2020年辽宁省沈阳市第一零九中学中考数学模拟试卷含解析版

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1、绝密启用前绝密启用前 2020 年辽宁省沈阳市第一零九中学中考数学模拟试卷年辽宁省沈阳市第一零九中学中考数学模拟试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 2 分）分） 12018 的相反数是（ ） A8102 B2018 C D2018 2如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 3下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4

2、地球的表面积约为 510000000km2，将 510000000 用科学记数法表示为（ ） A0.51109 B5.1108 C5.1109 D51107 5下列化简，正确的是（ ） Aa+aa2 B4a3a1 C（3a）26a2 D（a3）2a6 6已知一组数据 2，3，4，x，1，4，3 有唯一的众数 4，则这组数据的中位数是（ ） A2 B3 C4 D5 7已知反比例函数的图象过点 P（1，3），则该反比例函数图象位于（ ） A第一、二象 B第一、三象限 C第二、四象限 D第三、四象限 8如图，直线 mn，圆心在直线 n 上的A 是由B 平移得到的，则图中两个阴影三角形 的面积大小关系

3、是（ ） AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定 9估计的值在（ ） A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间 10 如图， O 的半径为 1cm， 正六边形 ABCDEF 内接于O， 则图中阴影部分面积为 （ ） A cm2 B cm2 C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11因式分解：16x4y4 12不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1、2、3、4，随机抽取一 张卡片，则抽取的卡片上数字是偶数的概率是 13已知关于 x 的分式方程，若采用乘以最简公分母的方法

4、解此方程，会产生 增根，则 m 的值是 14网格中的每个小正方形的边长都是 1，ABC 每个顶点都在网格的交点处，则 sinA 15 已知某工厂计划经过两年的时间， 把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台， 那么每年平均增长的百分数是 %按此年平均增长率，预计第 4 年该工厂的年产 量应为 万台 16如图，正方形 ABCD 中，AB9，点 E 在边 CD 上，且 CD3DE将ADE 沿 AE 对 折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG、CF则FGC 的面积是 三解答题（共三解答题（共 3 小题，满分小题，满分 22 分）分） 17（6 分）计算： 18（8 分）如

5、图，在ABCD 中，E，F 为对角线 BD 上的两点，且DAEBCF 求证：（1）AECF； （2）四边形 AECF 是平行四边形 19（8 分）图书馆是一个很好的学习平台，某市有关部门统计了最近 6 个月到图书馆的读 者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图 （1）在统计的这段时间内，共有 万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比 为 % （2）将条形统计图补充完整 （3）5 月份到图书馆的读者共有 24000 人次，根据以上调查结果，估计 24000 人次中是 职工的人次 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 8 分）分） 20 （8 分） 为了

6、弘扬我国古代数学发展的伟大成就， 某校九年级进行了一次数学知识竞赛， 并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽 奖”和“杨辉奖”，根据获奖情况绘制成如图 1 和图 2 所示的条形统计图和扇形统计图， 并得到了获“祖冲之奖”的学生成绩统计表： “祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 4 2 10 4 根据图表中的信息，解答下列问题： （1）这次获得“刘徽奖”的人数是 ，并将条形统计图补充完整； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 分，众数是 分； （3） 在这次数学知识竟赛中有这样一道题： 一个不透明的盒子里有完全相

7、同的三个小球， 球上分别标有数字“2”，“1”和“2”，随机摸出一个小球，把小球上的数字记为 x 放回后再随机摸出一个小球，把小球上的数字记为 y，把 x 作为横坐标，把 y 作为纵坐 标，记作点（x，y）用列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率 21（8 分）某次知识竞赛共有 25 道选择题，要求选出正确答案，竞赛规则为：选对一道 得 10 分，选错或不选扣 5 分，如果小明在本次竞赛中的得分不低于 180 分，那么他至少 要选对多少道题？ 五解答题（共五解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分）如图，AB 是O 的直径，PA 切O

