小学五年级下册数学讲义第二章 因数与倍数 人教新课标版（含解析）

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1、人教版小学五人教版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义年级数学下册同步复习与测试讲义 第二第二章章 因数与倍数因数与倍数 【知识点归纳总结】【知识点归纳总结】 1. 因数和倍数的意义 假如整数 n 除以 m，结果是无余数的整数，那么我们称 m 就是 n 的因子 需要注意的是，唯有被除数，除 数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立 反过来说，我们称 n 为 m 的倍数 【经典例题】【经典例题】 14 和 8 都是 32 的（ ） A因数 B倍数 C奇数 D偶数 【分析】整数 a 除以整数 b 得到的商 c 是整数，并且没有余数，我们就说 a 是 b 和 c 的倍数，b 和 c 都是 a 的因数

2、，因为 3248，所以说 4 和 8 都是 32 的因数，32 是 4 和 8 的倍数 【解答】解：因为 3248 所以 4 和 8 都是 32 的因数，32 是 4、8 的倍数 故选：A 【点评】此题考查因数和倍数的意义，因数和倍数是两个数之间的关系 2. 找一个数的因数的方法 1分解质因数例如：24 的质因数有：2、2、2、3，那么，24 的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24 2找配对例如：24=124、212、38、46，那么，24 的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6 【经典例题】【经典例题】 2在 18 的所有因数中，最大的因数是（ ） A1 B3 C66 D18

3、 【分析】根据一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身，据此解答 【解答】解：在 18 的所有因数中，最大的因数是它本身，即是 18 故选：D 【点评】本题主要考查因数、倍数的意义，理解一个数的最大的因数和最小的倍数都是它本身 3. 找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以 1、2、3、4、5、6，一个数的倍数的个数是无限的 1末尾是偶数的数就是 2 的倍数 2各个数位加起来能被 3 整除的数就是 3 的倍数9 的道理和 3 一样 3最后两位数能被 4 整除的数是 4 的倍数 4最后一位是 5 或 0 的数是 5 的倍数 5最后 3 位数能被 8 整除的数是 8 的倍数

4、6奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数注意：“0”可以被任何数 整除 【经典例题】【经典例题】 3如果一个数是 9 的倍数，那么它也一定是（ ）的倍数 A6 B3 C18 D27 【分析】因为 9 是 3 的倍数，所以一个数是 9 的倍数，那么它一定是 3 的倍数，举例证明 【解答】解：18 是 9 的倍数也是 3 的倍数，54 是 9 的倍数也是 3 的倍数，所以一个数是 9 的倍数，那么 它一定是 3 的倍数 故选：B 【点评】本题主要考查 3 和 9 的倍数特征，注意 9 是 3 的倍数 4. 2、3、5 的倍数特征 2、3、5 的倍数特征： 被 2

5、 整除特征：偶数 被 3 整除特征：每一位上数字之和能被 3 整除 被 5 整除特征：个位上是 0 或 5 的数 同时能被 2、3、5 整除的特征：个位是 0 且每一位上数字之和能被 3 整除 【经典例题】【经典例题】 4一个数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，还有因数 3，这个数最小是 30 【分析】由于这个数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，还有因数 3，要使这个数最小，就是求 2、3、5 的 最小公倍数根据最小公倍数的含义，这三个数如果两两互质，那么这几个数的最小公倍数就是这几个 数的乘积 【解答】解：2、3、5 两两互质，它们的最小公倍数是； 235 65 30 故答案为：30 【

6、点评】2、3、5 的倍数特征是一个常考的知识点，应熟练掌握 5. 合数与质数 合数：指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他的数整除的数“0”“1”既不是质数也不是合 数 质数：一个数只有 1 和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 【经典例题】【经典例题】 530 以内的正整数中，最大的素数和最小的合数的积是 116 【分析】自然数中，除了 1 和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了 1 和它本身外，还有别的因数 的数为合数；据此可知，在 30 以内的自然数中，最大的质数是 29，最小的合数是 4，用 294 计算得解 【解答】解：30 以内的自然数中，最大的质数是 29，最小的

7、合数是 4； 294116 答：30 以内的正整数中，最大的素数和最小的合数的积是 116 故答案为：116 【点评】解答此题应明确：自然数中，质数与合数是根据因数的多少进行定义的 6. 合数分解质因数 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解 质因数 【经典例题】【经典例题】 6把 36 分解质因数是 3612233 （判断对错） 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解 【解答】解：把 36 分解质因数是：362233； 故判断为： 【点评】此题主要考查分解质因数的方法及运用 【同步测试】【同步测试

