2019-2020学年江西省南昌市南昌县高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年江西省南昌市南昌县高二（上）期末数学年江西省南昌市南昌县高二（上）期末数 学试卷（文科）学试卷（文科） 一、选择题（仅有一个选项是正确的 ）一、选择题（仅有一个选项是正确的 ） 1 （3 分）复数 z 满足： （34i）z1+2i，则 z（ ） A B C D 2 （3 分）函数 y2sinxcosx 的导数为（ ） Aycosx By2cos2x Cy2（sin2xcos2x） Dysin2x 3 （3 分）已知命题 p：若 xy，则xy；命题 q：若 xy，则 x2y2，在命题pq； pq；p（q） ；（p）q 中，真命题是（ ） A

2、B C D 4 （3 分） “a1”是“直线 ax+y10 的倾斜角大于”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （3 分）函数 yxlnx 的单调递减区间是（ ） A （e 1，+） B （，e 1） C （0，e 1） D （e，+） 6 （3 分）若函数 f（x）x4+ax3+x2b（a，bR）仅在 x0 处有极值，则 a 的取值范 围为（ ） A2，2 B1，1 C2，6 D1，4 7 （3 分）下列命题正确的是（ ） A “x1”是“x23x+20”的必要不充分条件 B对于命题 p：xR，使得 x2+x10，则p：xR 均有 x2

3、+x10 C若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 D命题“若 x23x+20，则 x2”的否命题为“若 x23x+20，则 x2” 8 （3 分）曲线（ 为参数）的对称中心（ ） A在直线 y2x 上 B在直线 y2x 上 C在直线 yx1 上 D在直线 yx+1 上 9 （3 分）若函数 yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 第 2 页（共 17 页） 直，则称 yf（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ） Aysinx Bylnx Cyex Dyx3 10 （3 分）已知函数 f（x）lnxkx（kR） ，若 f（x）在定义域内不大于 0，则

4、实数 k 的 取值范围为（ ） A B C D 11 （3 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（2）0，当 x0 时，有 xf（x） f（x）0 成立，则不等式 x2f（x）0 的解集是（ ） A （2，0）（2，+） B （，2）（2，+） C （2，0）（0，2） D （，2）（0，2） 12 （3 分）已知函数 f（x）lnx+ax2+（2+a）x（a0） ，对任意的 x0（0， 2，关于 x 的方程 f（x）g（x0）在（0，1上有实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） （其中 e2.71828为自然对数的底数） A B C D 二、填空题（把正确答案填写在横线上 ）二

5、、填空题（把正确答案填写在横线上 ） 13 （3 分） 14 （3 分）曲线 yxn在 x2 处的导数为 12，则 n 15 （3 分）命题 p： “x1，2，2x2xm0” ，命题 q：x01，2，log2x0+m0， 若“pq”为真命题，则实数 m 的取值范围是 16 （3 分）对于函数 yf（x） ，若存在区间a，b，当 xa，b时的值域为ka，kb（k0） ， 则称 yf（x）为 k 倍值函数若 f（x）ex+x 是 x（0，+）上 k 倍值函数，则实数 k 的取值范围是 三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤 ）三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤 ） 17设命

6、题 p：2ax2+a（a0） ； q：x2+x60 （1）若 a1，且 pq 为假，pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位 相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 2（cos+sin） （1）求 C 的直角坐标方程； 第 3 页（共 17 页） （2） 直线 l：为参数） 与曲线 C 交于 A， B 两点， 与 y 轴交于 E， 求|EA|+|EB| 的值 19设函数，曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y 3 （1）求 f（x）的解

7、析式； （2）求曲线 yf（x）上任一点（2，f（2） ）的切线与直线 x1 直线 yx 所围的三角形 的面积 20已知函数 f（x）loga（x3ax+5a4） （a0，a1） （1）当 a3 时，方程 f（x）logak 有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围； （2）若函数 f（x）在区间内单调递增，求实数 a 的取值范围 21如图，椭圆 G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆 F：x2+y22x0 的圆心，右顶点 是圆 F 与 x 轴的一个交点已知椭圆 G 与直线 l：xmy10 相交于 A、B 两点 （I）求椭圆的方程； （）求AOB 面积的最大值 22已知函数 f（x）a（x1