8、于 A，OP 交O 于 C，连 BC若P 30，求B 的度数 六解答题（共六解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 23（10 分）如图，已知长方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，A、C 分别在 x、y 轴的正半 轴上，顶点 B（8，6），直线 yx+b 经过点 A 交 BC 于 D、交 y 轴于点 M，点 P 是 AD 的中点，直线 OP 交 AB 于点 E （1）求点 D 的坐标及直线 OP 的解析式； （2） 求ODP 的面积， 并在直线 AD 上找一点 N， 使AEN 的面积等于ODP 的面积， 请求出点 N 的坐标 （3）在 x 轴上有一

9、点 T（t，0）（5t8），过点 T 作 x 轴的垂线，分别交直线 OE、 AD 于点 F、 G， 在线段 AE 上是否存在一点 Q， 使得FGQ 为等腰直角三角形， 若存在， 请求出点 Q 的坐标及相应的 t 的值；若不存在，请说明理由 七解答题（共七解答题（共 1 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 12 分）分） 24（12 分）如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 （1）观察猜想： 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）

10、探究证明： 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置， 连接 MN， BD， CE， 判断PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸： 把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面 积的最大值 八解答题（共八解答题（共 1 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 12 分）分） 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA1，tan BAO3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90，得到DOC，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A、B、C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第二象限内

11、抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交 于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求以 C、E、F 为顶点三角形与COD 相似时点 P 的 坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 2 分）分） 12018 的相反数是（ ） A8102 B2018 C D2018 【分析】根据相反数的定义可得答案 【解答】解：2018 的相反数2018， 故选：B 【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数 2如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左

12、视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形 故选：B 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 3下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，

13、不是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 4地球的表面积约为 510000000km2，将 510000000 用科学记数法表示为（ ） A0.51109 B5.1108 C5.1109 D51107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n

14、 是负数 【解答】解：5100000005.1108， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 5下列化简，正确的是（ ） Aa+aa2 B4a3a1 C（3a）26a2 D（a3）2a6 【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则计算得出答案 【解答】解：A、a+a2a，故此选项错误； B、4a3aa，故此选项错误； C、（3a）29a2，故此选项错误； D、（a3）2a6，正确 故选：D 【点评】此题主要考查了积的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握相关运算法

15、则是 解题关键 6已知一组数据 2，3，4，x，1，4，3 有唯一的众数 4，则这组数据的中位数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据题意由有唯一的众数 4，可知 x4，然后根据中位数的定义求解即可 【解答】解：这组数据有唯一的众数 4， x4， 将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4， 则中位数为：3 故选：B 【点评】本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键 7已知反比例函数的图象过点 P（1，3），则该反比例函数图象位于（ ） A第一、二象 B第一、三象限 C第二、四象限 D第三、四象限 【分析】先根据反比例函数的图象过点 P（1，3）求出 k 的值

16、，进而可得出结论 【解答】解：反比例函数的图象过点 P（1，3）， k1330， 此函数的图象在一、三象限 故选：B 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数中 kxy 的特 点求出 k 的值是解答此题的关键 8如图，直线 mn，圆心在直线 n 上的A 是由B 平移得到的，则图中两个阴影三角形 的面积大小关系是（ ） AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定 【分析】根据平移的性质得到两圆的半径相等，然后根据两阴影三角形的等底等高得到 面积相等 【解答】解：圆心在直线 n 上的A 是由B 平移得到的， 两圆的半径相等， 图中两个阴影三角形等底等高， 两圆的面积相等

17、， 故选：B 【点评】考查了平移的性质，解题的关键是得到两圆的半径相等，难度教小 9估计的值在（ ） A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间 【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可 【解答】解：， 67， 的值在 6 和 7 之间； 故选：C 【点评】此题考查了估算无理数，利用夹逼法进行无理数的估算是解题的关键 10 如图， O 的半径为 1cm， 正六边形 ABCDEF 内接于O， 则图中阴影部分面积为 （ ） A cm2 B cm2 C D 【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分 面积转化为扇形

18、面积求解即可 【解答】解：如图所示：连接 BO，CO， 正六边形 ABCDEF 内接于O， ABBCCO1cm，ABC120，OBC 是等边三角形， COAB， 在COW 和ABW 中 ， COWABW（AAS）， 图中阴影部分面积为：S 扇形OBC （cm2） 故选：A 【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积S 扇形OBC 是解题关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11因式分解：16x4y4 （4x2+y2）（2x+y）（2xy） 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：16x4y4

