高三数学二轮复习分项练5 解析几何
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1、(五五)解析几何解析几何 1.(2019 成都诊断)已知 aR 且为常数,圆 C:x22xy22ay0,过圆 C 内一点(1,2)的直 线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点, 当弦 AB 最短时, 直线 l 的方程为 2xy0, 则 a 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B 解析 圆 C:x22xy22ay0, 化简为(x1)2(ya)2a21, 圆心坐标为 C(1,a),半径为 a21. 如图, 由题意可得,当弦 AB 最短时,过圆心与点(1,2)的直线与直线 2xy0 垂直. 则 a2 11 1 2,即 a3. 2.(2019 毛坦厂中学联考)已知 F1,F2两点是中
2、心为原点的双曲线 C 的焦点,F1(0,5),P 是该 双曲线上一点,|PF1|PF2|6,则该双曲线的渐近线为( ) A.3x 5y0 B.5x 3y0 C.4x 3y0 D.3x 4y0 答案 D 解析 由题意知,该双曲线焦点在 y 轴上, c5,2a6,即 a3, b c2a24, 则双曲线 C 的渐近线方程为 y 3 4x,即 3x 4y0. 3.(2019 抚顺模拟)已知斜率为1 的直线过抛物线 y22px(p0)的焦点, 且与该抛物线交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x2 B.x1 C.x2 D.x1 答案 D 解析 由题意,
3、直线 AB:yxp 2并代入 y 22px, 并整理得:y22pyp20, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1y22p,y1y2 2 p2,解得 p2. 所以该抛物线的准线方程为 xp 21. 4.(2019 南昌适应性测试)若椭圆 :x 2 a2 y2 b21 (ab0)的离心率为 1 3,A,F 分别为椭圆的左、 右焦点, B 为右顶点, 过右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 C, 则 cosACB 等于( ) A.3 5 B. 5 7 C. 3 2 7 D. 7 25 答案 D 解析 因为椭圆的离心率为1 3,所以 a3c,b2 2c, 因为过右焦点 F 作垂直
4、于 x 轴的直线交椭圆于点 C, 所以得点 C c, b2 a ,即 C c, 8 3c , 从而 A(c,0),B(3c,0), 在ABC 中,|AC|10 3 c,|BC|10 3 c,|AB|4c, cosACB 100 9 c2216c2 100 9 c22 7 25. 5.设抛物线 y24x 的焦点为 F,过点 M( 5,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物线 的准线相交于 C 点,|BF|3,则BCF 与ACF 的面积之比S BCF SACF等于( ) A.3 4 B. 4 5 C. 5 6 D. 6 7 答案 D 解析 设点 A 在第一象限,点 B 在第四象限,A(x1
5、,y1),B(x2,y2), 直线 AB 的方程为 xmy 5. 由 y24x 得 p2, 因为|BF|3x2p 2x21, 所以 x22,则 y224x2428, 所以 y22 2, 由 y24x, xmy 5, 得 y24my4 50, 由根与系数的关系,得 y1y24 5, 所以 y1 10, 由 y214x1,得 x15 2. 过点 A 作 AA垂直于准线 x1,垂足为 A(图略), 过点 B 作 BB垂直于准线 x1,垂足为 B, 易知CBBCAA, 所以S BCF SACF |BC| |AC| |BB| |AA|. 又|BB|BF|3,|AA|x1p 2 5 21 7 2, 所以S
6、 BCF SACF 3 7 2 6 7. 6.(2019 凯里模拟)已知 F 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点,A 是椭圆短轴的一个端点,若 F 为过 AF 的椭圆的弦的三等分点,则椭圆的离心率为( ) A.1 3 B. 3 3 C.1 2 D. 3 2 答案 B 解析 延长 AF 交椭圆于点 B, 设椭圆左焦点为 F,连接 AF,BF. 根据题意|AF| b2c2a,|AF|2|FB|, 所以|FB|a 2, 根据椭圆定义|BF|BF|2a,所以|BF|3a 2 . 在AFF中,由余弦定理得 cosFAF|FA| 2|FA|2|FF|2 2|FA| |FA| 2a 24c2
7、 2a2 , 在AFB 中,由余弦定理得 cosFAB|FA| 2|AB|2|BF|2 2|FA| |AB| 1 3, 所以2a 24c2 2a2 1 3,解得 a 3c, 所以椭圆离心率为 ec a 3 3 . 7.(2019 凯里模拟)已知 A 为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右顶点,P 为双曲线右支上一点, 若点 P 关于双曲线中心 O 的对称点 Q 满足 kAP kAQ1 4,则双曲线的离心率为( ) A. 51 B. 5 2 C. 5 D. 51 答案 B 解析 设 P(x,y),Q(x,y),A(a,0), 因为 kAP kAQ1 4, 所以y0 xa y0 xa
8、 y0 xa y0 xa y2 x2a2 1 4, 因为x 2 a2 y2 b21, 所以 y2b 2 a2(x 2a2), 所以 b2 a2x 2a2 x2a2 1 4, 所以 a2b,所以 a24b24(c2a2), 所以 5a24c2,所以 e 5 2 . 8.(2019 汉中质检)已知抛物线 y28x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,交 准线于点 C,若|BC| 2|BF|,则|AB|等于( ) A.12 B.14 C.16 D.28 答案 C 解析 抛物线 y28x,p4,分别过 A,B 作准线的垂线,垂足为 M,N,如图: 由抛物线的定义可知:|AM|AF|
9、,|BN|BF|, BNx 轴,|BN| p |BC| |CF|, |BC| 2|BF|, 有|BF| p 2|BF| 2|BF|BF|, 解得|BF|84 2. |CF|CB|BF|4 2. AMx 轴,所以 p |AM| |CF| |CA|, p |AF| 4 2 4 2|AF|, |AF|84 2,所以|AB|16. 9.已知点 P 在抛物线 y2x 上,点 Q 在圆 x1 2 2(y4)21 上,则|PQ|的最小值为( ) A.3 5 2 1 B.3 3 2 1 C.2 31 D. 101 答案 A 解析 设抛物线上点的坐标为 P(m2,m). 圆心 1 2,4 与抛物线上的点的距离的
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