知识点20二次函数几何方面的应用2019中考真题分类汇编
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1、 一、选择题一、选择题 1. (2019乐山)乐山)如图,抛物线4 4 1 2 xy与x轴交于A、B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2 为半径的 圆上的动点,Q是线段PA的中点,连结OQ.则线段OQ的最大值是( ) A3 B 2 41 C 2 7 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】连接 PB,令4 4 1 2 xy=0,得 x=4,故 A(-4, ) , (4,0) ,O 是 AB 的中点,又Q是线段PA的 中点,OQ= 1 2 PB,点 B 是圆 C 外一点,当 PB 过圆心 C 时,PB 最大,OQ 也最大,此时 OC=3,OB=4, 由勾股定理可得 BC=5, PB=BC+PC
2、=5+2=7,OQ= 1 2 PB= 7 2 ,故选 C. 二、填空题二、填空题 1. (2019无锡)无锡)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=4 5,D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边 作正方形CDEF,连接BE,则BDE面积的最大值为 . 【答案】8 【解析】【解析】过 D 作 DGBC 于 G,过 A 作 ANBC 于 N,过 E 作 EHHG 于 H,延长 ED 交 BC 于 M.易证EHD DGC,可设 DG=HE=x,AB=AC=5,BC=4 5,ANBC,BN= 1 2 BC=25,AN= 22 5ABBN, GBC,ANBC,DGAN,2 BGBN DGAN ,
3、BG=2x,CG=HD=45- 2x;易证HEDGMD,于 是 HEHD GMGD , 4 52xx GMx ,即 MG 2 4 52 x x ,所以 SBDE = 1 2 BMHD= 1 2 (2x 2 4 52 x x )(4 5- 2x)= 2 5 4 5 2 xx= 2 54 5 8 25 x ,当 x= 4 5 5 时,SBDE的最大值为 8. 2. (2019 台州台州)如图,直线 l1l2l3,A,B,C 分别为直线 l1,l2,l3上的动点,连接 AB,BC,AC,线段 AC 交直线 l2于点 D. 设直线 l1,l2之间的距离为 m,直线 l2,l3之间的距离为 n,若ABC
4、90,BD4,且 2 3 m n ,则 m+n 的最大值为 _. 【答案】【答案】 25 3 【解析】【解析】 过点 B 作 BEl1于点 E,作 BFl3于点 F,过点 A 作 ANl2于点 N,过点 C 作 CMl2于点 M,设 AEx,CF y,则 BNx,BMy,BD4,DMy4,DN4x,ABC90,且AEBBFC90,CMD AND 90 ,易 得AEB BFC, CMD AND, AEBE BFCF , 即 xm ny ,mn xy, ANDN CMDM , 即 42 = 43 mx ny ,y10 3 2 x, 2 = 3 m n ,n 3 2 m,m+n 5 2 m,mnxy
5、x(10 3 2 x) 3 2 x2+10x 3 2 m2,当 x 10 3 时,mn 取得最大值为 50 3 , 3 2 m2 50 3 ,m最大 10 3 ,m+n 5 2 m 25 3 . 3. (2019凉山)凉山)如图,正方形 ABCD 中,AB=12, AE = 4 1 AB,点 P 在 BC 上运动 (不与 B、C 重合) ,过点 P 作 PQEP,交 CD 于点 Q,则 CQ 的最大值为 . 【答案】4 【解析】在正方形 ABCD 中,AB=12, AE = 4 1 AB=3,BC=AB=12,BE=9,设 BP=x,则 CP=12-x.PQEP, EPQ=B=C=90,BEP
6、+BPE=CPQ+BPE=90,BEP=CPQ,EBPPCQ, BE PC BP CQ , 9 12x x CQ ,整理得 CQ=4)6( 9 1 2 x,当 x=6 时,CQ 取得最大值为 4.故答案为 4. 三、解答题三、解答题 25 (2019 山东烟台,山东烟台,25,13 分)分) 如图, 顶点为 M 的抛物线 2 3yaxbx与 x 轴交于( 1,0)A ,B两点, 与 y 轴交于点 C, 过点 C 作CDy 轴交抛物线与另一个点 D,作DEx轴,垂足为点 E双曲线 6 (0)yx x 经过点 D,连接 MD,BD (1)求抛物线的解析式 (2)点 N,F 分别是 x 轴,y 轴上
7、的两点,当 M,D,N,F 为顶点的四边形周长最小时,求出点 N,F 的坐标; (3)动点 P 从点 O 出发, 以每秒 1 个单位长度的速度沿 OC 方向运动, 运动时间为 t 秒, 当 t 为何值时,BPD 的度数最大?(请直接写出结果) 【解题过程】【解题过程】 (1)当)当0x时时 2 0033yab 所以所以3OC ,( 0 , 3)C, 因为因为CDy轴,DEx轴,COEO, 所以四边形所以四边形 OEDC 为矩形,为矩形, 又因为双曲线又因为双曲线 6 (0 )yx x 经过点经过点 D, 所以所以6 OEDC S 矩形 , 所以所以2 O E D C S CD OC 矩形 ,