19、 （4x2+y2）（4x2y2） （4x2+y2）（2x+y）（2xy） 故答案为：（4x2+y2）（2x+y）（2xy） 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键 12不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1、2、3、4，随机抽取一 张卡片，则抽取的卡片上数字是偶数的概率是 【分析】用卡片上数字是偶数的张数除以总张数即可 【解答】解：有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1、2、3、4，其中卡片上 数字是偶数的有 2 张， 抽取的卡片上数字是偶数的概率是； 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比， 是

20、一道基础题 13已知关于 x 的分式方程，若采用乘以最简公分母的方法解此方程，会产生 增根，则 m 的值是 4 【分析】把分式方程化为整式方程，根据最简公分母求出分式方程的增根，代入计算即 可 【解答】解：方程两边同乘（x2），得 x+2m， 最简公分母是 x2， 原方程的增根是 x2， 则 2+2m， 解得，m4， 故答案为：4 【点评】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程 的根，即代入分式方程后分母的值为 0 或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数 的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根 14网格中的每个小正方形的边长都是 1，ABC 每个顶点都在网格的

21、交点处，则 sinA 【分析】根据各边长得知ABC 为等腰三角形，作出 BC、AB 边的高 AD 及 CE，根据面 积相等求出 CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案 【解答】解：如图，作 ADBC 于 D，CEAB 于 E， 由勾股定理得 ABAC2，BC2，AD3， 可以得知ABC 是等腰三角形， 由面积相等可得， BCADABCE， 即 CE， sinA， 故答案为： 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比 斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 15 已知某工厂计划经过两年的时间， 把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台， 那么每年

22、平均增长的百分数是 10 %按此年平均增长率，预计第 4 年该工厂的年产 量应为 146.41 万台 【分析】根据提高后的产量提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为 x，则第 一年的常量是 100（1+x），第二年的产量是 100（1+x）2，即可列方程求得增长率，然 后再求第 4 年该工厂的年产量 【解答】解：设年平均增长率为 x，依题意列得 100（1+x）2121 解方程得 x10.110%，x22.1（舍去） 所以第 4 年该工厂的年产量应为 121（1+10%）2146.41 万台 故答案为：10，146.41 【点评】本题运用增长率（下降率）的模型解题读懂题意，找到等量关系准

23、确的列出 方程是解题的关键 16如图，正方形 ABCD 中，AB9，点 E 在边 CD 上，且 CD3DE将ADE 沿 AE 对 折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG、CF则FGC 的面积是 【分析】利用翻折变换对应边关系得出 ABAF，BAFG90，利用 HL 定理得 出ABGAFG，即可得到 BGGF，利用勾股定理得出 GE2CG2+CE2，进而求出 GF；过 C 作 CMGF 于 M，由勾股定理以及由面积法可得 CM 的长，进而得出FGC 的面积 【解答】解：如图，过 C 作 CMGF 于 M， 在正方形 ABCD 中，ADABBCCD，DBBCD90， 将ADE 沿

24、 AE 对折至AFE， ADAF，DEEF，DAFE90， ABAF，BAFG90， 又AGAG， ABGAFG（HL）， BGFG， CD3DEAB9， DE3，CE6， 设 BGx，则 CG9x，GEx+3， GE2CG2+CE2， （x+3）2（9x）2+62， 解得 x， BGFG， CG， GE， CMGEGCEC， CM， SFCGGFCM 故答案为： 【点评】此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性 质得出对应线段相等是解题关键解题时，我们常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠 和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，

25、运用勾 股定理列出方程求出答案 三解答题（共三解答题（共 3 小题，满分小题，满分 22 分）分） 17（6 分）计算： 【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数 指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式4（23）2+1 2+32 2+1 2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18（8 分）如图，在ABCD 中，E，F 为对角线 BD 上的两点，且DAEBCF 求证：（1）AECF； （2）四边形 AECF 是平行四边形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ABCD，ABCD，然后可证明ABE CDF，再利用 ASA 来判定A