8、】 单元同步测试题单元同步测试题 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下面的说法中正确的是（ ） A8 是 48 的倍数 B27 是 9 的因数 C一个数的倍数的个数是有限的 D15 是 60 的因数，也是 5 的倍数 22 和 3 是 12 的（ ） A因数 B公因数 C最大公因数 D质数 3既是 6 的倍数，又是 24 的因数的数有（ ）个 A1 B2 C3 D4 4A 是合数，A 有（ ）个因数 A2 B3 C至少 3 D无数 57 的倍数有（ ）个 A1 B2 C无数 6一个数是 9 的倍数，这个数一定是（ ）的倍数 A3 B2 C5 D6 7一本 30 页的画册，翻开后看

9、到两个页码，其中一个页码既是 2 的倍数，又是 5 的倍数想一想翻开的 页码可能是（ ） A14、15 B10、11 C24、25 8在横线上填上合适的质数：20_+_，可以填的两个数分别是（ ） A1 和 19 B10 和 10 C3 和 17 9把 6 分解质因数，正确的是（ ） A6123 B236 C623 D1236 1089389767 至少加上（ ）就同时是 2、3、5 的倍数 A2 B3 C5 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11既含有因数 3 又含有因数 5 的最小三位数是 12最小的质数是 ，既不是质数也不是合数的是 1340 以内 6 的倍数有 ，50 以内

10、9 的倍数有 14自然数（0 除外）按因数的个数分，包括 、 和 15由 48124，我们可以说 是 的倍数 16因为 5840，所以 40 是 5 和 8 的 ，5 和 8 是 40 的 17一个数的因数一共有 9 个，按从小到大的顺序排列第 5 个因数是 6，这个数是 ，把这个数分解 质因数是 18有一个三位数，它的十位上的数字是最小的质数，如果这个三位数能同时被 2、3、5 整除，这个三位 数最大是 三判三判断题（共断题（共 5 小题）小题） 191230 同时是 2、3、5 的倍数 （判断对错） 20因为 21363，所以 3 和 21 是因数，63 是倍数 （判断对错） 2132 的

11、全部因数是 2、4、8、16 和 32，共有 5 个 （判断对错） 22一个自然数（0 除外）的倍数的个数是无限的 （判断对错） 23两个不同数相乘的积一定是合数 （判断对错） 四计算题（共四计算题（共 1 小题）小题） 24把下面各数分解质因数 （1）30 （2）91 （3）24 五应用题（共五应用题（共 6 小题）小题） 25小丽家有两种塑料油桶，分别是 3 千克装，2 千克装小丽妈妈买回 26 千克油，选哪种塑料桶装能正 好把油装完？为什么？ 26人 85 个面包，如果每 2 个装成一袋，能正好装完吗？如果每 5 个装成一袋，能正好装完吗？如果每 3 个装成一袋，能正好装完吗？为什么？

12、27五年级同学 48 人排队做操，要求每行的人数相同（至少排成 2 行），有几种不同的排法？请你将他写 出来 28水果店有 85 个苹果，每 3 个装一袋，能正好装完吗？如果不能，至少还需要加上几个就能正好装完？ 29有 642 盒牛奶，分别用 6 盒装和 8 盒装的箱子去装，选哪种箱子才能正好装完呢？ 30相同的字母表示相同的数字，现在老师在黑板上写了 21BBB 这么一个五位数，它是不是 3 的倍数呢？ 先判断，再说明你的理由是什么？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1【分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a 能被数 b 整除（b0），a

13、 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的 因数；据此根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论 【解答】解：A、因为 4886，所以 48 是 8 的倍数，8 是 48 的因数，所以本选项说法错误； B、因为 2793，所以 27 是 9 的倍数，9 是 27 的因数，所以本选项说法错误； C、根据一个数的倍数的个数是无限的，所以本选项说法错误； D、因为 60154，1553，所以 l5 是 60 的因数，也是 5 的倍数，说法正确； 故选：D 【点评】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答 2【分析】2、3 都能整除 12，即 2、3 都是 12 的因数；依此即可求解 【解答

