知识点47新定义型2019中考真题分类汇编
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1、 一、选择题一、选择题 1.(2019岳阳)岳阳)对于一个函数,自变量 x 取 a 时,函数值 y 也等于 a,我们称 a 为这个函数的不动点如 果二次函数 y=x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2,且 x11x2,则 c 的取值范围是() Ac3 Bc2 C 1 4 c Dc1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 当y=x时, x=x2+2x+c, 即为x2+x+c=0, 由题意可知: x1, x2是该方程的两个实数根, 所以 12 12 1xx x xc x11x2,(x11)(x21)0, 即 x1x2(x1x2) 10, c(1)10, c2. 又知方程有两个不相等的实数根
2、,故0, 即 124c0, 解得:c 1 4 . c 的取值范围为 c2 . 2.(2019济宁)已知有理数 a1,我们把 1 1a 称为 a 的差倒数,如:2 的差倒数是 1 12 1,1 的差 倒数是 11 1 ( 1)2 如果 a12,a2是 a1的差倒数,a3是 a2的差倒数,a4是 a3的差倒数,依此 类推,那么 a1a2a100的值是() A7.5 B7.5 C5.5 D5.5 【答案】【答案】A 【解【解析析】由题意知:a2 1 1 ( 2) 1 3 ;a3 1 1 1 3 3 2 ,a4 1 3 1 2 2;a5 1 1 ( 2) 1 3 ;可知 经过 3 次开始循环, 所以
3、a1a2a1002 1 3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 332 6 7.5 二、填空题二、填空题 18 (2019娄底)娄底) 已知点 P 00 ,x y到直线ykxb的距离可表示为 00 2 1 kxby d k ,例如:点(0, 1)到直线 y2x+6 的距离 2 2 06 1 5 1 2 d 据此进一步可得两平行直线y x 与4yx之 间的距离为_ 【答案】【答案】2 2 【解析】【解析】在直线y x 上任取点,不妨取(0,0),根据两条平行线之间距离的定义可知,(0,0)到直 线4yx的距离就是两平行直线y x 与4yx之间的距离 2 0404 2 2 2 1 1 d 16(2
4、019常德)常德)规定:如果一个四边形有一组对边平行,一组邻边相等,那么四边形为广义菱形根 据规定判断下面四个结论:正方形和菱形都是广义菱形;平行四边形是广义菱形;对角线互相 垂直,且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形;若 M、N 的坐标分别为(0,1),(0,1),P 是二 次函数 yx2的图象上在第一象限内的任意一点,PQ 垂直直线 y1 于点 Q,则四边形 PMNQ 是 广义菱形其中正确的是 (填序号) 【答案】【答案】 【解析】正方形和菱形满足一组对边平行,一组邻边相等,故都是广义菱形,故正确;平行四边形虽然 满足一组对边平行,但是邻边不一定相等,因此不是广义菱形,故错误;对角线互相垂
5、直,且两组 邻边分别相等的四边形的对边不一定平行,邻边也不一定相等,因此不是广义菱形,故错误;中 的四边形 PMNQ 满足 MNPQ, 设 P(m, 0) (m0) , PM1, PQ (1)1,PMPQ,故四边形 PMNQ 是广义菱形综上所述正确的是 17(2019陇南)陇南)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特征 值”若等腰ABC 中,A80,则它的特征值 k 【答案】【答案】 8 5 或或 1 4 【解析】【解析】当A 是顶角时,底角是 50,则 k= 808 505 ;当A 是底角时,则底角是 20,k= 201 804 , 故答案为: 8 5
6、或 1 4 三、解答题三、解答题 1.(2019重庆 A 卷)道德经中的“道生一,一生二,二生三,三生万物”道出了自然数的特征在 数的学习过程中, 我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究, 如学习自然数时, 我们研究了奇数、 偶数、质数、合数等现在我们来研究另一种特珠的自然数“纯数” 定义:对于自然数 n,在计算 n(n1)(n2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数 n 为“纯 数”, 例如:32 是”纯数”,因为计算 323334 时,各数位都不产生进位;23 不是“纯数”,因为计算 232425 时,个位产生了进位 (1)判断 2019 和 2020 是否是“纯数”?请说明理由; (
7、2)求出不大于 100 的“纯数”的个数 解:解:(1)2019 不是“纯数”,2020 是“纯数”,理由如下: 在计算 201920202021 时,个位产生了进位,而计算 202020212022 时,各数 位都不产生进位, 2019 不是“纯数”,2020 是“纯数” 1 4 222 1 (1) 4 mm 2 1 4 m 2 1 4 m 2 1 4 m (2)由题意可知,连续三个自然数的个位不同,其他位都相同,并且连续的三个自然数个位为 0、1、2 时,不会产生进位;其他位的数字为 0、1、2、3 时,不会产生进位现分三种情况讨 论如下: 当这个数为一位自然数时,只能是 0、1、2,共