8、）lnx，g（x）ex （1）讨论 yf（x）的单调性； （2）若函数 F（x）f（x） g（x）在e，+）上单调递增，求 a 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2019-2020 学年江西省南昌市南昌县高二（上）期末数学年江西省南昌市南昌县高二（上）期末数 学试卷（文科）学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（仅有一个选项是正确的 ）一、选择题（仅有一个选项是正确的 ） 1 （3 分）复数 z 满足： （34i）z1+2i，则 z（ ） A B C D 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： （34i）z1+2i， （3+4i） （

9、34i） z（3+4i） （1+2i） ， 25z5+10i， 则 z+i 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 2 （3 分）函数 y2sinxcosx 的导数为（ ） Aycosx By2cos2x Cy2（sin2xcos2x） Dysin2x 【分析】根据导数的运算法则求导即可 【解答】解：y2（cos2xsin2x）2cos2x， 故选：B 【点评】本题考查导数的运算法则，属于基础题 3 （3 分）已知命题 p：若 xy，则xy；命题 q：若 xy，则 x2y2，在命题pq； pq；p（q） ；（p）q 中，真命题是（ ）

10、 A B C D 【分析】先判定命题 p、命题 q 的真假，再根据符合命题的真值表判定即可 【解答】解：命题 p：若 xy，则xy，为真命题；命题 q：若 xy，则 x2y2，为 假命题， pq 为假命题；pq 为真命题；p（q）为真命题；（p）q 为假命 题 第 5 页（共 17 页） 故选：C 【点评】本题考查了 pq、pq、q 的真假判定，属于基础题 4 （3 分） “a1”是“直线 ax+y10 的倾斜角大于”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线斜率进行判断即可 【解答】解：直线 ax+y

11、10 的倾斜角大于， 直线斜率 k1 或 k0， 又ka，a1 或 a0， a1a1 或 a0， a1 或 a0 推不出 a1， “a1”是“直线 ax+y10 的倾斜角大于”的充分而不必要条件 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线斜率是解决本题的关键 5 （3 分）函数 yxlnx 的单调递减区间是（ ） A （e 1，+） B （，e 1） C （0，e 1） D （e，+） 【分析】求出该函数的导函数，由导数小于 0 列出不等式，解此不等式求得正实数 x 的 取值范围即为所求 【解答】解：函数 yxlnx 的导数为 y（x）lnx+x （lnx）lnx+1，

12、由 lnx+10 得，0x，故函数 yxlnx 的减区间为（0，） ， 故选：C 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及对数函数的定 义域与单调区间注意函数的定义域 6 （3 分）若函数 f（x）x4+ax3+x2b（a，bR）仅在 x0 处有极值，则 a 的取值范 围为（ ） A2，2 B1，1 C2，6 D1，4 【分析】求导函数，要保证函数 f（x）仅在 x0 处有极值，必须满足 f（x）在 x0 两侧异号 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：由题意，f（x）x3+3ax2+9xx（x2+3ax+9） 要保证函数 f（x）仅在 x0 处有极值，必须满足 f（

13、x）在 x0 两侧异号， 所以要 x2+3ax+90 恒成立， 由判别式有： （3a）2360，9a236 2a2， a 的取值范围是2，2 故选：A 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力， 属于基础题 7 （3 分）下列命题正确的是（ ） A “x1”是“x23x+20”的必要不充分条件 B对于命题 p：xR，使得 x2+x10，则p：xR 均有 x2+x10 C若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 D命题“若 x23x+20，则 x2”的否命题为“若 x23x+20，则 x2” 【分析】首先对于选项 B 和 D，都是考查命题的否命题的问题，如果两

14、个命题中一个命 题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命 题 即可得出 B 正确，D 错误对于选项 A 因为“x1”是“x23x+20”的充分不 必要条件故选项 A 错误对于选项 C，因为若“p 且 q”为假命题，则 p、q 中有一个 为假命题，不一定 p、q 均为假命题；故 C 错误即可根据排除法得到答案 【解答】解：对于 A： “x1”是“x23x+20”的必要不充分条件因为“x23x+2 0”等价于“x1，x2”所以： “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件故 A 错 误 对于 B：对于命题 p：xR，使得 x2+x10，则p：xR 均有 x2+x1