14、】解：2 和 3 是 12 的因数 故选：A 【点评】本题主要考查因数、公因数、最大公因数、质数的概念 3【分析】先找出 24 的因数，然后找出 24 以内（包括 24）的 6 的倍数，进而结合题意，得出结论 【解答】解：24 的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 24 以内的 6 的倍数有：6，12，24； 所以既是 24 的因数，又是 6 的倍数的数有：6，12，24 共 3 个 故选：C 【点评】解题的关键是：根据求一个数的倍数的方法和求一个数的因数的方法，进行分析、解答 4【分析】根据质数、合数的特征：在自然数中，除了 1 和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了 1 和它本

15、身外，还有别的因数的数为合数，可得合数 A 至少有 3 个因数，据此解答即可 【解答】解：根据分析，可得：A 是合数，A 至少有 3 个因数 故选：C 【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个质数有 且只有两个因数，一个合数至少有 3 个因数 5【分析】求一个数的因数、倍数的方法，一个数的因数的个数是有限的，最小的是 1，最大的是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，只有最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解答 【解答】解：根据分析可得： 7 的倍数有无数个 故选：C 【点评】此题的决定主要掌握求一个数的因数的个数和求一个数的倍数的方法 6【分析

16、】因为 9 是 3 倍数，所以一个数是 9 的倍数，这个数一定是 3 的倍数据此判断 【解答】解：因为 9 是 3 倍数，所以一个数是 9 的倍数，这个数一定是 3 的倍数 故选：A 【点评】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法 7【分析】根据 2、5 的倍数的特征，个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数；个位上是 0 或 5 的数 都是 5 的倍数；同时是 2 和 5 的倍数的数，个位上必须是 0；由此可知，翻开后看到两个页码，其中一 个页码既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，所以翻开的页码可能是 10 页、11 页，据此解答即可 【解答】解：因为同时是 2

17、和 5 的倍数的数，个位上必须是 0，所以翻开的页码可能是 10 页、11 页 故选：B 【点评】此题考查的目的是理解掌握 2、5 的倍数的特征及应用 8【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数20 以内的 质数有：2、3、5、7、11、13、17、19据此解答即可 【解答】解：203+17， 故选：C 【点评】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用 9【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，据此把 6 分解质因数 【解答】解：把 6 分解质因数，正确的是：623 故选：C 【点评】本题主要考查分解质因数的方法 10【分析】根据 2

18、、3、5 的倍数的特征，个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数，一个数各位上的 数字之和是 3 的倍数，这个数一定是 3 的倍数，个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数，同时是 2、3、和 5 的倍数的数，个位上必须是 0 且各位上的数字之和是 3 的倍数据此解答即可 【解答】解：因为同时是 2、3、和 5 的倍数的数，个位上必须是 0 且各位上的数字之和是 3 的倍数 所以 89389767 至少加上 3 就同时是 2、3、5 的倍数 故选：B 【点评】此题考查的目的是理解掌握 2、3、5 的倍数的特征及应用 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11【分析】根据 3、

19、5 倍数的特征可知：既是 3 的倍数，又是 5 的倍数的最小三位数，要满足个位上是 0 或 5，然后满足 3 的倍数的条件，即百位、十位和个位数字上的数的和是 3 的倍数即可，要想最小百位 应为非 0 自然数中最小的数 1，个位数字是 0 或 5，1+0+56，十位数字是 5 或 0，要想这个数字最小， 只能是 105；据此写出即可 【解答】解：由分析可知：1+0+56，是 3 的倍数， 既是 3 又是 5 的倍数，最小三位数是 105 故答案为：105 【点评】本题主要根据 2、3、5 倍数的特征可知，要先确定个位满足是 2 和 5 的倍数，再确定百位、十 位是 3 的倍数 12【分析】根据

20、质数、合数的意义，一个自然数如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一 个自然数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1 既不是质数也不是合数据此解 答即可 【解答】解：最小的质数是 2，既不是质数也不是合数的是 1 故答案为：2、1 【点评】此题考查的目的是理解掌握质数、合数的意义，明确：1 既不是质数也不是合数 13【分析】求一个数的倍数的方法用这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5，所得积就是这个数的倍 数由此解答 【解答】解：40 以内 6 的倍数有：6，12，18，24，30，36； 50 以内 9 的倍数有：9，18，27，36，45 故答案为：6，1

