高三数学二轮复习第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)
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1、第第 4 讲讲 圆锥曲线中的定点圆锥曲线中的定点、定值定值、存在性问题存在性问题(大题大题) 热点一 定点问题 解决圆锥曲线中的定点问题应注意 (1)分清问题中哪些是定的,哪些是变动的; (2)注意“设而不求”思想的应用,引入参变量,最后看能否把变量消去; (3)“先猜后证”,也就是先利用特殊情况确定定点,然后验证,这样在整理式子时就有了明 确的方向. 例 1 (2019 汕尾质检)已知 P(0,2)是椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点, C 的离心率 e 3 3 . (1)求椭圆的方程; (2)过点 P 的两条直线 l1,l2分别与 C 相交于不同于点 P 的 A,B
2、两点,若 l1与 l2的斜率之和 为4,则直线 AB 是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 解 (1)由题意可得 b2, c a 3 3 , a2b2c2, 解得 a 6,b2,c 2, 椭圆的方程为x 2 6 y2 41. (2)当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 ykxt,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 ykxt, x2 6 y2 41, 消去 y 并整理, 可得(3k22)x26ktx3t2120, 36(kt)24(3k22)(3t212)0, 即 24(6k2t24)0, 则 x1x2 6kt 3k22,x1x2 3t212 3k2
3、2 , 由 l1与 l2的斜率之和为4, 可得y12 x1 y22 x2 4, 又 y1kx1t,y2kx2t, y12 x1 y22 x2 kx1t2 x1 kx2t2 x2 2kt2x1x2 x1x2 2k t2 6kt 3k22 3t212 3k22 4, 化简可得 tk2, ykxk2k(x1)2, 直线 AB 经过定点(1,2). 当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 xm,A(m,y1),B(m,y2), y12 m y22 m y1y24 m , 又点 A,B 均在椭圆上, A,B 关于 x 轴对称, y1y20,m1, 故直线 AB 方程为 x1,也过点(1,2
4、), 综上直线 AB 经过定点,定点为(1,2). 跟踪演练 1 (2019 攀枝花模拟)已知抛物线 C:y22px(p0)上一点 P(4,t)(t0)到焦点 F 的 距离等于 5. (1)求抛物线 C 的方程和实数 t 的值; (2)若过 F 的直线交抛物线 C 于不同的两点 A,B(均与 P 不重合),直线 PA,PB 分别交抛物 线的准线 l 于点 M,N.试判断以 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. 解 (1)由抛物线定义可知|PF|4 p 2 5, 解得 p2,故抛物线 C 的方程为 y24x, 将 P(4,t)(t0)代入抛物线方程解得 t4. (2)以 MN 为直径的圆一
5、定过点 F,理由如下: 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 设直线 AB 的方程为 xmy1(mR),代入抛物线 C:y24x, 化简整理得 y24my40, 则 y1y24m, y1y24, 由(1)知 P(4,4), 所以直线 PA 的方程为 y4y14 x14(x4) y14 my13(x4), 令 x1 得 y4m5y18 my13 , 即 M 1,4m5y18 my13 , 同理可得 N 1,4m5y28 my23 , kMF kNF4m5y18 2my13 4m5y28 2my23 2m5 2 2y 1y28m10y1y216 m2y1y23my1y29 4 2m5 2 24
6、m8m1016 4m23m 4m9 16m29 16m291, MFNF, 故以 MN 为直径的圆过点 F. (也可用MF NF 0). 热点二 定值问题 求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 例 2 (2019 闽粤赣三省十校联考)已知椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)经过点(0, 3),离心率为 1 2, 左、右焦点分别为 F1(c,0),F2(c,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)P,N 是 C 上异于 M 的两点,若直线 PM 与直线 PN 的斜率之
