2018-2019学年江西省赣州市五校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）含详细解答

《2018-2019学年江西省赣州市五校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）含详细解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年江西省赣州市五校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）含详细解答（19页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、2018-2019 学年江西省赣州市五校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1 （5 分）若复数 z 满足（i 为虚数单位） ，则|z|等于（ ） A1 B2 C D 2 （5 分）已知命题 p：方程 ax2+by21 表示双曲线；命题 q：b0a命题 p 是命题 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）已知命题 p：存在 x00，命题 q：对任意 xR，x2x

2、+10，下 列命题为真命题的是（ ） Aq Bp 且 q Cp 或（q） D （p）且 q 4 （5 分）已知平面 内有一点 M（1，1，2） ，平面 的一个法向量 （2，1，2） ， 则下列点 P 在平面 内的是（ ） A （4，4，0） B （2，0，1） C （2，3，3） D （3，3，4） 5 （5 分）4 种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品， 则不同排列方法的种数是（ ） A12 B10 C8 D6 6 （5 分）直线 y4x 与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A4 B4 C2 D2 7 （5 分）函数的图象大致为（ ）

3、A B 第 2 页（共 19 页） C D 8 （5 分）已知 f（x）+6ax+b 的两个极值点分别为 x1，x2（x1x2） ，且 x2 ，则函数 f（x1）f（x2）（ ） A1 B C1 D与 b 有关 9 （5 分） 已知动圆 C 经过点 A （2， 0） ， 且截 y 轴所得的弦长为 4， 则圆心 C 的轨迹是 （ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 10 （5 分）用数学归纳法证明不等式+（n1，nN*）的过程中， 从 nk 到 nk+1 时左边需增加的代数式是（ ） A B C+ D 11 （5 分）如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 n（n1， n

4、N*） 个点， 相应的图案中总的点数记为 an， 则 等于（ ） A B C D 12 （5 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点 F 重 合，抛物线的准线与双曲线交于 A，B 两点，且OAB 的面积为 6（O 为原点） ，则双曲 线的方程为（ ） 第 3 页（共 19 页） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知函数 f（x）x3+2x2，则曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方 程为 14 （5 分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说： “你们的成绩都没有 我高 ”乙说： “

5、我的成绩一定比丙高 ”丙说： “你们的成绩都比我高 ”成绩公布后，三 人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第 名 15 （5 分）设 F 是双曲线 C：1 的一个焦点若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中 点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为 16 （5 分）已知函数 f（x）及其导数 f（x） ，若存在 x0，使得 f（x0）f（x0） ，则 x0 称为 f（x）的一个“巧值点” ，则下列函数中有“巧值点”的是 f（x）x2；f（x）e x；f（x）lnx；f（x）tanx；f（x） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共

6、 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分） （1）设 ab0，用综合法证明：a3+b3a2b+ab2； （2）用分析法证明： 18 （12 分）如图 1，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，点 M 在 AD 上，且 AMAD将AED，DCF 分别沿 DE，DF 折叠使 A，C 点重合于 点 P，如图 2 所示 （1）试判断 PB 与平面 MEF 的位置关系，并给出证明； （2）求二面角 MEFD 的余弦值 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）已知函数 f（x）x3x （1

7、）求函数 f（x）的单调区间； （2）求函数 f（x）在区间1，2上的最大值和最小值 20 （12 分）已知物线 C：y22px（p0）过点 M（4，4） （1）求抛物线 C 的方程； （2）设 F 为抛物线 C 的焦点，直线 l：y2x8 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求FAB 的面积 21 （12 分）已知椭圆 C 过点，两个焦点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB|6，求AOB 面积的最大值 22 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若函数 g（x）f（x）xlnx 在上有零点，求 a

8、的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年江西省赣州市五校协作体高二（下）期中数学试学年江西省赣州市五校协作体高二（下）期中数学试 卷（理科）卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：一、选择题：本题共有本题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1 （5 分）若复数 z 满足（i 为虚数单位） ，则|z|等于（ ） A1 B2 C D 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】解： |z|1 故选：A 【点评】本题考

