2020年广东省深圳市罗湖区高三第一学期期末质量检测文科数学试题（含答案）

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1、一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上 1设复数 1 i 1i z ，则z A 1 2 B 1 4 C2   D 2 2 2设全集U R，集合 2 280Mx xx，13Nxx ，则  A12xx B23xx C41xx D23xx 3中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音 阶全用上，排成一个5个音阶的音序在所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这 个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 2 5 4已

2、知平面向量 2,0a ，2b ，2a b ，则2ab A2 3  B3 2  C2 2  D2 7 5为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异， 召集了男女志愿者各200名，要求他们同时完成 多个任务，包括解题、读地图、接电话右图表 示了志愿者完成任务所需的时间分布 以下结论， 对志愿者完成任务所需的时间分布 图表理解正确的是 总体看女性处理多任务平均用时更短； 所有女性处理多任务的能力都要优于男性； 男性的时间分布相比女性的时间分布更对称； 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 A  B  C  D 高三文科数学试

3、题 第 2 页（共 4 页） 6已知 n S为等差数列 n a的前n项和，若 9 4a， 15 30S，则 15 a A6  B15  C16  D18 7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图， 则该多面体的各面中， 面积最 大的面的面积为 A6 B4 2 C2 5 D4 8已知函数( )f x是定义域为 R 的奇函数，当0x 时， 2 ,01 ( ) ln ,1 xxx f x xx 函数 ( )g xf xa ，若 g x存在3个零点，则a的取值范围是 A 1 1 , 4 4 B 1 1 , 2 2 C 1 1 , 2 2 D 1

4、 1 , 4 4 9记不等式 22 124xy表示的平面区域为D命题:( , ),28px yDxy；命 题: ( , ),21qx yDxy 下面给出了四个命题 pq  pq  pq  pq 这四个命题中，所有真命题的编号是 A  B  C  D 10设函数 cosf xx(0)，已知 fx在0, 2 有且仅有2个极小值点，则的取 值范围是 A3,5  B6,8  C 3 5 , 2 2 D6,10 11在ABC中，内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 222 2cosacbacC且 2 sinab

5、A，则A A 4 B 6 C 3 D 2 3 12已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的左，右焦点分别为 1 F、 2 F，以 1 F 2 F为直径的圆与C的一 条渐近线交于点P， 1221 2PFFPF F ，则该双曲线的离心率为 A2  B3  C2  D3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13cos1275   14已知( )ln1f xxx，则曲线( )yf x在点2,(2)f处的切线方程是   高三文科数学试题 第 3 页（共 4 页） 15已知直线: =1(0)l y kxk经过抛物线 2 :

6、2C xpy的焦点F，且l与C交于A、B两 点，l与C的准线交于点E，若EFFB ，则p  ，k  （本题第 一空2分，第二空3分） 16已知三棱锥PABC中PA=PB=PC=3，当三棱锥PABC体积最大值时，三棱锥P ABC的外接球的体积为   三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答，第 22,23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分 17 （12分） 下表是我国2012年至2018年国内生产总值（单位：万亿美元）的数据： 年份 2012 2013

7、2014 2015 2016 2017 2018 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 国内生产总值y （单位：万亿美元） 8.5 9.6 10.4 11 11.1 12.1 13.6 （1）从表中数据可知x和y线性相关性较强，求出以x为解释变量y为预报变量的线 性回归方程； （2）已知美国2018年的国内生产总值约为20.5万亿美元，用（1）的结论，求出我 国最早在那个年份才能赶上美国2018年的国内生产总值？ 参考数据： 7 i i 1 76.3y ， 7 ii i 1 326.2y x ， 参考公式：回归方程 ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： iiii i 1i 1 2

