小学五年级上册数学讲义5.简易方程 人教新课标版（含详解）

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1、人教版小学五年级数学上册人教版小学五年级数学上册同步复习与测试讲义同步复习与测试讲义 简易方程简易方程 一一用字母表示数用字母表示数 【知识点归纳】【知识点归纳】 字母可以表示任意的数， 也可以表示特定意义的公式， 还可以表示符合条件的某一个数， 甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来比如：t 可以表示时间 用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有 普遍意义使思维过程简化，易于形成概念系统 注意：注意： 1用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用 “”（点）表示 2字母和数字相乘时，省略乘号，并把数

2、字放到字母前； “1”与任何字母相乘时， “1” 省略不写 3出现除式时，用分数表示 4结果含加减运算的，单位前加“（ ）” 5系数是带分数时，带分数要化成假分数 例如：乘法分配律：（a+b）c=ac+bc 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法交换律：ab=ba 【典例分析】【典例分析】 例：甲数为 x，乙数是甲数的 3 倍多 6，求乙数的算式是（ ） A、x3+6 B、（x+6）3 C、（x-6）3 D、3x+6 分析：由题意得：乙数=甲数3+6，代数计算即可 解：乙数为：3x+6 故选：D 点评：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正 确的表示出来，然后

3、根据题意列式计算即可得解 二二含字母式子的求值含字母式子的求值 【知识点归纳】【知识点归纳】 在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的 数通常我们所谓的求解 x 的方程也是含字母式子的求值如 x 的 4 倍与 5 的和，用式 子表示是 4x+5若加个条件说和为 9，即可求出 x=1 【典例分析】【典例分析】 例 1：当 a=5、b=4 时，ab+3 的值是（ ） A、5+4+3=12 B、54+3=57 C、54+3=23 分析：把 a=5，b=4 代入含字母的式子 ab+3 中，计算即可求出式子的数值 解：当 a=5、b=4 时 ab+3 =54+3 =2

4、0+3 =23 故选：C 点评：此题考查含字母的式子求值的方法：把字母表示的数值代入式子，进而求出式子 的数值；关键是明确：ab 表示 ab，而不是 a+b 例 2：4x+8 错写成 4（x+8）结果比原来（ ） A、多 4 B、少 4 C、多 24 D、少 6 分析：应用乘法的分配律，把 4（x+8）可化为 4x+48=4x+32，再减去 4x+8，即可得 出答案 解：4（x+8）-（4x+8）， =4x+48-4x-8， =32-8， =24 答：4x+8 错写成 4（x+8）结果比原来多 24 故选：C 点评：注意括号外面是减号，去掉括号时，括号里面的运算符合要改变 三三等式的意义等式的

5、意义 【知识点归纳】【知识点归纳】 含有等号的式子叫做等式等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同 时乘或除以同一个不为 0 的整式，等式的值不变 等式的基本性质： 性质 1： 等式两边同时加上 （或减去） 同一个整式， 等式仍然成立 若 a=b， 那么 a+c=b+c 性质 2：等式两边同时乘或除以同一个不为 0 的整式，等式仍然成立若 a=b，那么有 ac=bc，或 ac=bc （c0） 性质 3：等式具有传递性若 a1=a2，a2=a3，a3=a4，am=an，那么 a1=a2=a3=a4=an 等式的意义： 等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质如移

6、项，去分 母等 运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为 0，否则无意义 【典【典例分析】例分析】 例 1：500+=600+，比较和大小，（ ）正确 A、B、=C、 分析：依据等式的意义，即表示左右两边相等的式子，叫做等式，于是即可进行正确选 择 解：因为 500+=600+， 且 500600， 所以； 故选：A 点评：此题主要考查等式的意义 例 2：等式两边同时乘或除以一个相同的数，所得的结果仍是一个等式（判断对 错） 分析：根据等式的性质，可知：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0 除外），等式 仍然成立 解：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0 除外），等式仍然成立；需要

7、限制相同的 这个数，必须得 0 除外，因为 0 做除数无意义； 故答案为： 点评：此题考查等式的性质，即“方程的两边同加上或减去一个相同的数，同乘或除以 一个相同的数（0 除外），等式仍然成立” 四四方程的意义方程的意义 【知识点归纳】【知识点归纳】 含有未知数的等式叫方程 方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可 方程和算术式不同： 算术式是一个式子， 它由运算符号和已知数组成， 它表示未知数 方 程是一个等式，在方程里，未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时， 方程才成立 方程的意义： 数学中的方程让很多问题变得简单易懂，因为对于很多数之间的关系，如果直接求需要 复杂的逻辑推理关