8、3 个; 当这个数为二位自然数时,十位只能为 1、2、3,个位只能为 0、1、2,即 10、11、 12、20、21、22、30、31、32 共 9 个; 当这个数为 100 时,易知 100 是“纯数” 综上,不大于 100 的“纯数”的个数为 39113 2.(2019重庆重庆 B 卷)卷)在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究,如学习自然 数时,我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数“纯数”. 定义:对于自然数,在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象,则称这个自 然数为“纯数”. 例如:是“纯数”,因为在列竖式计算时各位都不产生进
9、位现象; 不是“纯数”,因为在列竖式计算时个位产生了进位. 请直接写出 1949 到 2019 之间的“纯数”; 求出不大于 100 的“纯数”的个数,并说明理由. 解:解:(1)1949 到 2019 之间的“纯数”为 2000、2001、2002、2010、2011、2012 . (2)由题意:不大于 100 的“纯数”包含:一位数、两位数和三位数 100 若 n 为一位数,则有 n+(n+1)+(n+2)10,解得:n3,所以:小于 10 的“纯数数”有 0、1、2,共 3 个 两位数须满足:十位数可以是 1、2、3,个位数可以是 0、1、2,列举共有 9 个分别是 10、11、12、2
10、0、 21、22、30、31、32;三位数为 100,共 1 个所以:不大于 100 的“纯数”共有 13 个. 3.(2019衢州衢州)定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满 是x= 3 ac ,y= 3 bd ,那么称点T是点A,B的融合点。 例如:A(-1,8),B(4,一2),当点T(x.y)满是x= 14 3 =1,y= 8( 2) 3 =2时.则点T(1,2)是点 A,B的融合点。 (1)已知点A(-1,5),B(7,7).C(2,4)。请说明其中一个点是另外两个点的融合点. (2)如图,点D(3,0).点E(t,2t+3)是直线l上任
11、意一点,点T(x,y)是点D,E的融合点. 试确定y与x的关系式. 若直线ET交x轴于点H,当DTH为直角三角形时,求点E的坐标. n 21nnn n 32343332 23252423 x y l 1 1 1 1 O D 解:解:(1) 1 7 3 =2, 57 3 =4, 点C(2,4)是点A.B的融合点。3分 (2)由融合点定义知x= 3 3 t ,得t=3x-34分 又y= 0(23) 3 t ,得t= 33 2 y .5分 3x-3= 33 2 y ,化简得y=2x-1.6分 要使DTH为直角三角形,可分三种情况讨论: ()当THD=90时,如图1所示,设T(m,2m-1),则点E为
12、(m,2m+3). 由点T是点D,E的融合点, 可得m= 3 3 m 或2m-1= (23)0 3 m 解得m= 3 2 ,点E1( 3 2 ,6).7分 x y l H T E 1 1 1 1 O D ()当TDH=90时,如图2所示,则点T为(3,5). 由点T是点D,E的融合点,可得点E2(6,15)。.8分 ()当HTD=90时,该情况不存在。9分 (注:此类情况不写不扣分) 综上所述,符合题意的点为E1( 3 2 ,6),E2(6,15). 10分 4.(2019宁波宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线. (1)如图 1,在ABC 中,ABA
13、C,AD 是ABC 的角平分线,E,F 分别是 BD,AD 上的点.求证:四边形 ABEF 是 邻余四边形; (2)如图 2,在 54 的方格纸中,A,B 在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF,使 AB 是邻余线,E,F 在格点上; (3)如图 3,在(1)的条件下,取 EF 中点 M,连接 DM 并延长交 AB 于点 Q,延长 EF 交 AC 于点 N.若 N 为 AC 的 中点,DE2BE,求邻余线 AB 的长. 解:解:(1)ABAC,AD 是ABC 的角平分线,ADBC,ADB90,DAB+DBA90, FAB 与EBA 互余.四边形 ABEF 是邻余四边形; (2)如图
14、所示,四边形 ABEF 即为所求.(答案不唯一) x y E T H l O D (3)ABAC,AD 是ABC 的角平分线,BDCD,DE2BE,BDCD3BE,CECD+DE5BE. EDF90,M 为 EF 的中点,DMME.MDEMED.ABAC,BC,DBQ ECN, 3 5 QBBD NCCE ,QB3,NC5,ANCN,AC2CN10,ABAC10. 5.(2019金华)金华)如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的边长为 4,边 OA,OC 分别在 x 轴,y 轴 的正半轴上,把正方形 OABC 的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点点 P 为抛物线 y(x 2)2