9、查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题 2 （5 分）已知命题 p：方程 ax2+by21 表示双曲线；命题 q：b0a命题 p 是命题 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】命题 p 等价为 ab0，在和命题 q 对比即可 【解答】解：方程 ax2+by21 表示双曲线等价于 ab0，即命题 p：ab0， 由 ab0 推不出 ba0，充分性不具备， 由 ba0 能推出 ab0，必要性具备， 故命题 p 是命题 q 的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好双曲线方程系数的关系是解 决本题的关

10、键，比较基础 第 6 页（共 19 页） 3 （5 分）已知命题 p：存在 x00，命题 q：对任意 xR，x2x+10，下 列命题为真命题的是（ ） Aq Bp 且 q Cp 或（q） D （p）且 q 【分析】首先，分别判断给定的两个命题的真假，然后，结合复合命题的真假进行进一 步的判断 【解答】解：因为当 x0 时，函数 y1，故命题 p 为假命题； 当 xR 时，函数 y，故命题 q 为真命题； 因此选项 D 正确， 故选：D 【点评】本题考查了复合命题的真假判断，关键是对指数函数和二次函数的理解，属基 础题 4 （5 分）已知平面 内有一点 M（1，1，2） ，平面 的一个法向量 （

11、2，1，2） ， 则下列点 P 在平面 内的是（ ） A （4，4，0） B （2，0，1） C （2，3，3） D （3，3，4） 【分析】若点 P 在平面 内，则0，经过验证即可判断出结论 【解答】解：若点 P 在平面 内，则0，设 P（x，y，z） ， 则 2（x1）（y+1）+2（z2）0， 经过验证只有点（2，3，3）满足 故选：C 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、法向量的应用、线面垂直的判定，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 5 （5 分）4 种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品， 则不同排列方法的种数是（ ） A12 B10 C

12、8 D6 【分析】先求出所有的排法，再排除甲乙相邻的排法，即得甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品，则不同排列方法的种数 【解答】解：4 种不同产品排成一排所有的排法共有 A4424 种， 其中甲、乙两种产品相邻的排法有 A22A3312 种， 第 7 页（共 19 页） 故甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品，则不同排列方法的种数是排法有 2412 12 种 故选：A 【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于 中档题 6 （5 分）直线 y4x 与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A4 B4 C2 D2 【分析】由题意首先求出第

13、一象限的交点，然后利用定积分表示围成的图形的面积，然 后计算即可 【解答】解：先根据题意画出图形，两个图形在第一象限的交点为（2，8） ， 所以曲线 yx3与直线 y4x 在第一象限所围成的图形的面积是02（4xx3）dx， 而02（4xx3）dx（2x2x4）|02844 曲封闭图形的面积是 4， 故选：B 【点评】本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积，会求出原函数的能力，同时考查 了数形结合的思想，属于基础题 7 （5 分）函数的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数是否存在零点，以及 f（1）的符号，利用排除法进行判断即可 【解答】解：f（1）0，排除 C，D， 由0，则方

14、程无解，即函数没有零点，排除 B， 第 8 页（共 19 页） 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键 8 （5 分）已知 f（x）+6ax+b 的两个极值点分别为 x1，x2（x1x2） ，且 x2 ，则函数 f（x1）f（x2）（ ） A1 B C1 D与 b 有关 【分析】求出函数的导数，求出 a1，x12，x23，从而求出 f（x1）f（x2）的值即 可 【解答】解：f（x）x25ax+6a， 故 x1+x25a，x1x26a，而 x2， 联立解得：a1，x12，x23， 故 f（x）x2+6x+b， 故 f（x1）f（x2） 84+12+b（2

