2018-2019学年江西省南昌二中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(3月份)含详细解答
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1、2018-2019 学年江西省南昌二中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(3月份)一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分)分) 1 (5 分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( ) A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱 2 (5 分)下列条件中,能判断一条直线与一个平面垂直的是( ) A这条直线垂直于该平面内的一条直线 B这条直线垂直于该平面内的两条直线 C这条直线垂直于该平面内的任何两条直线 D这条直线垂直于该平面内的无数条直线 3 (5 分)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为的矩 形,则该几何体的表面积是( )
2、 A8 B C16 D 4 (5 分)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3cm,瓶里所装的水深为 8cm,将一个钢球完全 浸入水中,瓶中水的高度上升到 8.5cm,则钢球的半径为( ) A1 cm B1.2 cm C1.5 cm D2 cm 5 (5 分)过正方形 ABCD 的顶点 A,作 PA平面 ABCD,若 PABA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小是( ) 第 2 页(共 26 页) A30 B45 C60 D90 6 (5 分)已知正三棱锥 SABC 中,E 是侧棱 SC 的中点,且 SABE,则 SB 与底面 ABC 所成角的余弦值为( ) A B C D 7 (5
3、 分), 为平面,l 是直线,已知 l,则“,”是“l”的( ) 条件 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分不必要条件 8 (5 分)如图,一个圆锥的底面半径为 2,高为 6,在其中有一个高为 x 的内接圆柱,当 该圆柱的体积最大时,x( ) A2 B3 C4 D5 9 (5 分)已知 E,F 分别是长方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB,A1B1的中点,若, ADAA12,则四面体 C1DEF 的外接球的表面积为( ) A13 B16 C18 D20 10 (5 分)如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面 所在平面互相垂直的有( ) A
4、2 对 B3 对 C4 对 D5 对 第 3 页(共 26 页) 11 (5 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1,在空间中到三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线距 离相等的点的个数( ) A0 B2 C3 D无数个 12 (5 分)如图,棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1,点 A 在平面 内,平面 ABCD 与 平面 所成的二面角为 30,则顶点 C1到平面 的距离的最大值是( ) A2(2+) B2(+) C2(+1) D2(+1) 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)在棱长为 1 的正方体 ABC
5、DA1B1C1D1中,E 为棱 BB1的中点,用过点 A,E, C1的平面截去该正方体,则截面积为 14 (5 分)某装饰品的三视图如图所示,则该装饰品的体积为 15 (5 分)在三棱锥 ABCD 中,ABCD4,ADBC5,ACBD6,E,F 分别为 棱 AC 和棱 AD 上的动点,则BEF 的周长范围 16 (5 分)已知边长为 6 的菱形 ABCD 中,BAD120,沿对角线 AC 折成二面角 B ACD 的大小为 的四面体且 cos, 则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 三解答题(本大题共三解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
6、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (10 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2 (1)求点 B 到平面 ACD1的距离; (2)平面 ACD1截该正方体的内切球,求截面积的大小; 第 4 页(共 26 页) 19 (12 分)已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等,且A1ABA1AC60 (1)求证:A1ABC; (2)直线 AC1与直线 CB1所成角的余弦值 20 (12 分)已知在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD2,AB1,PA平 面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点 (1)证明:PFFD; (2)在线段 PA