8、 22 ii i 1i 1 ()() () nn nn yy xxy xnyx b xxxnx , a ybx 18 （12分） 已知等比数列 n a的各项均为正数， n S为等比数列 n a的前n项和，若 2 2 3 a ， 346 2a aa （1） n St恒成立，求t的最小值； （2）设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T 高三文科数学试题 第 4 页（共 4 页） 19 （12分） 如图， 四边形ABCD为矩形，22ABBC， E为边CD的中点， 以EB为折痕把CEB折起， 使点C到达点P的位置，且使平面PEB平面 ABED （1）证明：PB平面PEA； （2）求

9、点E到平面PAD的距离 20 （12分） 已知函数 1 ( )1lnf xax x ，a为常数 （1）讨论函数( )f x的单调区间； （2）若( )0f x恒成立，求实数a的取值范围 21 （12分） 已知圆 22 27 :(3) 2 Mxy的圆心为M，圆 22 3 :(3) 2 Nxy的圆心为N，一 动圆与圆M内切，与圆N外切 （1）求动圆圆心C的轨迹方程； （2）过点(2,0)P的直线l与曲线C交于, A B两点，点Q是直线3x 上任意点，直线 QA,QP,QB的斜率分别为 123 ,k k k，试探求 123 ,k k k的关系，并给出证明 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请

10、考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分 题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分 22选修4-4：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 2xt ykt （t为参数），直线 2 l的参数方程 为 2xm m y k （m为参数），设 1 l与 2 l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线 1 C以 坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4sin （1）写出 1 C的普通方程； （2）求曲线 1 C和曲线 2 C交点的极坐标 23选修4-5：不等式选讲（10分） 已知0ab，

11、函数 2 1 fxxxa b ab （1）若1,2ba，求函数 fx 的最小值； （2）证明： 4f x 1 20201919- -20202020 学年第一学期期末质量检测学年第一学期期末质量检测  文文科科数学数学评分细则与评分细则与参考答案参考答案  说明：1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的

12、一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 一、选择题一、选择题. 每小题每小题5 5分，共分，共6060分。分。 题题号号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 D B C A C C B A B D D A 二、填空题二、填空题:本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13. 62 4 14.  24yx ；  15. p 2， （2 分）k 3 3 （3 分）;   16.  9 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明、证

13、明过程或演算步骤。  17.(1217.(12 分分) )  解： （1） 7 1 10.9 7 i i y y ， 1 234567 4 7 x 2 分 1 2 1 ()() 21 0.75 28 () n ii i n i i yy xx b xx ，10.90.75 47.9a 所以回归方程为0.757.9yx 6 分 （2）由（1）可知0.757.920.5yx，     8 分 解得16.8x ，及要在第 17 个年份才能超过 20.5 万亿 10 分 所以用线性回归分析我国最早也要在 2028 年才能赶上美国 2018 年的国内生产总值 12

14、 分 18(12 分） 解： （1） 34166 2a aaaa，所以 1 2a ， 又 2 2 3 a ，所以 1 3 q ，3 分 所以 1 2 1 3 1 3 13 1 3 1 3 n n n S ，所以t的最小值是 3. 6 分 2 （2）由（1）可知 1 2 3 n n a ，所以 1 3 2 n n n b ，     8 分 故  011 1 32 33 222 n n n T   1 12 131 32 33 3 2222 n n n nn T   - 得： 011 1 3333 2 2222 nn n n T   1

15、0 分 化简 21 31 8 n n n T (形式可以不唯一) 12分 19(12 分） 解析：(1) 由题意 AE=BE=2,又 AB=2，所以 AEBE， 又平面PEB平面ABEDEB,且平面PEB平面ABED,所以 AE平面PEB，   2 分 故 AEPB,又 PBPE,且 AEPE=E,所以PB平面PEA 4 分 （2） 过点 P 在平面 PEB 中向 EB 引垂线，垂足O，连接 DO 和 AO， 又O为EB的中点所以 2 , 2 PO 10 , 2 DOAO 6 分 由平面PEB平面ABED可得PO ABED，所以POOA,POOD, 故 22 210 3, 22 PD