15、79+18+b） ， 故选：B 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道 常规题 9 （5 分） 已知动圆 C 经过点 A （2， 0） ， 且截 y 轴所得的弦长为 4， 则圆心 C 的轨迹是 （ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【分析】设圆心 C（x，y） ，弦为 BD，过点 C 作 CEy 轴，垂足为 E，则|BE|2，又|CA|2 |BC|2|BE|2+|CE|2，利用两点间的距离公式即可得出 【解答】解：设圆心 C（x，y） ，弦为 BCD 过点 C 作 CEy 轴，垂足为 E，则|BE|2， |CA|2|BC|2|BE|2+|CE|2， （

16、x2）2+y222+x2，化为 y24x，y24x 为抛物线 故选：D 第 9 页（共 19 页） 【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式， 考查学生的计算能力，属于中档题 10 （5 分）用数学归纳法证明不等式+（n1，nN*）的过程中， 从 nk 到 nk+1 时左边需增加的代数式是（ ） A B C+ D 【分析】求出当 nk 时，左边的代数式，当 nk+1 时，左边的代数式，相减可得结果 【解答】解：当 nk 时，左边的代数式为+， 当 nk+1 时，左边的代数式为+， 故用 nk+1 时左边的代数式减去 nk 时左边的代数式的结果为： + 故选：B

17、 【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从 nk 到 n k+1 项的变化 11 （5 分）如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 n（n1， nN*） 个点， 相应的图案中总的点数记为 an， 则 等于（ ） 第 10 页（共 19 页） A B C D 【分析】本题要先根据图象找规律，列出前几项即可发现规律，然后写出一般项 an，在 计算求和式时先对一般项进行化简再进行裂项相消法就会更简单 【解答】解：由题意及图，可知： a23， a33（31）6， a43（41）9， a53（51）12， an3（n1）3（n1） 1+ 1 故选：C 【点

18、评】本题主要考查对图形点的归律个观察、归纳出一般项，以及运用裂项相消法进 行求和本题属中档题 12 （5 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点 F 重 合，抛物线的准线与双曲线交于 A，B 两点，且OAB 的面积为 6（O 为原点） ，则双曲 第 11 页（共 19 页） 线的方程为（ ） A B C D 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得双曲线的 c，由三角形的面积公式可得 A 的坐标，由双曲线的定义可得 a，进而得到 b，可得双曲线的方程 【解答】解：抛物线 y28x 的焦点 F 为（2，0） ， 可得双曲线的焦点分别为）2，0） ， （2，0） ， 抛物线的准线为 x

19、2， 由OAB 的面积为 6，可得2|AB|6， 即|AB|6，可设 A（2，3） ， 可得 A 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为 |3|2， 即 2a2，可得 a1， 由 b， 可得双曲线的方程为 x21 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知函数 f（x）x3+2x2，则曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方 程为 x+y0 【分析】分别求出 f（1）及 f（x）3x2+4x，即可求得 f（1） ，利用点斜式即可 得到所求切线

20、方程，问题得解 【解答】解：由题可得：f（1）1，点（1，f（1） ）化为： （1，1） 又 f（x）3x2+4x， 所以 f（1）1，所以所求切线斜率为1， 所以函数 f（x）x3+2x2，则曲线 yf（x）在点（1，1）处的切线方程为：x+y0， 第 12 页（共 19 页） 故答案为：x+y0 【点评】本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式，考查计算能力，属于基 础题 14 （5 分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说： “你们的成绩都没有 我高 ”乙说： “我的成绩一定比丙高 ”丙说： “你们的成绩都比我高 ”成绩公布后，三 人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对

21、，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第 2 名 【分析】分别讨论三人中一人说的不对，另外 2 人正确，然后进行验证是否满足条件即 可 【解答】解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的， 乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件， 此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙， 若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件 若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条 件 故三人成绩从高到底为乙，甲，丙， 则甲排第 2 位， 故答案为：2 【点评】本题主要考查合情推理的应用，利用三人中恰有一人说得不对，分别进行讨论 是解决

22、本题的关键 15 （5 分）设 F 是双曲线 C：1 的一个焦点若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中 点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为 【分析】设 F（c，0） ，P（m，n） ， （m0） ，设 PF 的中点为 M（0，b） ，即有 mc， n2b，将中点 M 的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到 【解答】解：设 F（c，0） ，P（m，n） ， （m0） ， 设 PF 的中点为 M（0，b） ， 即有 mc，n2b， 将点（c，2b）代入双曲线方程可得， 第 13 页（共 19 页） 1， 可得 e25， 解得 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质