15、0因 为否命题是对条件结果都否定，所以 B 正确 对于 C：若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题因为若“p 且 q”为假命题，则 p、 q 中有一个为假命题，不一定 p、q 均为假命题；故 C 错误 对于 D：命题“若 x23x+20，则 x2”的否命题为“若 x23x+20 则 x2” 因 为否命题是对条件结果都否定，故 D 错误 故选：B 【点评】此题主要考查充分必要条件，其中涉及到否命题，且命题，命题的真假的判断 第 7 页（共 17 页） 问题，都是概念性问题属于基础题型 8 （3 分）曲线（ 为参数）的对称中心（ ） A在直线 y2x 上 B在直线 y2x 上 C在直线 yx1

16、 上 D在直线 yx+1 上 【分析】曲线（ 为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论 【解答】解：曲线（ 为参数）表示圆，圆心为（1，2） ，在直线 y 2x 上， 故选：B 【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题 9 （3 分）若函数 yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直，则称 yf（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ） Aysinx Bylnx Cyex Dyx3 【分析】若函数 yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直，则函数 yf（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，进而可得答

17、 案 【解答】解：函数 yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直， 则函数 yf（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1， 当 ysinx 时，ycosx，满足条件； 当 ylnx 时，y0 恒成立，不满足条件； 当 yex时，yex0 恒成立，不满足条件； 当 yx3时，y3x20 恒成立，不满足条件； 故选：A 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档 10 （3 分）已知函数 f（x）lnxkx（kR） ，若 f（x）在定义域内不大于 0，则实数 k 的 取值范围为（ ） A B C D 【分析】由题意可知：f（x

18、）0 在（0，+）上恒成立，即 lnxkx在（0，+）上 第 8 页（共 17 页） 恒成立，再通过分离参数转化为求函数 g（x）的最值，利用导数求出 g（x）的最值即可 【解答】解：f（x）lnxkx，x（0，+） ， f（x）在定义域内不大于 0， f（x）0 在（0，+）上恒成立，即 lnxkx在（0，+）上恒成立， k在（0，+）上恒成立， 设 g（x），x（0，+） ， ， 令 g（x）0 得，xe， 当 x（0，e）时，g（x）0，g（x）单调递增；当 x（e，+）时，g（x）0，g （x）单调递减； 当 xe 时，函数 g（x）取到极大值，也是最大值，最大值为 g（e）， k，

19、故选：B 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，是中档题 11 （3 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（2）0，当 x0 时，有 xf（x） f（x）0 成立，则不等式 x2f（x）0 的解集是（ ） A （2，0）（2，+） B （，2）（2，+） C （2，0）（0，2） D （，2）（0，2） 【分析】令 g（x），依题意，可求得 0x2 或 x2 时 f（x）0，从而可求 得不等式 x2f（x）0 的解集 【解答】解：g（x）， 则 g（x）， 当 x0 时，有 xf（x）f（x）0 成立， 当 x0 时，g（x）0， g（x）在（0，+）上单调递减， 函数

20、f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（2）0， 第 9 页（共 17 页） g（x）g（x） ， g（x）为偶函数，且 g（2）0， 当 0x2 时，g（x）0，于是此时 f（x）0； 同理可得，当 x2 时，g（x）0，于是此时 f（x）0； f（x）0 的解集为x|x2 或 0x2 不等式 x2f（x）0 的解集就是 f（x）0 的解集，为x|x2 或 0x2 故选：D 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性与单调性，考查分析 与作图能力，属于中档题 12 （3 分）已知函数 f（x）lnx+ax2+（2+a）x（a0） ，对任意的 x0（0， 2，关于 x 的方程 f

21、（x）g（x0）在（0，1上有实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） （其中 e2.71828为自然对数的底数） A B C D 【分析】由 g（x）的单调性求出 g（x）在（0，2上的值域，再求分类讨论 f（x）在（0， 1上的单调性，求出 f（x）的值域，由 f（x）g（x0）在（0，1上有实数根，可得，g （x）的值域是 f（x）值域的子集，求出 a 的取值范围 【解答】解：，g（x），可得对任意的 x0（0， 2，x（0，1） ，g（x）0，g（x）单调递增，x1，2，g（x）0，g（x）单调递减， g（1）+2，g（0）2，g（2）+2， 第 10 页（共 17 页） 所以对任意的

22、x0（0，2，g（x）的值域为（2，； f（x）+2ax+2+a（x0） ， x（0，1，因为 a0，所以 f（x）0 恒成立，f（x）单调递增，x0，f（x）， f（x）f（1）0+a+（2+a）2a+2， 要使 f（x）g（x0）在（0，1上有实数根，只需 g（x）的值域是 f（x）的值域的子集， 即+22a+2，解得：a， 故选：D 【点评】考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题 二、填空题（把正确答案填写在横线上 ）二、填空题（把正确答案填写在横线上 ） 13 （3 分） i 【分析】直接根据 i21，得 i41，进而 i2019i2016i3i3i2ii 再结合复数的 除法即可求解