26、BEDCF，从而得出 AECF （2）首先根据全等三角形的性质可得AEBCFD，根据等角的补角相等可得AEF CFE，然后证明 AECF，从而可得四边形 AECF 是平行四边形 【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD，DABBCD DAEBCF， ABECDF，BAEDCF 在ABE 和CDF 中， ， ABEDCF（ASA） AECF （2）ABEDCF， AEBCFD， AEFCFE， AECF， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且 相等，一组对边平行且相等的四边形是平行

27、四边形 19（8 分）图书馆是一个很好的学习平台，某市有关部门统计了最近 6 个月到图书馆的读 者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图 （1）在统计的这段时间内，共有 16 万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为 12.5 % （2）将条形统计图补充完整 （3）5 月份到图书馆的读者共有 24000 人次，根据以上调查结果，估计 24000 人次中是 职工的人次 【分析】（1）利用到图书馆阅读的人数学生的人数学生的百分比求解，商人占百分 比商人数总人数求解即可， （2）求出职工到图书馆阅读的人数，作图即可， （3）利用总人数乘读者是职工的人数所占的百分比求解即可 【解答】解： （1）在

28、统计的这段时间内，到图书馆阅读的人数为 425%16（万人）， 其中商人占百分比为100%12.5%； 故答案为：16；12.5； （2）职工：164246（万人），如图所示： （3）估计 24000 人次中是职工的人次为 240009000（人次） 【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计 图中得到准确的信息 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 8 分）分） 20 （8 分） 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就， 某校九年级进行了一次数学知识竞赛， 并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽

29、奖”、“赵爽 奖”和“杨辉奖”，根据获奖情况绘制成如图 1 和图 2 所示的条形统计图和扇形统计图， 并得到了获“祖冲之奖”的学生成绩统计表： “祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 4 2 10 4 根据图表中的信息，解答下列问题： （1）这次获得“刘徽奖”的人数是 40 ，并将条形统计图补充完整； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 90 分，众数是 90 分； （3） 在这次数学知识竟赛中有这样一道题： 一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球， 球上分别标有数字“2”，“1”和“2”，随机摸出一个小球，把小球上的数字记为 x 放回后再随机摸出一

30、个小球，把小球上的数字记为 y，把 x 作为横坐标，把 y 作为纵坐 标，记作点（x，y）用列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率 【分析】 （1） 先根据祖冲之奖的人数及其百分比求得总人数， 再根据扇形图求出赵爽奖、 杨辉奖的人数，继而根据各奖项的人数之和等于总人数求得刘徽奖的人数，据此可得； （2）根据中位数和众数的定义求解可得； （3）列表得出所有等可能结果，再找到这个点在第二象限的结果，根据概率公式求解可 得 【解答】解：（1）获奖的学生人数为 2010%200 人， 赵爽奖的人数为 20024%48 人，杨辉奖的人数为 20046%92 人， 则刘徽奖的人数为 200（20+48+

31、92）40， 补全统计图如下： 故答案为：40； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 90 分，众数是 90 分， 故答案为：90、90； （3）列表法： 2 1 2 2 （2，2） （1，2） （2，2） 1 （2，1） （1，1） （2，1） 2 （2，2） （1，2） （2，2） 第二象限的点有（2，2）和（1，2） P（点在第二象限） 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图 获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也 考查列表法或画树状图法求概率 21（8 分）某次知识竞赛共有 25 道选择题，要求选出正确答

32、案，竞赛规则为：选对一道 得 10 分，选错或不选扣 5 分，如果小明在本次竞赛中的得分不低于 180 分，那么他至少 要选对多少道题？ 【分析】先设他要选对 x 道题，再根据选对一道得 10 分，选错或不选扣 5 分，在本次竞 赛中的得分不低于 180 分，列出不等式，再进行求解即可 【解答】解：设他要选对 x 道题，根据题意得： 10x5（25x）180 得 x20， x 是整数， 他至少要选对 21 道题 答：他至少要选对 21 道题 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找出关键描述语， 列出不等式进行求解 五解答题（共五解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10