23、，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中 点坐标公式的运用，属于中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）及其导数 f（x） ，若存在 x0，使得 f（x0）f（x0） ，则 x0 称为 f（x）的一个“巧值点” ，则下列函数中有“巧值点”的是 f（x）x2；f（x）e x；f（x）lnx；f（x）tanx；f（x） 【分析】求出函数的导数，使 f（x）f（x） ，如果有解，则存在存在“巧值点” 【解答】解：中的函数 f（x）x2，f（x）2x要使 f（x）f（x） ，则 x22x， 解得 x0 或 2，可见函数有巧值点； 对于中的函数，要使 f（x）f（x） ，则 e xex，由对任意的

24、x，有 ex0，可 知方程无解，原函数没有巧值点； 对于中的函数，要使 f（x）f（x） ，则 lnx， 由函数 f（x）lnx 与 y的图象知，它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点； 对于中的函数，f （x）tanx，f（x），要使 f（x）f（x） ， 则 tanx，即 sinxcosx1，即 sin2x2，无解，原函数没有巧值点，故错误； 对于中的函数，要使 f（x）f（x） ，则，解得 x1，原函数有巧值点； 故有“巧值点”的函数为 故答案为： 第 14 页（共 19 页） 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查导数的应用，突出等价转化思想与数形 结合思想的考查，属于中档题 三

25、、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分） （1）设 ab0，用综合法证明：a3+b3a2b+ab2； （2）用分析法证明： 【分析】 （1）由 ab0，由（ab）20，可得（a+b） （ab）20，展开后，即可得 证； （2）运用分析法证明，注意两边平方和不等式的性质，即可得证 【解答】证明： （1）ab0， 由（ab）20，可得： （a+b） （ab）20， 即为（a2b2） （ab）0， 即有 a3+b3a2bab20， 可得 a3+b3a2b+ab2； （

26、2）要证， 即证（+）2（2+）2， 即为 13+213+4， 即为 24， 即为 4240，显然成立， 上式均可逆， 则原不等式成立 【点评】本题考查不等式的证明，合理运用分析法和综合法，注意解题步骤，考查推理 第 15 页（共 19 页） 能力，属于基础题 18 （12 分）如图 1，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，点 M 在 AD 上，且 AMAD将AED，DCF 分别沿 DE，DF 折叠使 A，C 点重合于 点 P，如图 2 所示 （1）试判断 PB 与平面 MEF 的位置关系，并给出证明； （2）求二面角 MEFD 的余弦值 【分析】 （

27、1）由折叠前后的图形证明 MNPB，由线面平行的判定可得 PB平面 MEF； （2）图 2 中的三角形 PDE 与三角形 PDF 分别是图 1 中的 RtADE 与 RtCDF，说明 PDPE，PDPF，可得 PD平面 PEF，则 PDEF，进一步得到 EF平面 PBD，从 而可得MND 为二面角 MEFD 的平面角求解三角形得答案 【解答】解： （1）PB平面 MEF 证明如下：在图 1 中，连接 BD，交 EF 于 N，交 AC 于 O，则 BN， 在图 2 中，连接 BD 交 EF 于 N，连接 MN， 在DPB 中，有 BN，PM，MNPB PB平面 MEF，MN平面 MEF，故 PB

28、平面 MEF； （2）图 2 中的三角形 PDE 与三角形 PDF 分别是图 1 中的 RtADE 与 RtCDF， PDPE，PDPF， 又 PEPEP，PD平面 PEF，则 PDEF， 又 EFBD，EF平面 PBD， 则MND 为二面角 MEFD 的平面角 可知 PMPN，则在 RtMND 中，PM1，PN，则 MN 在MND 中，MD3，DN，由余弦定理，得 cosMND 第 16 页（共 19 页） 二面角 MEFD 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查二面角 的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是关键，是中档题 19 （12 分）已知