21、2，18，24，30，36；9，18，27，36，45 【点评】此题考查的目的是使学生理解和掌握公倍数的意义，掌握求公倍数的方法 14【分析】一个自然数（0 除外），只有 1 个因数的数是 1，除了 1 和它本身以外不含其它因数的数是质 数；除了 1 和它本身外还含有其它因数的数是合数；据此解答即可 【解答】解：由分析知：自然数（0 除外）按它的因数的个数可以分为：质数、合数和 1； 故答案为：质数，合数，1 【点评】解答此题的关键：结合题意，并根据质数和合数的含义进行分析、解答 15【分析】在除法算式中，被除数是商与除数的倍数，商与除数是被除数的因数，然后再进一步解答 【解答】解：因为 48

22、124，所以 48 是 12 的倍数 故答案为：48，12 【点评】考查了因数与倍数之间的关系，然后再进一步解答 16【分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a 能被数 b 整除（b0），a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的 因数；进行解答即可 【解答】解：因为 5840，所以 40 是 5 和 8 的 倍数，5 和 8 是 40 的 因数 故答案为：倍数，因数 【点评】此题考查了因数和倍数的意义，要记住，因数和倍数是相互依存的，不能单独存在 17【分析】根据一个数的因数的个数是奇数个，中间数的平方等于这个数，依此可求该数；分解质因数 就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的

23、质数试着分解 【解答】解：6636 362233 答：这个数是，36，把这个数分解质因数是 362233 故答案为：36，362233 【点评】此题主要考查分解质因数的方法以及如何求一个数的约数和约数的个数关键是由因数的中间 数求出这个数 18【分析】根据 2、3、5 的倍数的特征，个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数；一个数各位上的 数字之和是 3 的倍数，这个数一定是 3 的倍数；个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数；同时是 2、3 和 5 的倍数的数个位上必须是 0 且各位上的数字之和是 3 的倍数；最小的质数是 2，十位上的数字是 2，个位 上的数 0，要使这个三位

24、数最大，由 3 的倍数的特征可知，百位上的数字最大是 7据此解答 【解答】解：最小的质数是 2，也就是这个三位数的十位上的数字是 2，同时是 2、3 和 5 的倍数的数个 位上必须是 0 且各位上的数字之和是 3 的倍数，所以要使这个三位数最大，也就是百位上的数字是 7， 即这个三位数是 720 答；这个三位数最大是 720 故答案为：720 【点评】此题考查的目的是理解掌握 2、3、5 的倍数的特征及应用 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 19【分析】根据 2、3、5 的倍数的特征，个位上是 0、2、4、6、8、的数都是 2 的倍数；各位上的数字之 和是 3 的倍数，这个数一定是

25、3 的倍数；个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数；同时是 2、5、3 的倍数的 特征是个位上必须是 0 且各位上的数字之和是 3 的倍数据此解答 【解答】解：因为 1+3+206，6 是 3 的倍数；所以 1320 是 3 的倍数， 又因为 1320 的个位是 0，所以 1320 是 2 和 5 的倍数， 即 1320 同时是 2、3、5 的倍数 所以“1320 同时是 2、3、5 的倍数”的说法是正确的 故答案为： 【点评】此题考查的目的是理解掌握 2、3、5 的倍数的特征 20【分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a 能被数 b 整除（b0），a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a

26、的 因数；进行解答即可 【解答】解：因为 21363，则：63213，63321， 即 21 和 3 是 63 的因数，63 是 21 和 3 的倍数，不能单独说一个数是因数或倍数；所以原题说法错误； 故答案为： 【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意因数和倍数是相互依存的 21【分析】根据找一个数因数的方法，列举出 32 的所有因数，然后判断即可 【解答】解：32 的全部因数是 1、2、4、8、16 和 32，共有 6 个，所以本题说法错误； 故答案为： 【点评】明确找一个数因数的方法，是解答此题的关键 22【分析】根据倍数的含义和找一个数的倍数的方法，可得一个数（

27、0 除外）的倍数的个数是无限的，最 小的是它本身，据此解答即可 【解答】解：因为一个数（0 除外）的倍数的个数是无限的，最小的是它本身， 所以题中说法正确 故答案为： 【点评】此题主要考查了倍数的含义和找一个数的倍数的方法，要熟练掌握 23【分析】两个自然数（0 除外）相乘，积不一定是合数，可以举出反例证明 【解答】解；1 和 2 是大于零的自然数，它们的积 122，2 是质数，1 和 5 是大于零的自然数，它们 的积 155，5 是质数， 所以两个不同数相乘的积一定是合数的说法是错误的； 故答案为： 【点评】解答本题关键是找出反例进行推翻结论 四计算题（共四计算题（共 1 小题）小题） 24