33、 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分）如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于 A，OP 交O 于 C，连 BC若P 30，求B 的度数 【分析】应用圆切线的性质可得PAO90，再利用同弧所对的圆周角是圆心角的一 半直接求出B 的度数 【解答】解：PA 切O 于 A，AB 是O 的直径， PAO90， P30， AOP60， BAOP30 【点评】这是一道应用圆切线的性质以及三角形外角的性质来建立的问题，这样的求稳 定的同时，又有一些情景新颖考法常常能更好地考查学生的基础意识，以及简单的运用 方程思想解决问题的能力试题的特色和亮点：能直接利用性质进行必要的计算，属于 中考容易

34、得分的题目 六解答题（共六解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 23（10 分）如图，已知长方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，A、C 分别在 x、y 轴的正半 轴上，顶点 B（8，6），直线 yx+b 经过点 A 交 BC 于 D、交 y 轴于点 M，点 P 是 AD 的中点，直线 OP 交 AB 于点 E （1）求点 D 的坐标及直线 OP 的解析式； （2） 求ODP 的面积， 并在直线 AD 上找一点 N， 使AEN 的面积等于ODP 的面积， 请求出点 N 的坐标 （3）在 x 轴上有一点 T（t，0）（5t8），过点 T 作 x 轴的

35、垂线，分别交直线 OE、 AD 于点 F、 G， 在线段 AE 上是否存在一点 Q， 使得FGQ 为等腰直角三角形， 若存在， 请求出点 Q 的坐标及相应的 t 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据长方形的性质可得出点 A 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AD 的 解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 D 的坐标，再由点 P 是 AD 的中点 可得出点 P 的坐标，进而可得出正比例函数 OP 的解析式； （2）利用三角形面积的公式可求出 SODP的值，由直线 OP 的解析式，利用一次函数图 象上点的坐标特征可得出点 E 的坐标，设点 N 的坐标为（m，m+8），由AEN

36、的面 积等于ODP 的面积，可得出关于 m 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出 m 的值，再将其代入点 N 的坐标中即可得出结论； （3）由点 T 的坐标可得出点 F，G 的坐标，分FGQ90、GFQ90及FQG 90三种情况考虑：当FGQ90时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关 于 t 的一元一次方程，解之可得出 t 值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点 Q 的坐 标；当GFQ90时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于 t 的一元一次 方程，解之可得出 t 值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点 Q 的坐标；当FQG 90时，过点 Q 作 QSFG 于点 S，根据等腰直

37、角三角形斜边等于斜边上高的二倍可 得出关于 t 的一元一次方程，解之可得出 t 值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点 Q 的坐标综上，此题得解 【解答】解：（1）四边形 OABC 为长方形，点 B 的坐标为（8，6）， 点 A 的坐标为（8，0），BCx 轴 直线 yx+b 经过点 A， 08+b， b8， 直线 AD 的解析式为 yx+8 当 y6 时，有x+86， 解得：x2， 点 D 的坐标为（2，6） 点 P 是 AD 的中点， 点 P 的坐标为（，），即（5，3）， 直线 OP 的解析式为 yx （2）SODPSODASOPA， 8683， 12 当 x8 时，yx， 点 E 的坐

38、标为（8，） 设点 N 的坐标为（m，m+8） SAENSODP， |8m|12， 解得：m3 或 m13， 点 N 的坐标为（3，5）或（13，5） （3）点 T 的坐标为（t，0）（5t8）， 点 F 的坐标为（t， t），点 G 的坐标为（t，t+8） 分三种情况考虑： 当FGQ90时，如图 1 所示 FGQ 为等腰直角三角形， FGGQ，即t（t+8）8t， 解得：t， 此时点 Q 的坐标为（8，）； 当GFQ90时，如图 2 所示 FGQ 为等腰直角三角形， FGFQ，即t（t+8）8t， 解得：t， 此时点 Q 的坐标为（8，）； 当FQG90时，过点 Q 作 QSFG 于点 S，

