2019-2020学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷（含详细解答）
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1、2019-2020 学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题 1 （3 分）已知过抛物线 y2ax（a0）的焦点且垂直于 x 轴的弦长度为 2，则实数 a 的值 为（ ） A4 B2 C1 D0 2 （3 分）下列选项中，可以作为曲线 yax22x1 与 x 轴有两个交点的充分不必要条件 是（ ） A （1，+） B （1，0）（0，+） C （1，0） D （2，+） 3 （3 分）气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大 雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（ ） A B C D 4 （3 分）一个班级共有 30 名学生，其中有
2、10 名女生，现从中任选三人代表班级参加学校 开展的某项活动，假设选出的 3 名代表中的女生人数为变量 X，男生的人数为变量 Y，则 P（X2）+P（Y2）等于（ ） A B C D 5 （3 分）某设备的使用年限 x（单位：年）与所支出的维修费用 y（单位：万元）如表所 示 已知 y 与 x 具有线性相关关系， 且线性回归方程为， 则实数 a 的值为 （ ） x 2 3 4 5 6 y 2 4 6 6 7 A6 B4 C2 D1 第 2 页（共 26 页） 6 （3 分）在直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：的右支上有一点 P，该点的横坐标 为 5，F1F2是 C 的左、右焦点，则PF1F2
3、的周长为（ ） A B18 C D 7 （3 分）由 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为（ ） A288 B360 C480 D600 8 （3 分）已知 a，b 是平面 外的两条不同直线，它们在平面 内的射影分别是直线 a， b（a与 b不重合） ，则下列命题正确的个数是（ ） （1）若 ab，则 ab； （2）若 ab，则 ab； （3）若 ab，则 ab； （4）若 ab，则 ab A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二、多项选择题二、多项选择题 9 （3 分）如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车，
4、 若从如城镇中任意选出 5 个家庭，则下列结论成立的是（ ） A这 5 个家庭均有小汽车的概率为 B这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 D这 5 个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 10 （3 分） 若随机变量 N （0， 1） ， （x） P （x） ， 其中 x0， 下列等式成立有 （ ） A（x）1（x） B（2x）2（x） CP（|x）2（x）1 DP（|x）2（x） 11 （3 分）在正三棱锥 ABCD 中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则下列命题正确的是（ ）
5、 AEF 与 AD 所成角的正切值为 BEF 与 AD 所成角的正切值为 第 3 页（共 26 页） CAB 与面 ACD 所成角的余弦值为 DAB 与面 ACD 所成角的余弦值为 12 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点， R，S，T 是线段 OF 的四等分点，R，S，T是线段 CF 的四等分点，分别以 HF，EG 为 x， y 轴建立直角坐标系，设 ER 与 GR、ER 与 GT分别交于 L1，L2，ES 与 GS、ES 与 GT 交于 M1，M2，ET 与 GT交于点 N，则下列关于点 L1，L2，M1，M2，N 与两个椭圆：1：
6、，2：的位置关系叙述正确的是（ ） A三点 L1，M1，N 在1，点 M2在2上 BL1，M1不在1上，L2，N 在1上 C点 M2在2上，点 L1，L2，M1均不在2上 DL1，M1在1上，L2，M2均不在2上 三、填空题三、填空题 13 （3 分）采用随机数表法从编号为 01，02，03，30 的 30 个个体中选取 7 个个体， 指定从下面随机数表的第一行第 5 列开始， 由左向右选取两个数字作为应取个体的号码， 则选取的第 6 个个体号码是 03 47 43 86 3616 47 80 45 6911 14 16 95 3661 46 98 63 7162 33 26 36 77 97
7、 74 24 67 6242 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5224 52 79 89 73 14 （3 分）一个球的直径为 2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为 15 （3 分）已知双曲线（a0，b0） ，其右焦点为 F，过点 F 作双曲线渐近线 的垂线，垂足为 Q，线段 FQ 的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为 第 4 页（共 26 页） 16 （3 分）已知（1x）10（1+x+x2+x9）a0+a1x+a2x2+a19x19，则 a18 ； a6 四、解答题四、解答题 17为了了解居民消费情况，某地区调查了 10000 户小家庭的日常
8、生活平均月消费金额，根 据所得数据绘制了样本频率分布直方图，如图所示，每户小家庭的平均月消费金额均不 超过 9 千元，其中第六组、第七组、第八组尚未绘制完成，但是已知这三组的频率依次 成等差数列，且第六组户数比第七组多500户， （1）求第六组、第七组、第八组的户数，并补画图中所缺三组的直方图； （2）若定义月消费在 3 千元以下的小家庭为 4 类家庭，定义月消费在 3 千元至 6 千无的 小家庭为 B 类家庭，定义月消费 6 千元以上的小家庭为 C 类家庭，现从这 10000 户家庭 中按分层抽样的方法抽取 80 户家庭召开座谈会，间 A，B，C 各层抽取的户数分别是多 少？ 18在直三棱柱