29、函数 f（x）x3x （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）求函数 f（x）在区间1，2上的最大值和最小值 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可 【解答】解： （1）令 f（x）3x210，得 x或 x， 令 f（x）0，解得x， 所以 f（x）的递增区间为（，） ， （，+） ，递减区间为（，） （2）由（1）知 x分别是 f（x）的极大值点和极小值点， 所以 f（x）极大值f（），f（x）极小值f（）， 而 f（1）0，f（2）4， 所以 f（x）最大值f（2）4，f（x）最小值f

30、（） 【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用，是一道基础题 20 （12 分）已知物线 C：y22px（p0）过点 M（4，4） （1）求抛物线 C 的方程； （2）设 F 为抛物线 C 的焦点，直线 l：y2x8 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求FAB 的面积 【分析】 （1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可 （2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解 【解答】解： （1）因为抛物线 C：y22px（p0）过点 M（4，4） ， 第 17 页（共 19 页） 所以（4）28p32，解得 p4， 所以抛物线 C 的方程为 y28x （2）

31、由抛物线的方程可知 F（2，0） ， 直线 l：y2x8 与 x 轴交于点 P（4，0） ， 联立直线与抛物线方程， 消去 x 可得 y24y320， 所以 y1+y24，y1y232， 所以 SFAB|PF|y1y1|12， 所以FAB 的面积为 12 【点评】本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和抛物线位置关系的应用，利用设 而不求思想结合三角形的面积公式是解决本题的关键 21 （12 分）已知椭圆 C 过点，两个焦点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB|6，求AOB 面积的最大值 【分析】 （1）由已知可设椭圆方程为（ab0） ，且

32、 c，再由椭圆定 义求得 a，结合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求； （2）当直线 AB 的斜率不存在时，设直线方程为 xm，由弦长求得 m，可得三角形 AOB 的面积；当直线 AB 的斜率存在时，设直线方程为 ykx+m，联立直线方程与椭圆方程， 结合根与系数的关系及弦长可得 m 与 k 的关系，再由点到直线的距离公式求出原点 O 到 AB 的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求 【解答】解： （1）由题意，设椭圆方程为（ab0） ， 且 c，2a12， 则 a6，b2a2c212 椭圆 C 的标准方程为； （2）当直线 AB 的斜率不存在时，设直线方程为 xm，

33、第 18 页（共 19 页） 得|AB|， 由|AB|6，解得 m3， 此时； 当直线 AB 的斜率存在时，设直线方程为 ykx+m， 联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2360 36k2m24（3k2+1） （3m236）432k212m2+144 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则， 由|AB|6， 整理得：，原点 O 到 AB 的距离 d 当时，AOB 面积有最大值为9 综上，AOB 面积的最大值为 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）的单调性；

34、（2）若函数 g（x）f（x）xlnx 在上有零点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）对 f（x）求导，然后分 a0 和 a0 两种情况讨论单调性即可； （2） 原式等价于方程 x3+axxlnx0 在上有解， 然后构造函数 h （x） x2+lnx， 第 19 页（共 19 页） 求出 h（x）的最大值和最小值即可 【解答】解： （1）f（x）x3+ax，f（x）3x2+a， 当 a0 时，f（x）3x2+a0，f（x）在 R 上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，解得或， 令 f（x）0，解得， 则 f（x）在，上单调递增； 在上单调递减， （2）g（x）f（x）xlnx，g（x）x3+axxlnx， g（x）f（x）xlnx 在上有零点， 等价于关于 x 的方程 g（x）0 在上有解， 即 x3+axxlnx0 在上有解， x3+axxlnx0，ax2+lnx 令 h（x）x2+lnx，则， 令 h（x）0，解得； 令 h（x）0，解得， 则上单调递减，在上单调递增， ，h（2）22+ln24+ln2， ， 则 h（x）minh（2）4+ln2， 故 a 的取值范围为 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和构造法， 属中档题