7、积为3 4,证明:M,N 两点 的横坐标之和为常数. (1)解 因为椭圆经过点(0, 3),所以 b 3, 又因为 e1 2,所以 c a 1 2, 又 c2a2b2,解得 a2,b 3, 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)证明 设 P,M,N 三点坐标分别为(xP,yP),(xM,yM),(xN,yN), 设直线 PM,PN 斜率分别为 k1,k2, 则直线 PM 方程为 yyPk1(xxP), 由方程组 x2 4 y2 31, yyPk1xxP 消去 y,得 (34k21)x28k1(k1xPyP)x4k21x2P8k1xPyP4y2P120, 由根与系数的关系可得 x
8、MxP8k1k1xPyP 34k21 , 故 xM8k1k1xPyP 34k21 xP4k 2 1xP8k1yP3xP 34k21 , 同理可得 xNxP8k2k2xPyP 34k22 , 又 k1 k23 4, 故 xNxP8k2k2xPyP 34k22 8 3 4k1 3 4k1xPyP 34 3 4k1 2 6xP8k1yP 4k213 , 则 xN6xP8k1yP 34k21 xP4k 2 1xP8k1yP3xP 34k21 xM, 从而 xNxM0, 即 M,N 两点的横坐标之和为常数 0. 跟踪演练 2 (2019 揭阳模拟)已知点 P 6 2 ,1 在椭圆 C:x 2 a2 y2
9、 b21(ab0)上,椭圆 C 的焦 距为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且满足|OA|2|OB|2的值为常数(其中 O 为坐标原点). 求 k 的值以及这个常数; 写出一般性结论(不用证明):斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)交于 A,B 两 点,且满足|OA|2|OB|2的值为常数,则 k 的值以及这个常数是多少? 解 (1)由点 P 在椭圆上得 3 2a2 1 b21,2c2, 3b22a22a2b2,c1, 又 a2b2c2, 3b22(b21)2(b21)b2, 2b43b220
10、,解得 b22,得 a23, 椭圆 C 的方程为x 2 3 y2 21. (2)设直线 l 的方程为 ykxt,联立x 2 3 y2 21, 得(3k22)x26ktx3t260,24(3k2t22)0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1x2 6kt 3k22, x1x23t 26 3k22, 又 y212 1x 2 1 3 ,y222 1x 2 2 3 , |OA|2|OB|2(x21y21)(x22y22) 1 3(x 2 1x 2 2)41 3(x1x2) 22x 1x24 1 3 6kt 3k22 223t 26 3k22 4 1 3 18k212t236k224 3k2
11、22 4, 要使|OA|2|OB|2为常数,只需 18k2120, 得 k22 3, |OA|2|OB|21 3 2424 22245, k 2 3 6 3 ,这个常数为 5; k b a,这个常数为 a 2b2. 热点三 存在性问题 存在性问题的求解策略 (1)若给出问题的一些特殊关系,要探索一般规律,并证明所得规律的正确性,通常要对已知 关系进行观察、比较、分析,然后概括一般规律; (2)若只给出条件,求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时,一般先对结论给出肯定存 在的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,从而得出结论. 例 3 已知椭圆 C:y 2 a2 x2 b21(ab0)的
12、上、下焦点分别为 F1,F2,上焦点 F1到直线 4x3y 120 的距离为 3,椭圆 C 的离心率 e1 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 E:y 2 a2 3x2 16b21,设过点 M(0,1),斜率存在且不为 0 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点, 试问 y 轴上是否存在点 P,使得PM PA |PA | PB |PB | ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在, 说明理由. 解 (1)由已知椭圆 C 的方程为y 2 a2 x2 b21(ab0), 设椭圆的上焦点 F1(0,c), 由 F1到直线 4x3y120 的距离为 3, 得|3c12| 5 3,所以 c1, 又椭
13、圆 C 的离心率 e1 2,所以 c a 1 2, 又 a2b2c2,求得 a24,b23. 椭圆 C 的方程为y 2 4 x2 31. (2)存在.理由如下:由(1)得椭圆 E:x 2 16 y2 41, 设直线 AB 的方程为 ykx1(k0), 联立 ykx1, x2 16 y2 41, 消去 y 并整理得(4k21)x28kx120, (8k)24(4k21)12256k2480. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2 8k 4k21,x1x2 12 4k21. 假设存在点 P(0,t)满足条件, 由于PM PA |PA | PB |PB | , 所以 PM 平分AP
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