9、 ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，CC12，M，N 分别是 AB1、 BC1上的点，且 B1M：MABN：NC11：2 （1）求证：MN平面 ACC1A1； （2）求平面 MNB1与平面 A1B1C1所成锐二面角的余弦值 第 5 页（共 26 页） 19已知椭圆 E：（ab0）过点 A（2，1） ，且它的右焦点为 （1）求椭圆 E 的方程； （2） 过 A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆 E 于点 B、 C （不同于点 A） ， 且， 求直线 AB 的方程 20农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一 次性额外订购买若干次维修服务，费用为每次
10、100 元，每次维修时公司维修人员均上门 服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费 50 元/次；若实际维修次数少于购买 的维修次数，则未提供服务的订购费用退还 50%；如果维修次数超过了购买的次数，农 机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为 400 元，无须 支付餐饮费；位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务为此， 他拟范收集、整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如表： 维修次数 5 6 7 8 9 频率 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 （1）如果农机手在购买收割机时购买了 6 次维修，在使用期内实际维修的次数为 5 次，
11、这位农机手的花费总费用是多少？如果实际维修的次数是 8 次，农机手的花费总费用又 是多少？ （2）农机手购买了一台收制机，试在购买维修次数为 6 次和 7 次的两个数据中，根据使 用期内维修时花费的总费用期望值，帮助农机手进行决策 21如图，ABC 是边长为 3 的正三角形，D，E 分别在边 AB，AC 上，且 BDAE1，沿 DE 将ADE 翻折至ADE 位置，使二面角 ADEC 为 60 第 6 页（共 26 页） （1）求证：AC平面ADE； （2）求四棱锥 ABDEC 的体积 22抛物线 M：y28x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l（与 x 轴不垂直）交抛物线 M 于点 A， B
12、，A 关于 x 轴的对称点为 A1 （1）求证：直线 A1B 过定点，并求出这个定点； （2）若 A1B 的垂直平分线交抛物线于 C，D，四边形 A1CBD 外接圆圆心 N 的横坐标为 19，求直线 AB 和圆 N 的方程 第 7 页（共 26 页） 2019-2020 学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题一、单项选择题 1 （3 分）已知过抛物线 y2ax（a0）的焦点且垂直于 x 轴的弦长度为 2，则实数 a 的值 为（ ） A4 B2 C1 D0 【分析】由题意求出焦点坐标，然后代入
13、抛物线求出交点的纵坐标，进而求出弦长，由 题意可得 a 的值 【解答】解：由题意可得焦点 F（，0） ，将 x代入抛物线方程可得：y2，解 得 y，所以 a2， 故选：B 【点评】考查抛物线的定义，属于基础题 2 （3 分）下列选项中，可以作为曲线 yax22x1 与 x 轴有两个交点的充分不必要条件 是（ ） A （1，+） B （1，0）（0，+） C （1，0） D （2，+） 【分析】根据二次函数的性质和充分不必要条件的定义即可求出 【解答】解：曲线 yax22x1 与 x 轴有两个交点，则4+4a0，且 a0，解得 a 1，且 a0 故可以作为曲线 yax22x1 与 x 轴有两个交
14、点的充分不必要条件是 a（1，0） ， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中求出二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象 与 x 轴没有交点时，对系数的限制，是解答本题的关键 3 （3 分）气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大 雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（ ） A B C D 【分析】利用条件概率的计算公式即可得出 第 8 页（共 26 页） 【解答】解：设事件 A 表示刮台风，事件 B 表示下雨 根据条件概率计算公式可得在吹台风的条件下下雨的概率 P（B|A）， P（AB）， 故选：B 【点评】本题考查概率的计算，考查条
15、件概率，考查学生的计算能力，属于基础题 4 （3 分）一个班级共有 30 名学生，其中有 10 名女生，现从中任选三人代表班级参加学校 开展的某项活动，假设选出的 3 名代表中的女生人数为变量 X，男生的人数为变量 Y，则 P（X2）+P（Y2）等于（ ） A B C D 【分析】求得一个班级中有 10 名女生，20 名男生，分别求得从 30 人中任选三人的选法， 以及 3 名代表中 2 个男生 1 个女生， 3 名代表中 2 个女生 1 个男生的选法， 运用古典概率 的公式可得所求 【解答】解：一个班级共有 30 名学生，其中有 10 名女生，20 名男生， 从 30 人中任选三人共有 C种
