2020年广东省佛山市普通高中教学质量检测文科数学试题（含答案）

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1、20192020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项注意事项： 1答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷交回 第第卷卷(选择题选择题 共共 60 分分) 一一、选择题选择题：本大题共本大题

2、共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的 1在复平面内，复数 5 1 2i 对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 2已知集合 2 20Ax xx，11Bxx ，则AB I（） A( 1,1)B( 1,2)C( 1,0)D(0,1) 3已知, x yR，且0xy，则（） Acoscos0xyBcoscos0xy Clnln0xyDlnln0xy 4函数( )f x的图像向右平移一个单位长度，所得图像与exy 关于x轴对称，则( )f x （） A 1 ex

3、B 1 exC 1 e x D 1 e x 5已知函数 2 2ln()f xxxaxa R为奇函数，则a （） A1B0C1D2 6希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一 个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ，然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形” ，我们用白色代表挖去的 面积，那么黑三角形为剩下的面积（我 们称黑三角形为希尔宾斯基三角形） 在 如图第 3 个大正三角形中随机取点，则 落在黑色区域的概率为（） A 3 5 B 9 16 C 7 16 D 2 5 7已知为锐角， 3 cos 5 ，则 ta

4、n= 42 （） A 1 3 B 1 2 C2D3 2020 年年 1 月月 高三教学质量检测（一）文科数学试题 第 2 页 共 4 页 8 “砸金蛋” （游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖” ）是现在商家一种常见促销手段今年 “双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始 前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说： “我或乙能中奖” ；乙说： “丁能中奖” ； 丙说： “我或乙能中奖” ；丁说： “甲不能中奖” 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 （） A

5、甲B乙C丙D丁 9地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各国致力于发展风力发 电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量 就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动 中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图 根据以上信息，正确的统计结论是（） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装

6、机容量在全球累计装机容量中占比超过 1 3 10已知抛物线 2 2ypx上不同三点, ,A B C的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（） A, ,A B C的纵坐标成等差数列B, ,A B C到x轴的距离成等差数列 C, ,A B C到点0,0O的距离成等差数列D, ,A B C到点,0 2 p F 的距离成等差数列 11已知函数 sinsin( )f xxx，现给出如下结论： f x是奇函数； f x是周期函数； f x在区间(0,)上有三个零点； f x的最大值为2 其中正确结论的个数为（） A1B2C3D4 12已知椭圆C的焦点为 1 F， 2 F，过 1 F的直线与C交于,A B

7、两点，若 2121 5 3 AFFFBF，则C的 离心率为（） A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 高三教学质量检测（一）文科数学试题 第 3 页 共 4 页 第第卷卷(非选择题非选择题 共共 90 分分) 本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2223 为选 考题，考生根据要求作答 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13函数( )esin x f xx在点0,1处的切线方程为 14 若实数变量, x y满足约束条件1 1 yx xy y ， 且2zxy的最大值和最小值分

8、别为m和n， 则mn 15在ABC中，1a ， 3 cos 4 C ，ABC的面积为 7 4 ，则c 16已知正三棱柱 111 ABCABC的侧棱长为()m mZ，底面边长为()n nZ，内有一个体积为V的球， 若V的最大值为 9 2 ，则此三棱柱外接球表面积的最小值为 三、解答题三、解答题：本大题共本大题共 7 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 12 分) 已知数列 n a是等比数列，数列 n b满足 12 1 2 bb， 3 3 8 b ， 11 21 n nnn abb （1）求 n

9、 a的通项公式； （2）求 n b的前n项和 18(本小题满分 12 分) 党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长 “少年强则国强” ，青少年身心健康、体魄强健、意 志坚强、 充满活力， 是一个民族旺盛生命力的体现， 是社会文明进步的标志， 是国家综合实力的重要方面 全 面实施国家学生体质健康标准 ，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要 求 国家学生体质健康标准有一项指标是学生体质指数（BMI） ，其计算公式为： 22 (kg) BMI (m ) 体重 身高 ， 当 BMI23.5时，认为“超重” ，应加强锻炼以改善 BMI 某高中高一、高二年级学生共 2000 人，