8、系，而用代数和方程就很容易求解，从而降低难度 【典例分析】【典例分析】 来源来源:学学#科科#网 网 Z#X#X#K 例：一个数的 7 倍比 35 多 14，设这个数为 x，列方程是（ ） A、7x+35=14 B、7x-35=14 C、35-7x=14 分析：设这个数为 x，那么它的 7 倍就是 7x，它减去 35 是 14，根据等量关系列出方程 即可 解：设这个数为 x，由题意得： 7x-35=14 故选：B 点评：解决这类问题的关键是找清数量关系，根据等量关系列出方程 五五方程与等式的关系方程与等式的关系 【知识点归纳】【知识点归纳】 1方程：含有未知数的等式，即： 方程中必须含有未知；

9、 方程式是等式，但等式不一定是方程 2方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式， 通常在两者之间有一等号“=” 3方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数 【典例分析】【典例分析】 例：方程一定是等式，但等式不一定是方程（判断对错） 分析：紧扣方程的定义，由此可以解决问题 解：根据方程的定义可以知道，方程是含有未知数的等式，但是等式不一定都含有未知 数，所以这个说法是正确的 故答案为： 点评：此题考查了方程与等式的关系，应紧扣方程的定义，从而解决问题 同步测试同步测试 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1当 a5，b4 时，ab+3 的值是（

10、 ） A12 B57 C23 2下面的等式中，正确的是（ ） Aabba Babba Cab+aca（b+c） 3已知 ab2c，4c 应等于（ ） A2a2b B2ab C4ab Da4b 4一个数的 7 倍比 35 多 14，设这个数为 x，列方程是（ ） A7x+3514 B7x3514 C357x14 5乙数是 x，甲数比乙数的 3 倍少 y，甲数可以表示为（ ） Ax3y B（xy）3 C3xy 6如果 B（29+A）B29+B（B 不为 0），那么 A（ ） A0 B14 C1 7当 a9 时，a2（ ） A18 B81 C无法确定 8（ ）两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等

11、 A算式 B式子 C等式 9方程和等式的关系可以用下面（ ）图来表示 A B C 10下面的式子中，（ ）是方程 AX+8 B4y2 Cx+815 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11A1.8B7.2（AB 都不等于 0），则 AB 12在 5.6+x7.8； 953758； 8y；30+x75；9x72+18 中，等式有 ， 方程有 13小红买了 4 支笔，每支 a 元，她付给售货员 15 元，则 表示买笔花去的钱， 还剩 元（用含有字母的式子表示） 14小明到商店买练习簿，每本单价 2 元，购买的总本数 x（本）与总金额 y（元）的 关系式，可以表示为： 15当 m5 时，m2

12、 ，2m+8 16a（a0），相当于把 a 扩大到原来的 倍 17等式 是方程，方程 是等式 （选填“一定”或“不一定”） 18一列动车以 220 千米/时的速度从甲地开往乙地，行驶 x 小时后，动车离乙地还有 180千米， 甲、 乙两地间铁路长 千米 当x2时， 甲、 乙两地间铁路长 千 米 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 19因为 a2表示两个 a 相乘，2a 表示 2 乘以 a，所以 a2一定大于 2a （判断对 错） 20方程都是等式，那么所有的等式也是方程 （判断对错） 21当 a 与 b 的和是 10 时，b10a （判断对错） 2210x0 是方程 （判断对错） 23

13、等式的两边同时乘或除以一个相同的数，所得结果还是等式 （判断对 错） 四计算题（共四计算题（共 3 小题）小题） 24直接写出计算结果 8x+6x 6.5b5.5b 0.52 0.52 6x+3x4x 3.6a+5.4a+a 25 x+（ xy2）（2xy2），其中 x，y 26求下列各式子的值 当 x5 时 5x+18 604x 五应用题（共五应用题（共 2 小题）小题） 27一本书有 a 页，张明每天看 10 页，看了 b 天 （1）用式子表示还没有看的页数 （2）这本书如果有 180 页，张明看了 11 天用上面的式子求出还没看的页数 28妈妈买了 a 千克苹果和 b 千克梨，每千克苹果