23、 【解答】解：i21，i41，i2019i2016i3i3i2ii， 1+1i； 故答案为：i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了函数的周期性，是基础题 14 （3 分）曲线 yxn在 x2 处的导数为 12，则 n 3 【分析】求出函数线 yxn的导函数，把 x2 代入导函数解析式可求 n 的值 【解答】解：由 yxn，得 ynxn 1， 又曲线 yxn在 x2 处的导数为 12， 所以 n2n 112，n3 故答案为 3 【点评】本题考查了导数的运算，考查了基本初等函数的导数公式，是基础题 15 （3 分）命题 p： “x1，2，2x2xm0” ，命题 q：x01，2，log2

24、x0+m0， 若“pq”为真命题，则实数 m 的取值范围是 【分析】命题 p： “x1，2，2x2xm0” ，可得 m2x2x，x1，2，求出函 数 y2x2x 的最小值即可得出命题 q：x01，2，log2x0+m0，可得 m（log2x） min根据“pq”为真命题，即可得出实数 m 的取值范围 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：命题 p： “x1，2，2x2xm0” ，m2x2x，x1，2，2x2 x2，m 命题 q：x01，2，log2x0+m0，m（log2x）min1 若“pq”为真命题，则实数 m 的取值范围是1m 故答案为：1m 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的

25、解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 16 （3 分）对于函数 yf（x） ，若存在区间a，b，当 xa，b时的值域为ka，kb（k0） ， 则称 yf（x）为 k 倍值函数若 f（x）ex+x 是 x（0，+）上 k 倍值函数，则实数 k 的取值范围是 （e+1，+） 【分析】 f （x） ex+x 的定义域是 R， f （x） 在定义域为单调增函数， 由题设条件得 k+1， 令 g（x）+1，利用导数求的 g（x）的极小值为：g（1）1+e，由此能求出 k 的取 值范围 【解答】解：f（x）ex+x 的定义域是 R，f（x）在定义域为单调增函数， 有：f（a）k

26、a，f（b）kb， 即：ea+aka，eb+bkb，即 a，b 为方程 ex+xkx 的两个不同根， k+1， 令 g（x）+1，则， 令 g（x）0，得极小值点 x1 故 g（x）的极小值为：g（1）1+e， 当 x0 时，g（x）+，当 x时，g（x）1， k1+e 时，直线 yk 与曲线 yg（x）的图象有两个交点，方程 k+1 两解 故所求的 k 的取值范围为（e+1，+） ， 故答案为： （e+1，+） 【点评】本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档 题 第 12 页（共 17 页） 三三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤 ）、解答题（要求写

27、出必要的文字说明、方程式和步骤 ） 17设命题 p：2ax2+a（a0） ； q：x2+x60 （1）若 a1，且 pq 为假，pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）a1 时，p：1x3； q：x2+x60，解得3x2根据 pq 为 假，pq 为真，可得 p 与 q 必然一真一假 （2）q 是 p 的充分不必要条件，则，a0，解得 a 范围 【解答】解： （1）a1 时，p：1x3； q：x2+x60，解得3x2 pq 为假，pq 为真，p 与 q 必然一真一假 或， 解得 2x3，或3x1即为实数 x 的取值范围

28、 （2）q 是 p 的充分不必要条件，则，a0，解得 a5 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 18极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位 相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 2（cos+sin） （1）求 C 的直角坐标方程； （2） 直线 l：为参数） 与曲线 C 交于 A， B 两点， 与 y 轴交于 E， 求|EA|+|EB| 的值 【分析】 （1）将极坐标方程两边同乘 ，进而根据 2x2+y2，xcos，ysin，可求 出 C 的直角坐标方程； （2）将直线 l 的参数方程，代入曲线 C

29、 的直角坐标方程，求出对应的 t 值，根据参数 t 的几何意义，求出|EA|+|EB|的值 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 2（cos+sin） 22cos+2sin x2+y22x+2y 即（x1）2+（y1）22（5 分） 第 13 页（共 17 页） （2）将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程， 得 t2t10， 所以|EA|+|EB|t1|+|t2|t1t2| （10 分） 【点评】本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟 练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解 答的关键 19设函数，曲线 yf（