10、人数分布如表(a) 为了解这 2000 名学生的 BMI 指数情况，从中随机抽取容量为 160 的一个样本 （1）为了使抽取的 160 个学生更具代表性，宜采取分层 抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数； （2）分析这 160 个学生的 BMI 值，统计出“超重”的学生人数分布如表(b) （i）试估计这 2000 名学生中“超重”的学生数； （ii）对于该校的 2000 名学生，应用独立性检验的知识，可分 析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强应 用卡方检验，可依次得到 2 K的观测值 1 k， 2 k，试判断 1 k与 2 k的大 小关系 （只需写

11、出结论） 性别 年级 男生女生合计 高一年级5506501200 高二年级425375800 合计97510252000 表(a) 性别 年级 男生女生 高一年级46 高二年级24 表(b) 高三教学质量检测（一）文科数学试题 第 4 页 共 4 页 19(本小题满分 12 分) 如图，三棱锥PABC中，PAPBPC，90APBACB ，点,E F分别是棱,AB PB的 中点，点G是BCE的重心 （1）证明：PE 平面ABC； （2）若GF与平面ABC所成的角为60，且2GF ， 求三棱锥PABC的体积 20(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，已知两定点( 2,2)A ，(0,2)

12、B，动点P满足 | 2 | PA PB （1）求动点P的轨迹C的方程； （2） 轨迹C上有两点,E F， 它们关于直线:40l kxy对称， 且满足4OE OF uuu r uuu r ， 求OEF的 面积 21(本小题满分12分) 已知函数( )1 2 sine x f xax ，( )fx是( )f x的导函数，且(0)0 f （1）求a的值，并证明( )f x在0x 处取得极值； （2）证明：( )f x在区间 2 ,2 () 2 kkk N有唯一零点 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号题中任选一题做答，如果多做，则按所

13、做的第一题计分，做答时请写清楚题号 22(本小题满分 10 分)选修44:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 4 4 xm ym (m为参数) （1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 1 l， 2 l，其中 1 l与C交于A，B两点， 2 l与C交于M，N两点， 1 l 与 2 l交于点 00 ,P xy，求证：PA PBPMPN 23(本小题满分 10 分)选修45:不等式选讲 已知函数( )1f xxax （1）若( )2f a ，求a的取值范围； （2）当 ,xa ak时，函数( )f x的值域为1,3，求k的值

14、 文科数学参考答案与评分标准第 1页（共 4页） 20192020 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数 学(文科)参考答案与评分标准 一、选择题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 题号题号123456789101112 答案答案ADCBCBAADDBC 二、填空题：二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 1321yx1401521657 三三、解答解答题题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解析解析】 （1）由 11 21 n nnn abb ，取1

15、n ，得 221 21a bb，解得 2 4a 1 分 取2n ，得 3 32 41a bb，解得 3 8a 2 分 n a是等比数列，则 3 2 2 a q a ， 2 1 2 a a q 4 分 n a的通项公式为 1 1 2 nn n aa q 5 分 （2） 1 1 221 nn nn bb ，数列2 n n b是公差为1的等差数列 1 22(1) 1 n n bbnn ，则 2 n n n b 7 分 设 n b的前n项和为 n S，则 23 123 2222 n n n S ， 2341 123 22222 n n Sn 9 分 则 23111 11 1 ( ) 11112 22

16、1 1 22222222 1 2 n n nnnn Snnn 11 分 2 2 2 n n n S 12 分 18 【解析解析】 （1）考虑到 BMI 应与年级或性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生、高一女 生、高二男生、高二女生高一男生： 550 16044 2000 人；高一女生： 650 16052 2000 人；高二男生： 425 16034 2000 人；高二女生： 375 16030 1200 人6 分 可能的方案一：按性别分为两层，男生与女生男生： 975 16078 2000 人；女生： 1025 16082 2000 人 可能的方案二： 按年级分为两层， 高一学生