14、 4.5 元，每千克梨 3.2 元 （1）用含有字母的式子表示妈妈买水果付的钱 （2）当 a2.4，b1.8 时，妈妈一共付了多少钱？ 六解答题（共六解答题（共 2 小题）小题） 29某电信公司手机的 A 套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交 月租费 50 元，另外，每通话 1 分交费 0.2 元如果用 y（元）表示每月应交费用，用 x（分）表示通话时间，若某手机用户这个月的通话时间为 152 分，那么他应交费多 少元？ 30写出下面每题的等量关系式： （1）小亮现在的身高比出生时的 3 倍少 0.03 米 ； （2）六（1）班栽了 25 棵杨树，还栽了 3 行松树，一共栽了

15、 61 棵树 ； （3）小丽和小明同时从相距 960 米的两地相对走来小丽每分走 58 米，小明每分走 62 米经过几分两人相遇？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1【分析】把 a5，b4 代入 ab+3 计算，再根据计算结果进行选择 【解答】解：当 a5，b4 时 ab+3 54+3 20+3 23 即当 a5，b4 时，ab+3 的值是 23 故选：C 【点评】此题是考查学生在理解含有字母式子的具体意义的基础上，会根据字母的取 值，求含有字母式子的值 2【分析】对选项逐个分析，找出正确的选项 【解答】解：A，ab，ba，当 a 和 b 不

16、同时为 0 时两个算式不会相等，故本选项 不正确； B，ab，ba，当 a 和 b 不同时为 1 时两个算式不会相等，故本选项不正 确； C，ab+aca（b+c），这是乘法分配律，等式成立，本选项正确 故选：C 【点评】注意选项 A 和 B，不是运算定律，不要当成了加法和乘法的交换律 3【分析】根据商不变的性质，商从 2c 到 4c 是扩大了 2 倍，再根据题意求解即可 【解答】解：由题意可知，（4c）（2c）2，由根据商不变的性质，可知商扩大 了 2 倍，A 选型被除数和除数同时扩大了 2 倍，商不变，所以排除 A；B 选项，被除 数扩大了 2 倍，除数不变，那么商也扩大 2 倍，即 4c

17、，符合题意；C 选项被除数扩大 4 倍，除数不变，商扩大 4 倍，不符合；D 选项被除数不变，除数扩大 4 倍，商缩小 4 倍，也不符合题意 故选：B 【点评】根据商不变的性质，由题目给出的选项，进行排除即可求出答案 4【分析】设这个数为 x，那么它的 7 倍就是 7x，它减去 35 是 14，根据等量关系列出 方程即可 【解答】解：设这个数为 x，由题意得： 7x3514 故选：B 【点评】解决这类问题的关键是找清数量关系，根据等量关系列出方程 5【分析】根据“乙数为 x，甲数比乙数的 3 倍少 y”，可知甲数乙数3 倍y，由 此求出甲数 【解答】解：甲数为：3xy； 答：甲数是 3xy 故

18、选：C 【点评】此题考查用字母表示数，解决此题关键是找准数量关系式，进而求得甲数 6【分析】根据乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数 相乘，再相加，得数不变，把 B（29+A）变成 B29+BA，再根据 B29+BA B29+B，求出 A 的值是多少即可 【解答】解：B（29+A）B29+BA 则 B29+BAB29+B 所以 BAB 所以 A1 来源:Zxxk.Com 故选：C 【点评】 此题主要考查了用字母表示数的方法， 以及乘法分配律的应用， 要熟练掌握 7【分析】根据乘方的意义，a2aa，把 a 用 9 代替，计算即可，再根据计算结果 进行选择 【解答】解：把

19、a9 代入 a2 a2 aa 99 81 故选：B 【点评】解答此题的关键是乘方的意义 8【分析】等式的性质：在等式的两边都加上（或减去）一个相同的数，等式依然成 立；据此进行判断 【解答】解：在等式的两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等 故选：C 【点评】此题考查等式的性质：在等式的两边同时都加上（或减去）一个相同的数； 两边同时都乘上（或除以）一个相同的数（0 除外），等式依然成立要注意：必须 是同一个数才行 9【分析】等式是指用“”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式所以等 式的范围大，而方程的范围小，它们之间是包含关系 【解答】解：等式是指用“”号连接的式子；而方程是指含有未知

20、数的等式 方程和等式的关系可以用下图来表示： 故选：A 【点评】此题考查方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程 10【分析】方程是指含有未知数的等式据此意义可知是方程必须含有未知数，且必 须是等式据此逐项分析后再选择 【解答】解：A、x+8，只是含有未知数的式子，不是等式，所以不是方程； B、4y2，是含有未知数的等式，是方程； C、x+815，是含有未知数的不等式，不是等式，所以不是方程 故选：B 【点评】此题考查学生对方程意义的理解和运用，明确只有含有未知数的等式才是方 程 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11【分析】由 A1.8B7.2，可得 AB，再逆用比