30、x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y 3 （1）求 f（x）的解析式； （2）求曲线 yf（x）上任一点（2，f（2） ）的切线与直线 x1 直线 yx 所围的三角形 的面积 【分析】 （1）求出原函数的导函数，由题意可得关于 a，b 的方程组，求解可得 a，b 的 值，则函数解析式可求； （2）由题意画出图形，则三角形面积可求 【解答】 （1）解：， 于是，解得或 a，bZ，； （2）证明：联立，解得 切线 y3 与直线 yx 交点为（3，3） 直线 x1 与 yx 交点为（1，1） ， 从而所围的三角形的面积为 2 第 14 页（共 17 页） 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上

31、某点处的切线方程，是基础的计算题 20已知函数 f（x）loga（x3ax+5a4） （a0，a1） （1）当 a3 时，方程 f（x）logak 有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围； （2）若函数 f（x）在区间内单调递增，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）构造函数 g（x）x3ax+5a4x33x+11，然后求导，结合导数与单调 性关系分析函数的基本特征，可求； （2）令 g（x）x3ax+5a4，结合复合函数的单调性及对数函数的性质，对 a 进行分 类讨论进行求解 【解答】解： （1）令 g（x）x3ax+5a4x33x+11， 所以 g（x）3x23， 令 g（x）3x2

32、33（x+1） （x1）0x1 或 x1， 易得：g（x）极大值g（1）13，g（x）极小值g（1）9， 欲使方程 f（x）logak 有三个不同的实数解， k（9，13） （2）令 g（x）x3ax+5a4， f（x）在上为增函数， 若 0a1，则 g（x）在上为减函数， 即 g（x）3x2a0 在上恒成立， 即 a3x2在上恒成立， ， 又因为 g（x）0 在上恒成立， 第 15 页（共 17 页） 此时， 若 a1，则 g（x）在上为增函数，须使 g（x）3x2a0 在上 恒成立， 即 a3x2在上恒成立，即 a0，不合舍去 综上， 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及复合

33、函数的单调性的应用，考 查了分析问题的能力 21如图，椭圆 G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆 F：x2+y22x0 的圆心，右顶点 是圆 F 与 x 轴的一个交点已知椭圆 G 与直线 l：xmy10 相交于 A、B 两点 （I）求椭圆的方程； （）求AOB 面积的最大值 【分析】 （I）设出椭圆方程，圆 F 的标准方程为（x1）2+y21，圆心为 F（1，0） ，圆 与 x 轴的交点为（0，0）和（2，0） ，从而可求 a2，半焦距 c1，由此能求出椭圆方 程 （）直线与椭圆方程联立利用韦达定理，求出 SAOB，利用换元法及导数，即可求 得 SAOB的最大值 【解答】解： （I）设椭圆方

34、程为（ab0） ，圆 F 的标准方程为（x1） 2+y2 1， 圆心为 F（1，0） ，圆与 x 轴的交点为（0，0）和（2，0） ， 由题意 a2，半焦距 c1， b2a2c2413， 第 16 页（共 17 页） 椭圆方程为 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由，消元可得（3m2+3）y2+6my90 y1+y2，y1y2 |y1y2| SAOB|OF|y1y2| 令，则 t1，m2t21 SAOB SAOB t1，SAOB0 SAOB在 t1，+）上是减函数 当 t1 时，SAOB取得最大值，最大值为 【点评】本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，考查直线与椭圆的位置关系，

35、考查导 数知识的运用，正确表示三角形的面积是关键 22已知函数 f（x）a（x1）lnx，g（x）ex （1）讨论 yf（x）的单调性； （2）若函数 F（x）f（x） g（x）在e，+）上单调递增，求 a 的取值范围 【分析】 （1）先对函数求导，结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论即可求解； （2）结合导数与单调性关系，问题可转化为不等式的恒成立问题，分离系数后可转化为 求解最值 【解答】解： （1）yf（x）的定义域为（0，+） ，求导可得， 当 a0 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立，所以 yf（x）在（0，+）上递减； 第 17 页（共 17 页） 当 a0 时，则 yf（x）在上递减，在上递增 （2）在e，+）恒成立， 所以， 令，则有， h（x）0h（x）在e，+）上为减函数， 则，故 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立与最值相互关系 的转化，体现了转化思想与分类讨论思想的应用