16、选法， 其中 3 名代表中 2 个男生 1 个女生的选法为 CC， 3 名代表中 2 个女生 1 个男生的选 法为 CC， 则 P（X2）+P（Y2） 故选：C 【点评】本题考查古典概率的求法，注意运用分类讨论思想和计数原理，考查运算能力， 属于基础题 第 9 页（共 26 页） 5 （3 分）某设备的使用年限 x（单位：年）与所支出的维修费用 y（单位：万元）如表所 示 已知 y 与 x 具有线性相关关系， 且线性回归方程为， 则实数 a 的值为 （ ） x 2 3 4 5 6 y 2 4 6 6 7 A6 B4 C2 D1 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得 a
17、 值 【解答】解：， 样本点的中心坐标为（4，5） ， 代入，得 54a+1，即 a1 故选：D 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 6 （3 分）在直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：的右支上有一点 P，该点的横坐标 为 5，F1F2是 C 的左、右焦点，则PF1F2的周长为（ ） A B18 C D 【分析】求得双曲线的 a，b，c，可得焦点的坐标，令 x5 可得 P 的坐标，由两点的距 离公式计算可得所求周长 【解答】解：双曲线 C：的 a4，b3，c5，F1（5，0） ，F2（5，0） ， 令 x5，可得 y3，即 P（5，） ， 可得|P
18、F1|，|PF2|， 则PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|+10 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查两点的距离公式，以及方程思想和运算能 力，属于基础题 7 （3 分）由 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为（ ） 第 10 页（共 26 页） A288 B360 C480 D600 【分析】根据题意，首先分析末尾数字，易得末位数字可以为 1、3、5，可得其取法数目， 其首位数字不能为 0，可得其取法数目，再选 3 个数字，排在中间，有 A44种排法，由分 步计数原理，计算可得答案 【解答】解：根据题意，末位数字可以为
19、1、3、5，有 A31种取法，首位数字不能为 0， 有 A41种取法，再选 3 个数字，排在中间，有 A43种排法， 则五位奇数共有 A31A41A43288， 故选：A 【点评】本题考查排列、组合的应用，解题时注意题干条件对数的限制，其次还要注意 首位数字不能为 0，属于中档题 8 （3 分）已知 a，b 是平面 外的两条不同直线，它们在平面 内的射影分别是直线 a， b（a与 b不重合） ，则下列命题正确的个数是（ ） （1）若 ab，则 ab； （2）若 ab，则 ab； （3）若 ab，则 ab； （4）若 ab，则 ab A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】根据特殊情况，
20、利用正方体为模型即可判断 【解答】解：对于（1） ：若 ab，则 ab或 a与 b重合，又因为 a与 b不重合，故（1） 正确； 对于（2） ：若 ab，当 a，b 为正方体相对的两个面的相互垂直的对角线时，它们在底面 上的射影互相平行，故（2）错误； 对于（3） （4） ：若 ab，当 a，b 是正方体相邻侧面上不相交的对角线时，它们在底面 上的射影互相垂直，但 a 与 b 不平行也不垂直，故（3） ， （4）都错误； 所以正确的个数为：1 个， 故选：B 【点评】本题主要考查了空间的线线的位置关系，是中档题 二、多项选择题二、多项选择题 9 （3 分）如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均
21、每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车， 若从如城镇中任意选出 5 个家庭，则下列结论成立的是（ ） 第 11 页（共 26 页） A这 5 个家庭均有小汽车的概率为 B这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 D这 5 个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 愉好发生 k 次的概率计算公式直接求解 【解答】 解： 城镇小汽车的普及率为 75%， 即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车， 从如城镇中任意选出 5 个家庭， 在 A 中，这 5 个家庭均有小汽车
22、的概率为 p，故 A 正确； 在 B 中， 这 5 个家庭中， 恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 P， 故 B 错误； 在 C 中，这 5 个家庭平均有：575%3.75 个家庭拥有小汽车，故 C 正确； 在 D 中，这 5 个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为： P，故 D 正确 故选：ACD 【点评】本题考查命题真假的判断，考查 n 次独立重复试验中事件 A 愉好发生 k 次的概 率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 10 （3 分） 若随机变量 N （0， 1） ， （x） P （x） ， 其中 x0， 下列等式成立有 （ ） A（x）1（x） B（2x）2（
23、x） CP（|x）2（x）1 DP（|x）2（x） 【分析】根据随机变量 服从标准正态分布 N（0，1） ，得到正态曲线关于 0 对称， 再结合正态分布的密度曲线定义 （x）P（x，x0） ，由此逐一分析四个选项得 答案 【解答】解：随机变量 服从标准正态分布 N（0，1） ， 正态曲线关于 0 对称， （x）P（x，x0） ，根据曲线的对称性可得，（x）1（x） ，故 A 正确； （2x）P（2x） ，2（x）2P（x） ，（2x）2（x） ，故 B 错误； P（|x）2（x）1，故 C 正确； P（|x）21（x），故 D 错误 第 12 页（共 26 页） 故选：AC 【点评】本题考查正
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