39、如图 3 所示 FGQ 为等腰直角三角形， FG2QS，即t（t+8）2（8t）， 解得：t， 此时点 F 的坐标为（，4），点 G 的坐标为（，） 此时点 Q 的坐标为（8，），即（8，） 综上所述：在线段 AE 上存在一点 Q，使得FGQ 为等腰直角三角形，当 t时点 Q 的坐标为（8，）或（8，），当 t时点 Q 的坐标为（8，） 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、中 点坐标公式、三角形的面积以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标， 利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式结合两三角形面积相 等，找出关于 m 的含

40、绝对值符号的一元一次方程； （3）分FGQ90、GFQ90 及FQG90三种情况求出 t 值 七解答题（共七解答题（共 1 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 12 分）分） 24（12 分）如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 （1）观察猜想： 图 1 中， 线段 PM 与 PN 的数量关系是 PMPN ， 位置关系是 PMPN ； （2）探究证明： 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置， 连接 MN， BD， CE， 判断PMN 的形状，并说明

41、理由； （3）拓展延伸： 把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面 积的最大值 【分析】 （1）利用三角形的中位线得出 PMCE，PNBD，进而判断出 BDCE， 即可得出结论，再利用三角形的中位线得出 PMCE 得出DPMDCA，最后用互余 即可得出结论； （2）先判断出ABDACE，得出 BDCE，同（1）的方法得出 PMBD，PN BD，即可得出 PMPN，同（1）的方法即可得出结论； （3）方法 1：先判断出 MN 最大时，PMN 的面积最大，进而求出 AN，AM，即可得出 MN 最大AM+AN， 最后用面积公式即可得出结论 方法 2： 先判断出

42、 BD 最大时， PMN 的面积最大，而 BD 最大是 AB+AD14，即可得出结论 【解答】解：（1）点 P，N 是 BC，CD 的中点， PNBD，PNBD， 点 P，M 是 CD，DE 的中点， PMCE，PMCE， ABAC，ADAE， BDCE， PMPN， PNBD， DPNADC， PMCE， DPMDCA， BAC90， ADC+ACD90， MPNDPM+DPNDCA+ADC90， PMPN， 故答案为：PMPN，PMPN； （2）PMN 是等腰直角三角形 由旋转知，BADCAE， ABAC，ADAE， ABDACE（SAS）， ABDACE，BDCE， 利用三角形的中位线得

43、，PNBD，PMCE， PMPN， PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PMCE， DPMDCE， 同（1）的方法得，PNBD， PNCDBC， DPNDCB+PNCDCB+DBC， MPNDPM+DPNDCE+DCB+DBC BCE+DBCACB+ACE+DBC ACB+ABD+DBCACB+ABC， BAC90， ACB+ABC90， MPN90， PMN 是等腰直角三角形； （3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得，PMN 是等腰直角三角形， MN 最大时，PMN 的面积最大， DEBC 且 DE 在顶点 A 上面， MN 最大AM+AN， 连接 AM，AN， 在ADE 中，AD

44、AE4，DAE90， AM2， 在 RtABC 中，ABAC10，AN5， MN 最大2 +57， SPMN 最大 PM2MN2（7）2 方法 2：由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，PMPNBD， PM 最大时，PMN 面积最大， 点 D 在 BA 的延长线上， BDAB+AD14， PM7， SPMN 最大 PM272 【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形 的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关 键是判断出 PMCE，PNBD，解（2）的关键是判断出ABDACE，解（3） 的关键是判断出 MN 最大时，PMN

45、 的面积最大 八解答题（共八解答题（共 1 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 12 分）分） 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA1，tan BAO3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90，得到DOC，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A、B、C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交 于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求以 C、E、F 为顶点三角形与COD 相似时点 P 的 坐标 【分析】（1）根据正切函数，可得 OB，根据旋转的性质，可得DOCAOB，根据 待定系数法，可得函数解析式； （2）根据相似三角形的判定，可得答案，根据相似三角形的性质，可得 PM 与 ME 的关系，根据解方程，可得 t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案 【解答】解：（1）在 RtAOB 中，OA1，tanBAO3， OB3OA3 DOC 是由AOB 绕点 O 逆时针旋转 90而得到的， DOCAOB， OCOB3，ODOA1 A，B，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（3，0），代入解析式为 ， 解得， 抛物线的解析式为 yx22x+3； （2）抛物线的解析式为 yx22