21、例的基本性质（在比 例里，两个内项的积等于两个外项的积）解决问题 【解答】解：A1.8B7.2， AB， A：B：， A：B5：20， A：B1：4， 所以 AB1； 故答案为： 【点评】此题也可以根据倒数的意义求解，即令 A1.8B7.21，先求出 1.8 和 7.2 的倒数，进而相除得解 12【分析】等式是指用“”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此进行分 类 【解答】解：等式有：5.6+x7.8、953758、9x72+18 方程有：5.6+x7.8、9x72+18 故答案为：5.6+x7.8、953758、9x72+18，5.6+x7.8、9x72+18 【点评】此题考查等式和方

22、程的辨识，熟记定义，才能快速辨识 13【分析】根据题意可知，已知笔的单价和数量，求总价，用单价数量总价；要 求剩下的钱是多少，用付出的钱数用去的钱数剩下的钱数，据此列式解答 【解答】解：a44a（元） 15a4（154a）（元） 答：4a 表示买笔花的钱数，还剩（154a）元 故答案为：4a 元；（154a） 【点评】考查了用字母表示数，本题关键是理解找回的钱数、付给售货员的钱数和买 钢笔的钱数之间的关系 14【分析】根据总金额每本练习簿的单价购买的总本数，列式为：y2x 即可 【解答】解：小明到商店买练习簿，每本单价 2 元，购买的总本数 x（本）与总金额 y（元）的关系式，可以表示为：y2

23、x； 故答案为：y2x 【点评】此题主要考查了用字母表示数的方法，以及总价单价数量这一关系式的 灵活运用 15【分析】把 m 的值分别带入含字母的式子中计算即可 【解答】解：当 m5 时 m25225， 2m+8 25+8 10+8 18 故答案为：25；18 【点评】 先化简给出的代数式， 再把给出的字母表示的数代入含字母的式子解答即可 16【分析】由于除以一个数（不等于 0）等于乘这个数的倒数，一个数除以，即等 于这个数乘 5，也就是就是把这个数扩大到原来的 5 倍；据此解答即可 【解答】解：因为一个数除以即等于这个数乘 8，也就是就是把这个数扩大到原来 的 5 倍； 所以，一个数除以就是

24、把这个数扩大到原来的 5 倍 故答案为：5 【点评】此题考查了分数除法的计算法则的应用 17【分析】等式是指用等号连接的式子；方程是指含有未知数的等式；所有的方程都 是等式，但等式不一定是方程 【解答】 解： 方程是指含有未知数的等式， 所以等式不一定是方程， 方程一定是等式， 故答案为：不一定，一定 【点评】此题考查等式与方程的区别等式是指用等号连接的式子；方程是指含有未 知数的等式 18【分析】根据题意，用速度时间路程，求出动车行驶 x 小时行驶的路程，再加 上加上未行的路程即可求出甲、乙两地路程；把 x2 代入算式即可解答 【解答】解：220x+180； 来源:学科网 ZXXK 把 x2

25、 代入 220x+180 2202+180 440+180 620（千米）； 答：甲、乙两地间铁路长 （220x+180）千米当 x2 时，甲、乙两地间铁路长 620 千米 故答案为：（220x+180），620 【点评】首先根据速度时间路程求出此车 2 小时所行的路程是完成本题的关键 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 19【分析】根据乘方的意义，a2表示两个 a 相乘，根据乘法的意义 2a 表示 2 乘 a，当 a0 或 a2 时，a22a，a1 时，a22a，只有当 a2 时，a2一定大于 2a 【解答】解：当 a0 或 a2 时，a22a，a1 时，a22a，只有当 a2 时，

26、a2一 定大于 2a 原题说法错误 故答案为： 【点评】a 取不同数值时，a2可能小于 2a，也可能等于 2a，还可能大于 2a 20【分析】方程是指含有未知数的等式，而等式是指等号两边相等的式子；所以所有 的方程都是等式是正确的，但是所有的等式也一定是方程，就是错误的，举例验证即 可进行判断 【解答】解：所有的方程都是等式，此句正确； 来源:Zxxk.Com 但所有的等式就不一定是方程，如：510252，只是等式，不是方程，因为只有 含未知数的等式才是方程 所以原题说法错误 故答案为： 【点评】此题考查方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程， 只有含未知数的等式才是方程 2