7、 上是否存在点 G,使得 EG平面 PFD,若存在,确定点 G 的位置;若 不存在,说明理由; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45,求二面角 APDF 的余弦值 21 (12 分)已知椭圆+1(ab0)的离心率为,且过点(,) (1)求椭圆方程; (2)设不过原点 O 的直线 l:ykx+m(k0) ,与该椭圆交于 P、Q 两点,直线 OP、 OQ 的斜率依次为 k1、k2,满足 4kk1+k2,试问:当 k 变化时,m2是否为定值?若是, 第 5 页(共 26 页) 求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由 22 (12 分)已知函数 f(x)alnx (1)若函数 f
8、(x)有两个不同的零点,求实数 a 的取值范围; (2) 求当 x1时, f (x) 0恒成立的a 的取值范围, 并证明 ln2+ln3+ln4+lnn (n2,nN*) 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 18 (12 分)在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C1的参数 方程( 为参数) , 曲线 C2的极坐标方程:4cos (1)求曲线 C1和曲线 C2的直角坐标方程; (2)设曲线 C2交 x 轴于点 M(不是原点) ,过点 M 的直线 l 交曲线 C1于 A,B 两个不 同的点,求|MA|MB|的取值范围 第 6 页(共 26 页) 2018-2019 学年江
9、西省南昌二中高二(下)第一次月考数学年江西省南昌二中高二(下)第一次月考数学试卷学试卷 (理科) (理科) (3 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分)分) 1 (5 分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( ) A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱 【分析】直接从几何体的三视图:正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状,即可 【解答】解:圆柱的正视图为矩形, 故选:A 【点评】本题考查简单几何体的三视图,考查逻辑推理能力和空间想象力,是基础题 2 (5 分)下列条件中,能判断一条
10、直线与一个平面垂直的是( ) A这条直线垂直于该平面内的一条直线 B这条直线垂直于该平面内的两条直线 C这条直线垂直于该平面内的任何两条直线 D这条直线垂直于该平面内的无数条直线 【分析】利用直线与平面垂直的判定定理直接求解 【解答】解:在 A 中,如果一直线与平面相交但不垂直时, 则该直线与该平面中也可能一条直线也垂直,故 A 错误; 在 B 中,这条直线垂直于平面内的两条平行直线, 则这条直线不一定垂直于平面,故 B 错误; 在 C 中,这条直线垂直于该平面内的任何两条直线, 则这条直线一定垂直于平面,故 C 正确; 在 D 中,这条直线垂直于该平面内的无数条平行直线, 则这条直线不一定垂
11、直于这个平面,故 D 错误 故选:C 【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识,考查运算南求解能力,是中档题 3 (5 分)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为的矩 第 7 页(共 26 页) 形,则该几何体的表面积是( ) A8 B C16 D 【分析】由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱柱,底面是等腰直角三角形,且 其高为 ,故先求出底面积,求解其表面积即可 【解答】解:此几何体是一个三棱柱,且其高为 4, 由于其底面是一个等腰直角三角形,直角边长为 2,所以其面积为 222, 又此三棱柱的高为 4,故其侧面积为, (
12、2+2+2)416+8, 表面积为:22+16+820+8 故选:B 【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主 要考查三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相 关的公式求表面积三视图的投影规则是: “主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左 视、俯视 宽相等” 三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视 4 (5 分)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3cm,瓶里所装的水深为 8cm,将一个钢球完全 浸入水中,瓶中水的高度上升到 8.5cm,则钢球的半径为( ) A1 cm B1.2 cm C1.5 cm D2 cm
13、【分析】根据水上升部分的容积,等于球的体积,利用等积法,构造关于球的半径 R 的 方程,解得答案 【解答】解:设钢球的半径为 R,由题意得: , 解得:R1.5 cm, 故选:C 第 8 页(共 26 页) 【点评】本题考查的知识点是球的体积,圆柱的体积,正确理解水上升部分的容积,等 于球的体积,是解答的关键 5 (5 分)过正方形 ABCD 的顶点 A,作 PA平面 ABCD,若 PABA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小是( ) A30 B45 C60 D90 【分析】以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AD 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法
14、能求出平面 ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小 【解答】解:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AD 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 PABA1, 则 C(1,1,0) ,D(0,1,0) ,P(0,0,1) , (1,1,1) ,(0,1,1) , 设平面 PCD 的法向量 (x,y,z) , 则,取 y1,得 (0,1,1) , 平面 ABP 的法向量 (0,1,0) , 设平面 ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小为 , 则 cos, 45, 平面 ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小为 45 故选:B 第 9 页(共 26 页) 【点评】