8、所以所以( 2, 3)D 将点将点(1, 0 )A 、( 2, 3)D代入抛物线代入抛物线 2 3yaxbx得得 30 4233 ab ab 解得解得 1 2 a b 所以抛物线的表达式为所以抛物线的表达式为 2 23yxx (2)解:)解:作点作点 D 关于关于 x 轴的对称点轴的对称点H,作点,作点 M 关于关于 y 轴的对称点轴的对称点I,如图(,如图(1) 由图形轴对称的性质可知由图形轴对称的性质可知FMFI,NDNH, 所以四边形所以四边形 MDNF 的周长的周长MDDNFNFMMDNHFNFI, 因为因为MD是定值,所以当是定值,所以当NHFNFI最小时,四边形最小时,四边形 MD
9、NF 的周长最小,的周长最小, 因为两点之间线段最短,所以当因为两点之间线段最短,所以当 I、F、N、H 在同一条直线上时在同一条直线上时NHFNFI最小最小 所以当所以当 I、F、N、H 在同一条直线上时,四边形在同一条直线上时,四边形 MDNF 的周长最小,的周长最小, 连接连接HI,交,交 x 轴于点轴于点 N,交,交 y 轴于点轴于点 F, 因为抛物线的表达式为因为抛物线的表达式为 2 23yxx ,所以点,所以点 M 的坐标为的坐标为(1,4), 由轴对称的性质可得,由轴对称的性质可得,( 1, 4 )I ,( 2 ,3)H, 设直线设直线 HI 的表达式为的表达式为ymxn, 所以
10、所以 4 23 mn mn , 解得解得 7 3 5 3 m n , 所以直线所以直线 HI 的表达式为的表达式为 75 33 yx , 当当0x时,时, 5 3 y , 当当0y 时,时, 75 0 33 x ,所以,所以 5 7 x , 所以所以 5 (0, ) 3 F, 5 ( ,0) 7 N, 第 25 题答图(1) 所以当所以当 M,D,N,F 为顶点的四边形周长最小时,为顶点的四边形周长最小时, 5 (0, ) 3 F, 5 ( ,0) 7 N (3)解:本题的答案为)解:本题的答案为92 15 解题分析:如图(解题分析:如图(2) ,当两点) ,当两点 A、B 距离是定值,直线距
11、离是定值,直线 CD 是一条固定的直线,点是一条固定的直线,点 P 在直线在直线 CD 上移动,由下图可以看出只有当过上移动,由下图可以看出只有当过 A、B 的圆与直线的圆与直线 CD 相切时相切时APB最大最大 所以可作所以可作T过点过点 B、D,且与直线,且与直线 OC 相切,切点为相切,切点为 P,此时,此时BPD的度数最大,的度数最大, 由已知,可得由已知,可得OPt, (0, )Pt 因为直线因为直线 OC 与与T相切,相切, 所以所以TPOC, 所以直线所以直线 PT 的解析式为的解析式为yt 因为抛物线的表达式为因为抛物线的表达式为 2 23yxx , 所以点所以点 B 的坐标为
12、的坐标为(3,0), 因为点因为点 B(3,0)、点、点(2,3)D 可以求得直线可以求得直线 BD 的垂直平分线的解析式为的垂直平分线的解析式为 12 33 yx 联立联立yt与与 12 33 yx,得,得32xt,yt 直线直线 PT 与与直线直线 BD 的交点即为点的交点即为点 M,所以,所以(32, )Mtt 因为因为MBMC,可得可得 22 32(323)(0)ttt 解得解得92 15t 或或92 15t (舍去)(舍去) 所以当所以当92 15t 时时,BPD的度数最大的度数最大 第 25 题答图(2) 第 25 题答图(3) 27 (2019 江苏盐城卷,江苏盐城卷,27,14
13、)如图所示,二次函数 2 (1)2yk x的图象与一次函数2ykxk的图象交 于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别于x轴、y轴交于C、D两点,且0k . (1)求A,B两点横坐标; (2)若OAB 是以OA为腰的等腰三角形,求k的值; (3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得2ODCBEC ,若存在,求出k的值;若 不存在,说明理由. 【解题过程】【解题过程】 (1)A、B 是与的交点 , , 点在点的右侧 , 点横坐标是 ,点横坐标. (2)由(1)可知和 由两点间距离公式可得: OAB 是以为腰的等腰三角形 分为两种情况:或 当时即 当时即 或 y x D C
14、 B A O 2 (1)2yk x2ykxk 2 (1)2 2 yk x ykxk 2 (1)2= (1)2k xk x(1)(2)0k xx 1 1x 2 2x 1 1 =1 2 x y 2 2 =2 2+ x yk BA (1,2)A(2,2+k)B A1B2 (1,2)A(2,2+k)B (0,0)O 22 = 5,4(2) ,1OAOBkABk OA =OA AB=OA OB =OA AB 2 5=1k 2 4k 2k 0k 2k =OA OB 2 54(2)k 2 (2)1k 1k 3k 综上所述,或或. (3)存在,或 【提示】由(1)可知和.根据题意分为两种情况:点在点左侧,点在