16、PA 8 分 设F为 AD 的中点，连接FP，在等腰三角形PAD中 22 111 3, 42 PFPAAF         10 分 设点E到平面PAD的距离为h， 由 E PADP ADE VV ,得 111111 333232 PADADE hSPO ShAD PFPOAD DE 解得 22 11 h     12 分 3 20(12 分） 解： （1）由题意0x ， 22 1 ( ) axa fx xxx ， 1分 当0a 时，( )0fx，函数( )f x在区间0 ，上单调递增，   2分 当0a 时，在区间0a，上

17、( )0fx，区间a ，上( )0fx， 故当0a 时，在区间0a，上函数单调递减，区间a ，上函数( )f x单调递增，  4分 （2）由（1）可知 当0a 时，函数( )f x在区间0 ，上单调递增， 又 11 ( )ln1ln10fa eea e ee ，与题设矛盾，  6 分 当0a 时，在区间0a，上函数( )f x单调递减，区间a ，上函数( )f x单调递增， 所以函数( )( )1ln0f xf aaa 即可， 8 分 设( )1ln ,0g xxx x ， (1)0g， 11 ( )1 x g x xx ，  在区间01 ，上( )0g x，区间

18、1 ，上( )0g x， 故在区间01 ，上函数( )g x单调递增，区间1 ，上函数( )g x单调递减， 10 分 所以( )(1)0g xg，  综上，只的当1a 时，( )1ln0f aaa ，所以1a 时，( )0f x 恒成立     12 分 21(12 分） 解： （1）设动圆C的半径为 r,则 3 66 |,| 22 CMr CNr. 两式相加得| 2 6CMCNMN,由椭圆定义知，点C的轨迹是以 M、N 为焦点，焦距为2 3， 长轴长为2 6的椭圆其方程为 22 1 63 xy       4分 （2）设 1122

19、 ( ,), (,)A x yB xy，(3, )Qt， 若l斜率为 0，则(6,0), ( 6,0)AB， 4 得 1 36 t k ， 3 36 t k ， 2 32 t kt ， 所以 132 2kkk， 故猜想 123 ,k k k成等差数列，         6 分 设直线l的方程设为2xmy，  由 22 2 1 63 xmy xy 消去y得 22 (2)420mymy 则有 12 2 4 2 m yy m ， 12 2 2 2 y y m 8 分 1 1 1 3 ty k x ， 2 3 2 3 ty k x ， 2 32 t k

20、t 1212 13 121212 11 333333 tytyyy kkt xxxxxx 又 11 2xmy， 22 2xmy，所以 11 31xmy ， 22 31xmy 2 2 12 222 12121212 22 4 2 21111 2 2 4233111 1 22 m m yy m mmxxmymym yym y y mm 10 分 22 1212 2 12121212 44 22 0 33111 mm yyyy mm xxmymym yym y y 132 22kktk， 故 123 ,k k k成等差数列 12 分 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 解: （1）由

21、2xt ykt ，消去参数t得 1 l的普通方程2ykx，   2 分 由 2xm m y k ，消去参数m得 2 l的普通方程 1 2yx k ，     4 分 设 P, x y，由题意得 2 1 2 ykx yx k ，消去k得 22 40xyy， 5 分 5 （2）由（）曲线 1 C的坐标方程为20,，      6 分 由题意 4sin 2 得 1 sin 2 ，故 6 或 5 6  所以曲线 1 C和曲线 2 C交点的极坐标为2, 6 或 5 2, 6 10 分 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 解:（

22、1）当1,2ba时， 23,1 145,14 23,4 xx fxxxx xx 这时函数 f x的最小值为 5             4 分 （2）由0ab ，故 1 0 b ab ， 2 0a 2 222 22 11 2, 111 , 1 2, xax b abb ab fxxxaaxa b abb abb ab xaxa b ab ，8 分 【别解 222 111 xxaxxaa b abb abb ab 8 分】 故 2 1 f xa b ab 又2ababb ab，所以 2 14 b aba ， 故 22 2 14 4f xaa b aba ，当且仅当 2 2, 2 ab，时等号成立