17、与高二学生 高一： 1200 16096 2000 人； 高二： 800 16064 2000 人说明：这样的方案给 3 分 （2） （i）160 人中， “超重”人数为462416人， “超重”发生的频率为 0.1，用样本的频率估计总 体概率，估计在这 2000 人中， “超重”人数为2000 0.1200人.9 分 （ii） 12 kk12 分 文科数学参考答案与评分标准第 2页（共 4页） 19.【解析解析】 （1）PAPB，E是AB的中点，PE AB1 分 90ACB ， E是AB的中点，ECEA， 又PCPA，PEPE，PEC PEA2 分 90PECPEA ，即PEEC 3 分 又

18、ABECE，PE 平面ABC.4 分 （2）连接CG并延长交BE于点O，则点O为BE的中点，连接OF，则/ /OFPE 由（1）得OF 平面ABC，FGO为GF与平面ABC所成的角，即60FGO 6 分 又在 RtFGO中，2GF ，1OG ，3OF 7 分 G是BCE的重心，,O F分别是,BE BP的中点，3OC ，2 3PE 8 分 PAPB，90APBACB ，,E O分别是,AB BE中点， 4 3AB ，2 3CE ，3OE 则在CEO中， 222222 ( 3)312(2 3)OEOCCE，OCAB10 分 所以三棱锥PABC的体积 11 11 4 3 3 2 312 33 26

19、 ABC VSPEAB OC PE V 12 分 20 【解析解析】 （1）设动点P的坐标为( , )x y，则 22 22 (2)(2) 2 (0)(2) PAxy PB xy 2 分 整理得 22 (2)(2)8xy，故动点P的轨迹是圆，且方程为 22 (2)(2)8xy4 分 （2）由（1）知动点P的轨迹是圆心为(2,2)C，半径2 2R 的圆，圆上两点,E F关于直线l对称，有 垂径定理可得圆心(2,2)在直线:40l kxy上，代入并求得1k ，故直线l的方程为40xy 易知OC垂直于直线l，且OCR6 分 设EF的中点为M，则() ()() ()OE OFOMMEOMMFOMMEO

20、MME uuu r uuu ruuuruuu ruuuruuuruuuruuu ruuuruuu r 22 4OMME uuuruuu r ，又 2222 2 OMOCCMRCM uuuruuu ruuuruuur ， 22 2 MERCM uuu ruuur 8 分 2 24CM uuur ，2CM uuur ， 2 2 6MERCM uuu ruuur ，22 6FEME uuruuu r 10 分 易知/OCFE，故O到FE的距离等于CM， 1 2 622 3 2 OEF S V 12 分 另解：易知直线EF的斜率为1，可设其方程为yxb，联立 22 (2)(2)8 yxb xy ，整理

21、得 22 22(4)40xbxbb，设 1122 ( ,),(,)E x yF xy，由韦达定理得 2 1212 4 4, 2 bb xxb x x ， 2 222 12121212 41 ()()()(4)2 22 bb y yxb xbx xb xxbbbbbb ， 2 2 1212 41 24 22 bb OE OFx xy ybb uuu r uuu r ， 2 4b ，2b 所以直线EF的方程为2yx 或2yx，原点O到直线EF的距离都是 22 2 2 11 h ，易知圆心(2,2)到直线EF的距离都为 2，故2 6EF （或 2 12 12 6EFkxx） ， 1 2 622 3

22、2 OEF S V 文科数学参考答案与评分标准第 3页（共 4页） 21 【解析解析】 （1）( )2 cose x fxax ，令(0)0 f ，得210a ， 1 2 a 2 分 ( )1 sine x f xx ，( )cosee(1 e cos ) xxx fxxx 当0x 时，e1cos x x ，( )cose0 x fxx ，故( )f x是区间(,0)上的增函数3 分 当0x 时，令( )1 e cos x g xx ，则( )e (sincos ) x g xxx，在区间 (0,) 4 上，( )0g x，故( )g x是 (0,) 4 上的减函数， ( )(0)0g xg，