15、点右侧. 当点在点左侧时 如图 1,过点作轴于点,作的垂直平分线交轴于点,连接 设=m ,由(1)可知和. 在 RtBFH 中,由得 , 当点在点右侧时 如图,过点作轴于点,作的垂直平分线交轴于点,连接 由(1)可知和. 1k 2k 3k 3k 47 3 k (1,2)A(2,2+k)B BCBC BC2+k00k-2 BBHxHBExFBF =BF EF2BFHBEC =BF EF (1,2)A(2,2+k)B(1,0)E(2,0)H 1EH 1FHm 222 =BHFHBF 222 (2)(1)kmm 2 45 2 kk m 2 43 =1 2 kk FHm 2 42 tan 43 BHk
16、 BFH FHkk 2ODCBEC =ODCBFHtantanODCBFH 2 (1,1)C k 2 =1OC k =2ODk 2 1 1 tan 2 OC k ODC ODkk 2 142 43 k kkk 3k 0k 3k 图图1 x y FH D C B A O E BC2+k m2 +4,CB2 + DB2CD2,CB D 为锐角,故同时考虑一下两种情况: 1当CDB 为锐角时,CD2 + DB2CB2,m2 +4 + 9m 2 +3616m2 +16 ,解得 -2m2, 2当BCD 为锐角时,CD2 +CB 2DB 2, m2 +4 +16m2 +16 9m 2 +36,解得 m 2
17、或 m-2(舍) , 综上:2 m2 ,222m4, 22OA4. 第 27 题答图 【知识点】二次函数图像与性质【知识点】二次函数图像与性质;勾股定理;相似三角形判定与性质;锐角三角形的判定;数形结合思想;勾股定理;相似三角形判定与性质;锐角三角形的判定;数形结合思想 9.(2019岳阳)岳阳)如图 1,AOB 的三个顶点 A、O、B 分别落在抛物线 F1: 2 17 33 yxx的图象上,点 A 的横 坐标为4,点 B 的纵坐标为2 (点 A 在点 B 的左侧) (1)求点 A、B 的坐标; (2)将AOB 绕点 O 逆时针转 90得到AOB,抛物线 F2: 2 4yaxbx经过 A、B两
18、点,已知 点 M 为抛物线 F2的对称轴上一定点,且点 A恰好在以 OM 为直径的圆上,连接 OM、AM,求OAM 的 面积; (3)如图 2,延长 OB交抛物线 F2于点 C,连接 AC,在坐标轴上是否存在点 D,使得以 A、O、D 为顶点 的三角形与OAC 相似若存在,请求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由 【思路分析】【思路分析】 (1)分别将 A 点横坐标和 B 点纵坐标代入抛物线 F1可得; (2)通过 A、B的坐标求出抛物线 F2的函数关系式,根据点 M 在对称轴上求出点 M 的横坐标;延长 AM 交 x 轴于点 N,则AMN 为等腰直角 三角形,求出 N 点坐标,进一步求出直
19、线 AN 的解析式,得到点 M 的坐标,最后利用 SAOM SAONSOMN 求解 (3)根据点在直线 OB和抛物线 F2上求出点 C 的坐标,得到 AC 的长度及OAC 的度数,根据两 边成比例并且夹角相等证明三角形相似,分两种情况讨论求点 D 的坐标 【解题过程】【解题过程】 (1)将 x=4 代入 2 17 33 yxx,得: 2 17 ( 4)( 4)4 33 y , A(4,4) 将 y=2 代入 2 17 33 yxx,得: 2 17 2 33 xx , 解得:x1=1,x2=6 点 A 在点 B 的左侧, B(1,2) (2)由旋转可知:A(4,4) ,B(2,1) 代入抛物线
20、2 4yaxbx,得: 16444 4241 ab ab 解得: 1 4 3 a b 抛物线 F2: 2 1 34 4 yxx 对称轴为: 3 6 1 2 4 x 延长 AM 交 x 轴于点 N, 点 A恰好在以 OM 为直径的圆上, OAM=90 A(4,4) , AON=45 AON 为等腰直角三角形 ON=42=8 N(8,0) 设直线 AN:y=mxn 则 44 80 mn mn 解得: 1 8 m n y=x8 当 x=6 时,y=2 M(6,2) SAOM SAONSOMN 11 8 48 2 22 8 所以,OAM 的面积为 8 (3)设直线 OB解析式为:y=kx,代入 B(2
21、,1) , 得:2k=1 1 2 k 设直线 OB解析式为: 1 2 yx 解方程组: 2 1 34 4 1 2 yxx yx 得: 1 1 2 1 x y , 2 2 8 4 x y B(2,1) C(8,4) A(4,4) , ACx 轴,AC=84=4, OAC=135 若以 A、O、D 为顶点的三角形与OAC 相似则AOD 必有一个钝角 135,故点 O 与点 A是对应顶点 所以点 D 在 x 轴或 y 轴正半轴上 OA=OA= 22 444 2 若AODOAC,则 OAOD A OA C OD=AC=4 此时点 D 的坐标为(4,0)或(0,4) 若AODCAO,则 C OAOD A
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