）完成 22 列联表，根据以上数据，能否有 95%的把握认为是否

27、喜爱阅读与被调查 对象的性别有关？ 请说明理由： （2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取 3 位学生进行调查， 求抽取的 3 位学生中至少有 2 人喜爱阅读的概率， （以下临界值及公式仅供参考） P（K2K0） 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010 K0 2.072 2.706 3，841 5.024 6.635 ，na+b+c+d 【分析】 （1）根据题意补充列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）根据题意知随机变量 XB（3，） ，计算对应的概率值即可 【解答】解： （1）根据题意补充 22 列联表如下； 喜爱 不喜爱 合计

28、 男生 25 25 50 女生 35 15 50 第 15 页（共 20 页） 合计 60 40 100 由表可知， 因为 K24.1673.841， 所以有 95%的把握认为是否喜爱阅读与被调查对象的性别有关； （2）设 3 人中喜爱阅读的人数为随机变量 X，由题可知， 所以 3 人中至少有 2 人喜爱阅读的概率为 P（X2） ， 计算 P（X2）， P（X3）， 所以 P（X2）P（X2）+P（X3）+ 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了有关概率的计算问题， 是基础题 19某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销量 y（单位：千克）与销售价格 x（单 位：元/千克）

29、满 足关系式，其中 4x7，a 为常数，已知销售价格为 6 元/千克时， 每日可售出该 商品 110 千克 （1）求 a 的值： （2）若该商品的成本为 4 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获 得的利润最大 【分析】 （1）直接利用函数的关系式的应用求出 a 的值 （2）利用函数的关系式和函数的求导问题的应用求出函数的单调区间，进一步求出函数 的最值 【解答】解： （1）该商品每日销量 y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元千克）满 足关系式，当 x6 元/千克时，110， 解得 a200 （2）设商场每日销售该商品的利润为 P， 则 P（x）（x4）y200+10

30、（x4） （x7）2， （4x7） 第 16 页（共 20 页） 所以 P（x）30（x5） （x7） ， 当 x（4，5）时，函数单调递增，当 x（5，7）时，函数单调递增 所以当 x5 元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润 240 元 【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，函数的导函数的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 20某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类 别开设课程数及学分设定如表所示： 人文科学类 自然科学类 艺术体育类 课程门数 3 3 2 每门课程学分 2 3 1 学校要求学生在高中三年内从

31、中选修 3 门课程，假设学生选修每门课程的机会均等 （1）求甲三种类别各选一门概率； （2）设甲所选 3 门课程的学分数为 X，写出 X 的分布列，并求出 X 的数学期望 【分析】 （1）直接由古典概型概率公式求解； （2）写出 X 的取值有：4，5，6，7，8，9，分别求概率，列出分布列，再由期望公式求 期望 【解答】解： （1）记事件 A甲三种类别各选一门 则 P（A）； （2）X 的取值有：4，5，6，7，8，9，则： P（X4）；P（X5）； P（X6）；P（X7）； P（X8）；P（X9） X 的分布列为： X 4 5 6 7 8 9 第 17 页（共 20 页） P 期望 E（X）

32、4 【点评】本题考查古典概型概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与期望的求法， 考查计算能力，是中档题 21已知椭圆的离心率为，F1（c，0） ，F2（c，0）分别 为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上 （1）求 C 的方程； （2）若直线 yk（x1）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，试问：在 x 轴上是否在点 D，当 k 变化时，总有ODAODB？若存在求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意可得关于 a，b，c 的方程组，求解可得 a，b 的值，则椭圆方程可求； （2）联立直线方程与椭圆方程，得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得 A，B 的横坐标的和与

33、积，结合 kAD+kBD0 即可求得定点 D 的坐标 【解答】解： （1）由题可知，解得 a3，b2，c 所求 C 的方程为； （2）设存在定点 D（m，0） ，并设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由，消 y 可得（9k2+4）x218k2x+9k2360 ， ODAODB，kAD+kBD0，即 ，整理为 第 18 页（共 20 页） 2x1x2（1+m） （x1+x2）+2m0 可得 即 8m720，m9 存在定点 D（9，0）满足题意 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题 22已知函数 f（x），若函数 f（x）有两个零点 x1，x

34、2 （1）求 a 的取值范围； （2）证明： 【分析】 （1）函数 f（x）有两个零点 x1，x2， （x0）有两个实根 令 g（x），利用导数求解 （2）函数 f（x）有两个零点分别为 x1，x2，不妨设 x1x2， 可得， 要证： ：a（+）， 由 ae，只需证：，只需证：2ln， 令 t1，即证 2lnt（t） ，构造函数，利用导数证明 【解答】解： （1）函数 f（x）有两个零点 x1，x2 方程有两个不等实数根 ， （x0） 令 g（x）， 可得 g（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减， 且 g（1）0，x1 时，g（x）0 g（x）的图象如下： 第 19 页（共 20 页） 由图象得 0，ae 故 a 的取值范围为（e，+） ； （2）函数 f（x）有两个零点分别为 x1，x2，不妨设 x1x2， 则 alnx1x10，alnx2x20， a（lnx2lnx1）（x2x1） ， 要证： ：a（+）， ae 只需证：e（+），只需证：， 只需证：2， 只需证：2ln， 令 t1，即证 2lnt（t） ， 设 （t）2lnt（t） ， 则 （t）0， 即函数 （t）在（1，+）单调递减， 则 （t）（1）0， 第 20 页（共 20 页） 即得： 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考 查不等式的证明，是一道综合题