23、 即在区间 (0,) 4 上，( )e( )0 x fxg x ， 因此( )f x是区间 (0,) 4 上的减函数综上所述，( )f x在0x 处取得极大值(0)0f5 分 （2）由（1）( )1 sine x f xx ， 2 (2 )1 e0 k fk （当且仅当0k 时，(0)0f ） (2 ) 2 (2 )e0 2 k fk ，( )f x在区间 2 ,2 2 kk 至少有一个零点7 分 以下讨论( )f x在区间 2 ,2 2 kk 上函数值的变化情况： 由（1）( )cosee(1 e cos ) xxx fxxx ，令( )1 e cos x g xx ，则( )e (sinc

24、os ) x g xxx， 令( )0g x，在(0,)上，解得 , 4 xmmN 当0k 时，在区间 (0,) 4 ，( )0g x，( )g x递减， ( )(0)0 4 gg；在 (,) 4 2 ，( )0g x，( )g x 递增， ( )10 2 g 故存在唯一实数 0 (,) 4 2 x ，使 0 ()0g x，即 0 00 ()e()0 x fxg x 在 0 (0,)x 上，( )0fx，( )f x递减，( )(0)0f xf； 在 0 (,) 2 x上，( )0fx，( )f x递增， 而 2 ( )e0 2 f ， 故在 0, 2 上，( )0f x ，当且仅当0x 时，

25、(0)0f故( )f x在 0, 2 上有唯一零点9 分 对任意正整数k，在区间 (2 ,2 ) 4 kk ，( )0g x，( )g x递减， 2 (2 )(2 )1 e0 4 k gkgk ， 在区间 (2 ,2 ) 42 kk，( )0g x，( )g x递增， (2 )10 2 gk ， 故存在唯一实数 (2 , 4 k xk 2 ) 2 k ，使()0 k g x，即()e()0 k x kk fxg x ，在(2 ,) k kx上，因( )0g x ，故( )0fx，( )f x 递减，在 (,2 ) 2 k xk 上，因( )0g x ，故( )0fx，( )f x递增， 2 (

26、2 )1 e0 k fk ， () k f x (2 ) 2 (2 )e0 2 k fk ，(2 )()0 k fkf x， ( )f x在区间(2 ,) k kx即 2 ,2 2 kk 有唯一零点 综上，( )f x在区间 2 ,2 () 2 kkk N有唯一零点12 分 文科数学参考答案与评分标准第 4页（共 4页） 22 【解析解析】 （1）由4ym，得 4 y m ，代入 2 4xm，得 2 4 y x ，即 2 4yx2 分 C的普通方程为 2 4yx，表示开口向右，焦点为(1,0)F的抛物线4 分 （2）设直线 1 l的倾斜角为，直线 2 l的倾斜角为， 则直线 1 l的参数方程为

27、 0 0 cos ( sin xxt t yyt 为参数)5 分 与 2 4yx联立得 222 000 sin(2sin4cos)40tytyx6 分 设方程的两个解为 12 ,t t，则 2 00 1 2 2 4 sin yx t t 7 分 2 00 12 2 4 sin yx PAPBtt 8 分 则 22 0000 22 44 sin ()sin yxyx PMPN 9 分 PAPBPMPN10 分 23.【解析解析】 （1）( )12f aa，得212a 2 分 即13a ，a的取值范围是( 1,3)4 分 （2）当1a 时，函数( )f x在区间 ,a ak上单调递增5 分 则 min ( )( )11f xf aa ，得2a max ( )()213f xf akak ，得1k 6 分 当1a 时， 21,1 ( )1,1 21, xax f xa ax xaxa 8 分 则 min ( )( )11f xf aa ，得0a max ( )()213f xf akak ，得2k 9 分 综上所述，k的值为1或210 分