27、1 【分析】根据加法各部分之间的关系：一个加数和另一个加数，进而解决此题 【解答】解：当 a 与 b 的和是 10 时，b10a 故答案为：正确 【点评】此题考查已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数是多少 22 【分析】方程是指含有未知数的等式所以方程必须具备两个条件：含有未知数； 等式由此进行判断 【解答】解：10x0，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程； 原题说法正确 故答案为： 【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程 23【分析】根据等式的性质，可知：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0 除外）， 等式仍然成立 【解答】解：等式两边同时乘或除以

28、一个相同的数（0 除外），等式仍然成立；需要 限制相同的这个数，必须得 0 除外，因为 0 做除以无意义； 故答案为： 【点评】此题考查等式的性质，即“方程的两边同加上或减去一个相同的数，同乘或 除以一个相同的数（0 除外），等式仍然成立” 四计算题（共四计算题（共 3 小题）小题） 24【分析】（1）：把字母前的数字相加即可 （2）：把字母前的数字相减即可 （3）：0.52表示两个 0.5 相乘，故等于 0.50.50.25 （4）：按照整数乘整数计算，得 10，因数里面有 1 位小数，将小数点往左移动一位， 得 1 （5）：把字母前的数字相加减即可 （6）：把字母前的数字相加减即可 【解答

29、】解：（1）8x+6x14x （2）6.5b5.5bb （3）0.520.50.50.25 （4）0.521 （5）6x+3x4x5x （6）3.6a+5.4a+a8a 故答案为：14x；b；0.25；1；5x；8a 【点评】解答考查的是用字母表示数和小数乘法计算： 字母相同时，直接把前面的数相加减即可； 小数乘整数，按照整数乘整数计算，因数里面有几位小数，就将小数点往左移动几 位 25【分析】先将原式化简，然后将 x、y 的值代入，按照四则混合运算的顺序求出值 即可解题 【解答】解：原式 3x+y2 当 x，y时， 原式3（）+（）2 1+ 1 【点评】解答本题的关键是将原式化简，然后把 x

30、y 的值代入求出结果 26【分析】把 x5 代入要求的式子计算即可 【解答】解：当 x5 时， 5x+18 55+18 25+18 43； 604x 6045 6020 40 【点评】本题考查了含字母式子求值，关键是把字母的值代入计算 五应用题（共五应用题（共 2 小题）小题） 27【分析】（1）根据题意可知，没看的页数整本书的页数已看的页数，用字母 表示为：（a10b）页 （2）把数代入（1）中的式子计算得：180101170（页） 【解答】解：（1）还没有看的页数为：（a10b）页 （2）1801011 180110 70（页） 答：还没看的页数为 70 页 【点评】解题关键是根据已知条件

31、，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题 意列式计算即可得解 28【分析】（1）根据总价单价数量，先求出妈妈买 a 千克苹果和 b 千克梨分别 花了多少钱，进而相加就是买两种水果共用去多少钱数 （2）把 a2.4，b1.8 代入（1）的算式，求出结果即可 【解答】解：（1）根据总价单价数量可得妈妈付的钱数可以表示为： （4.5a+3.2b）元 （2）a2.4，b1.8 时： 4.5a+3.2b 4.52.4+3.21.8 10.8+5.76 来源:学_科_网 16.56（元） 答：妈妈一共付了 16.56 元 【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字 母正

32、确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解 六解答题（共六解答题（共 2 小题）小题） 29【分析】根据题意，可知：每部手机每月必须交月租费 50 元，用 y（元）表示每月 应交费用，用 x（分）表示通话时间，那么某手机用户一个月应交费 y50+0.2x 元； 进而代数计算得解 【解答】解：当 x152 时 y50+0.2x 50+0.2152 50+30.4 80.4 答：他应交费 80.4 元 【点评】解决此题关键是先找出数量关系等式，进而代数计算即可 30【分析】（1）根据题意，可知比小亮出生时身高的 3 倍少 0.03 米的数就是他现在 的身高数； （2）根据题意，可知杨树棵数加上每行松数的棵数乘行数的和，就是栽树的总棵数； （3）根据题意，可知小丽和小明每分走的速度和乘相遇时间，就等于总路程；据此 写出每题的等量关系式即可 【解答】解：（1）小亮出生时的身高30.03 米小亮现在的身高 （2）杨树的棵数+每行松数的棵数行数栽树的总棵数 （3）小丽与小明每分走的速度和相遇时间总路程 故答案为：小亮出生时的身高30.03 米小亮现在的身高，杨树的棵数+每行松 数的棵数行数栽树的总棵数，小丽与小明每分走的速度和相遇时间总路程 【点评】读懂题意，进而找出数量之间的相等关系即可