15、本题考查二面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、 数形结合思想,是中档题 6 (5 分)已知正三棱锥 SABC 中,E 是侧棱 SC 的中点,且 SABE,则 SB 与底面 ABC 所成角的余弦值为( ) A B C D 【分析】过点 S 作 SO平面 ABC,连接 OB,则点 O 为正三角形 ABC 的中心,SBO 即为所求角,确定各侧面是全等的等腰直角三角形,即可得到结论 【解答】解:过点 S 作 SO平面 ABC,连接 OB, 则点 O 为正三角形 ABC 的中心,SBO 即为所求角, AO
16、 是 AS 在平面 ABC 内的射影,且 AOBC SABC 又 SABE,SA平面 SBC,SASC,SASB RtSAB 内,设 SASBa, 则 AB,OBa, cosOBS 故选:A 第 10 页(共 26 页) 【点评】本题考查线面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养 7 (5 分), 为平面,l 是直线,已知 l,则“,”是“l”的( ) 条件 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直,面面垂直的关系进行判断即可 【解答】解:由 ,l,可推出 l,反过来, 若 l,l,根
17、据面面垂直的判定定理,可知 , 故“,”是“l”的充要条件, 故选:C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据空间线面垂直关系是解决本题 的关键 8 (5 分)如图,一个圆锥的底面半径为 2,高为 6,在其中有一个高为 x 的内接圆柱,当 该圆柱的体积最大时,x( ) A2 B3 C4 D5 【分析】内接圆柱的底面半径为 r 时,它的上底面截圆锥得小圆锥的高为 3r,内接圆柱 的高 h63r, 圆柱的体积 Vr2(63r) 6r23r3,(0r2) , V12r9r2, (0r2) ,由此利用导数性质能求出该圆柱的体积最大时内接圆柱的高 【解答】解:圆锥的底面半径为 2,高为 6,
18、 第 11 页(共 26 页) 内接圆柱的底面半径为 r 时,它的上底面截圆锥得小圆锥的高为 3r 内接圆柱的高 h63r, 圆柱的体积 Vr2(63r)6r23r3, (0r2) , V12r9r2, (0r2) , 令 V0,得 r, (r0 舍) , 当 0r时,V0,当r2 时,V0, 当 r时,该圆柱的体积最大,此时内接圆柱的高 h63r2 故选:A 【点评】本题考查圆锥的内接圆柱的体积最大值时圆柱的高的求法,考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 9 (5 分)已知 E,F 分别是长方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB,A1B1的中点,若
19、, ADAA12,则四面体 C1DEF 的外接球的表面积为( ) A13 B16 C18 D20 【分析】首先根据锥体的性质,求出外接球的半径,进一步利用公式求出结果 【解答】解:如图所示, 第 12 页(共 26 页) 四面体 C1DEF 的外接球就是直三棱柱 DECD1FC1的外接球, 设棱柱 DECD1FC1的底 DEC 的外接圆圆心为 G,三棱柱 DECD1FC1的外接球球心 为 O,DEC 的外接圆半径 r,解得, 外接球的半径, 四面体 C1DEF 的外接球的表面积为 4R213, 故选:A 【点评】本题考查的知识要点:锥体的性质的应用,求出外接球的表面积公式的应用, 主要考察学生
20、的运算能力和转换能力 10 (5 分)如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面 所在平面互相垂直的有( ) 第 13 页(共 26 页) A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步利用面面垂直的判定的应用求出结果 【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为: 根据几何体得到: 平面 SAD平面 SCD,平面 SBC平面 SCD, 平面 SCD平面 ABCD,平面 SAD平面 SBC 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体的转换,面面垂直的判定定理的应用, 主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型 11 (5
21、 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1,在空间中到三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线距 离相等的点的个数( ) A0 B2 C3 D无数个 【分析】由于点 D、B1显然满足要求,猜想 B1D 上任一点都满足要求,然后利用空间坐 标系证明结论 【解答】解:在正方体 ABCDA1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系, 并设该正方体的棱长为 1,连接 B1D,并在 B1D 上任取一点 P, 因为(1,1,1) , 所以设 P(a,a,a) ,其中 0a1 作 PE平面 A1D,垂足为 E,再作 EFA1D1,垂足为 F, 则 PF 是点 P 到直线 A1D1的距离 所以 PF; 同理点
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