15、m2 的顶点 (1)当 m0 时,求该抛物线下放(包括边界)的好点个数 (2)当 m3 时,求该抛物线上的好点坐标 (3)若点 P 在正方形 OABC 内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在 8 个好点,求 m 的取值范围 解:(1)当 m0 时,二次函数的表达式为 yx22,画出函数图象(图 1), 当 x0 时,y2;当 x1 时,y1; 抛物线经过点(0,2)和(1,1) 好点有:(0,0),(0,1),(0,2)(1,0)和(1,1)共 5 个 (2)当 m3 时,二次函数的表达式为 y(x3)25,画出函数图象(图 2), 当 x1 时,y1;当 x4 时,y4; 抛物线上存在好点,
16、坐标分别是(1,1)和(4,4) (3)抛物线顶点 P 的坐标为(m,m2), 点 P 在直线 yx2 上 由于点 P 在正方形内,则 0m2 x y P C B AO x y 图1 P C B A O x y 图2 C B A O P x y 图3 F E P C B AO 如图 3,点 E(2,1),F(2,2) 当顶点 P 在正方形 OABC 内,且好点恰好存在 8 个时,抛物线与线段 EF 有交点(点 F 除外) 当抛物线经过点 E(2,1)时,( 2m)2m21, 解得 m1 513 2 ,m2 513 2 (舍去) 当抛物线经过点 F(2,2)时,( 2m)2m22, 解得 m11
17、,m24(舍去) 当 513 2 m1 时,点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点 6.(2019达州)达州)箭头四角形 模型规律 如图 1,延长 CO 交 AB 于点 D,则BOC=1+B=A+C+B. 因为凹四边形 ABOC 形似箭头,其 四角具有“BOC=A+C+B”这个规律,所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”. 模型应用 (1)直接应用:如图 2,A+B+C+D+E+F=_ . 如图如图 3, , ABE、 、 ACE 的的 2 等分线 (即角平分线)等分线 (即角平分线) BF、 CF 交于点交于点 F, 已知, 已知BEC=120BAC=50, 则则B
18、FC=_. 如图如图 4,BO1、CO2分别为分别为ABO、ACO 的的 2019 等分线(等分线(i=1,2,3,2017,2018),它们的),它们的 交点从上到下依次为交点从上到下依次为 O1,O2,O3,O2018. 已知已知BOC=m,BAC=n,则,则BO1000C=_ 度度 (1)拓展应用:如图拓展应用:如图 5,在四边形,在四边形 ABCD 中,中,BC=CD ,BCD=2BAD. O 是四边形是四边形 ABCD 内的一内的一 点,且点,且 OA=OB=OD. 求证:四边形求证:四边形 OBCD 是菱形是菱形. 解:解:(1)A+B+C=,D+E+F= A+B+C+D+E+F=
19、2 BEC=A+ABC+ACB BFC=A+ 2 1 ABC+ 2 1 ACB BEC=120BAC=50 2 1 BEC= 2 1 A+ 2 1 ABC+ 2 1 ACB 60=25+ 2 1 ABC+ 2 1 ACB 2 1 ABC+ 2 1 ACB=35 BFC=A+ 2 1 ABC+ 2 1 ACB 5035 85 BFC85 nm 2019 1019 2019 1000 (2) 7.(2019枣庄枣庄)对于实数 a、b,定义关于的一种运算:ab2a+b.例如 3423+410. (1)求 4(3)的值; (2)若 x(y)2,(2y)x1,求 x+y 的值. 解:解:(1)根据题意得
20、:4(3)24+(3)5. (2)x(y)2,(2y)x1,2x+(y)2,22y+x1,解这个二元一次方程组,得,x 7 9 ,y 4 9 , x+y 1 3. 8.(2019济宁) 阅读下面材料: 如果函数 yf(x)满足:对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1,x2, (1)若 x1x2,都有 f(x1) f(x2),则称 f(x)是增函数; (2)若 x1x2,都有 f(x1) f(x2),则称 f(x)是减函数 例题:证明函数 f(x) 6 x (x0)是减函数 证明:设 0x1x2,f(x1) f(x2) 12 66 xx 21 21 1212 666 . xxxx x xx x
21、 0x1x2,x2x10,x1x20 21 12 6 xx x x 0,即 f(x1) f(x2)0f(x1) f(x2),函数 f(x) 6 x (x0)是减函数 根据以上材料,解答下面的问题: 已知函数 2 1 fxx x (x0), 22 117 110,22 4 12 ff (1)计算:f(3)_,f(4)_; (2)猜想:函数 2 1 fxx x (x0)是_函数(填“增”或“减”); (3)请仿照例题证明你的猜想 解解: (1) 22 126163 33,44 916 34 ff (2)增; (3)证明:设 x1x20, f(x1) f(x2) 22 21 121212 22222
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