28、【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解 【解答】解：（1）30235； （2）91713； （3）242223 【点评】此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法 五应用题（共五应用题（共 6 小题）小题） 25【分析】因为买回来 26 千克豆油，26 的个位数字是偶数，得出能被 2 整除，所以选用 2 千克装，根据 进而得出结论 【解答】解：由分析知：选用 2 千克装，26213（个） 答：选用 2 千克装，需这样的桶 13 个；因为 26 是 2 的倍数 【点评】解答此题的关键：根据能被 2 整除的数的特征，进行解答即可 26【分析】（1）根据能

29、被 2 整除的特征：即个位上是 0、2、4、6、8 的数判断即可； （2）根据能被 5 整除的特征：即个位上是 0 或 5 的数判断即可； （3）根据能被 3 整除的特征：各个数位上的数字之和能被 3 整除这个数就能被 3 整除，判断即可 【解答】解：（1）85 个位上是 5，不能被 2 整除， 所以每 2 个装一袋，不能正好装完； 答：不能正好装完； （2）85 个位上是 5，能被 5 整除， 所以每 5 个装一袋，能正好装完； 答：能正好装完； （3）8+513，不能被 3 整除， 所以每 3 个装一袋，不能正好装完； 答：不能正好装完 【点评】此题根据能被 2、3、5 整除的数的特征，解

30、决实际问题 27【分析】要求每行的人数相同，可以排成几行？即求 48 的因数，有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、 48； 因为至少排 2 排，如果每行 2 人，可以排 24 行；如果每行 3 人，可以排 16 行；如果每行 4 人，可以排 12 行；如果每行 6 人，可以排 8 行；如果每行 8 人，可以排 6 行；如果每行 12 人，可以排 4 行；如果 每行 16 人，可以排 3 行，如果每行 24 人，可以排 2 行；共 8 种情况 【解答】解：48 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；要求每行的人数相同（至少排成 2 行）， 如果每行 2 人，可以排

31、24 行；如果每行 3 人，可以排 16 行；如果每行 4 人，可以排 12 行；如果每行 6 人，可以排 8 行；如果每行 8 人，可以排 6 行；如果每行 12 人，可以排 4 行；如果每行 16 人，可以排 3 行，如果每行 24 人，可以排 2 行；共 8 种情况 答：共有 8 种情况 【点评】解答此题的关键：先根据找一个数的因数的方法，求出 48 的因数，进而根据题意，列举出所有 的排法 28【分析】先计算一下 85 能不能被 3 整除，如果能，就能正好装完，反之，则不能；求至少还需几个， 先求出余数，然后用除数减去余数，即至少买的个数 【解答】解：85328（袋）1（个）， 至少增

32、加：312（个）； 答：不能正好装完，如果每 3 个装一袋，至少还需要加上 2 个苹果 【点评】此题主要考查根据能被 3 整除的数的特征解决问题 29【分析】选哪个箱子能正好装完，只要依据整除的意义，谁能整除 642，就选那种包装箱，据此解答即 可 【解答】解：因为 6426107 642880.25 所以每箱装 6 盒能正好把 642 盒牛奶装完； 【点评】此题主要依据整除的意义解决问题，掌握整数除法的计算方法是解答本题的关键 30【分析】这个五位数的最高两位数字之和是 2+13，3 是 3 的倍数，如果后三位的数字之和也是 3 的 倍数， 那么这个数就是 3 的倍数 任何一个由相同数字组成的三位数都是 3 的倍数， 如 111、 222、 333 999，即 3 个 1、3 个 2、3 个 33 个 9 都是 3 个倍数，因此，21BBB 这个五位数不论 B 为任何一位自 然数，这个数都是 3 的倍数 【解答】解：21BBB 是 3 的倍数 理由：最高两位数字之是 2+13，331，即 21 是 3 的倍数 111、222、333999 都是 3 的倍数 因此，21BBB 无论 B 为任何自然数（包括 0），这个数都是 3 的倍数 【点评】此题是考查 3 的倍数特征一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数