2020年广东省佛山市普通高中教学质量检测理科数学试题（含答案）

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1、20192020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测学年佛山市普通高中高三教学质量检测( (一) ) 数数 学学(理科理科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项注意事项： 1答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷交回 第第卷卷(选择题选择题

2、共共 60 分分) 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的 1在复平面内，复数 5i 1+2i 对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 2已知集合 2 20Ax xx，| 1Bx x，则AB I（） A( 2, 1)B( 1,1)C(0,1)D(1,2) 3已知, x yR，且0xy，则（） Acoscos0xyBcoscos0xy Clnln0xyDlnln0xy 4函数( )f x的图像向左平移一个单位长度，所得图像

3、与exy 关于y轴对称，则( )f x （） A 1 e x B 1 e x C 1 exD 1 ex 5希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一 个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ，然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形” ，我们用白色代表挖去的 面积，那么黑三角形为剩下的面积（我 们称黑三角形为希尔宾斯基三角形） 在 如图第 3 个大正三角形中随机取点，则 落在黑色区域的概率为（） A 3 5 B 9 16 C 7 16 D 2 5 6已知等比数列 n a满足 12 36aa， 13 24aa，则使得

4、 12n a aaL取得最大值的n为（） A3B4C5D6 7已知为锐角， 3 cos 5 ，则 tan= 42 （） A 1 3 B 1 2 C2D3 2020 年年 1 月月 高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 2 页 共 4 页 8已知双曲线 22 22 :1 xy C ab ，O为坐标原点，直线xa与双曲线C的两条渐近线交于,A B两点，若 OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（） A 2 2 1 3 x yB 2 2 1 3 y x C 22 1 124 xy D 22 1 412 xy 9地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各国致力于发展

5、风力发 电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量 就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动 中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图 根据以上信息，正确的统计结论是（） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 1 3 10已知函数 1 ( )21 21 x f xx ，

6、且 2 ()(2 )3f afa，则a的取值范围是（） A(, 3)(1,) UB(, 2)(0,) UC( 2,0)D( 1,3) 11已知函数( )sinsin( )f xxx，现给出如下结论： ( )f x是奇函数； ( )f x是周期函数； ( )f x在区间(0,)上有三个零点； ( )f x的最大值为2 其中正确结论的个数为（） A1B2C3D4 12 已知正三棱柱 111 ABCABC的侧棱长为4， 底面边长为2， 用一个平面截此棱柱， 与侧棱 111 ,AA BB CC 分别交于点,M N Q，若MNQ为直角三角形，则MNQ面积的最大值为（） A3B10C17D3 2 高三教学

7、质量检测(一)理科数学试题 第 3 页 共 4 页 第第卷卷(非选择题非选择题 共共 90 分分) 本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2223 为选 考题，考生根据要求作答 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有 种 （用数字作答） 14在ABC中，2AB ，3AC ，P是边BC的垂直平分线上一点，则AP BC uuu r uuu r 15函数( )lnf xx和 2 ( )g xaxx

8、的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，则这条切线方程为 16在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线10x 的距离与该点到点O的距离 之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是；设点 5 ,0 4 A ，则|POPA的最小值 为 三、解答题三、解答题：本大题共本大题共 7 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 12 分) 绿水青山就是金山银山近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展景 区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使

9、旅游市场走上规范有序且可持 续的发展轨道某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合 影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需 支付 20 元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁。该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游 客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费 与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能 性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，

10、假设每个游 客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 18(本小题满分 12 分) 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 sinsin() 3 aBbA （1）求A； （2）D是线段BC上的点，若2ADBD，3CD ，求ADC的面积 19(本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，点 3 1, 2 A 在椭圆C上，直线 1 l过椭圆C的右焦 点与上顶点，动直线 2: lykx与椭圆C交于,M N两点，交 1

11、l于P点 （1）求椭圆C的方程； （2）已知O为坐标原点，若点P满足 1 4 OPMN，求此时MN的长度 高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 4 页 共 4 页 20(本小题满分 12 分) 如图，三棱锥PABC中，平面PAB 平面ABC，PAPB，90APBACB ，点,E F分 别是棱,AB PB的中点，点G是BCE的重心 （1）证明：/ /GF平面PAC； （2）若GF与平面ABC所成的角为60，求二面角 BAPC的余弦值 21(本小题满分12分) 已知函数( )12sin ,0f xxx x （1）求( )f x的最小值； （2）证明： 2 ( )e x f x 请考生在第请考生在

12、第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号 22(本小题满分 10 分)选修44:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 4 4 xm ym (m为参数) （1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 1 l， 2 l，其中 1 l与C交于A，B两点， 2 l与C交于M，N两点， 1 l 与 2 l交于点 00 ,P xy，求证：PA PBPMPN 23(本小题满分 10 分)选修45:不等式选讲 已知函数( )1f x

13、xax （1）若( )2f a ，求a的取值范围； （2）当 ,xa ak时，函数( )f x的值域为1,3，求k的值 理科数学参考答案与评分标准第 1页（共 4页） 20192020 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数数 学学(理理科科)参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、选择题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 题号题号123456789101112 答案答案ADCABBDADBBC 二、填空题：二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 136014 5 2 151yx16 7 0, 1

14、, 4 三三、解答解答题题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解析解析】 （1）当收费为 20 元时，照片被带走的可能性为 0.3，不被带走的可能性为 0.7，设每个游客的 利润为 1 Y(元)，则 1 Y是随机变量，其分布列为： 1 Y155 P0.30.7 1 ( )15 0.35 0.71E Y 元，则 5000 个游客的平均利润为 5000 元；2 分 当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为0.30.05 100.8，不被带走的可能性为 0.2，设每个游客的 利润为 2 Y(元)，则 2 Y是随机变量，其分布列为： 2 Y55 P0.

15、80.2 2 ()5 0.85 0.23E Y 元，则 5000 个游客的平均利润为 15000 元；5 分 该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元6 分 （2）设降价x元，则015x，照片被带走的可能性为0.30.05x，不被带走的可能性为0.70.05x， 设每个游客的利润为Y(元)，则Y是随机变量，其分布列为： Y15x5 P0.30.05x0.70.05x 2 ( )(15) (0.30.05 )5 (0.70.05 )0.0569(7) E Yxxxx 10 分 当7x 时，( )E Y有最大值 3.45 元，11 分 即当定价为 13 元时，日平均利润为 17250 元12

16、 分 18. 【解析解析】 （1）由正弦定理，可得sinsinaBbA1 分 则有 13 sin( sincos) 22 bAbAA，化简得 13 sincos 22 AA 3 分 即tan3A ，(0,)A，则 2 3 A 5 分 （2）设 ,(0,) 3 B ， 4 分 8 分 1 分 理科数学参考答案与评分标准第 2页（共 4页） 由题意得BAD，2ADC， 2 3 DAC， 3 ACD6 分 在ADC中， sinsin CDAD DACACD ，则 32 2 sin()sin() 33 7 分 32 3131 cossincossin 2222 ，得 3 sincos 5 8 分 结合

17、 22 sincos1，可得 21 sin 14 ， 5 7 cos 14 9 分 则 5 3 sin22sincos 14 10 分 115 315 3 sin2 3 22414 ADC SAD CDADC 12 分 19 【解析解析】 （1）由题意得 1 2 c e a ， 2 22 3 ( ) 1 2 1 ab ，结合 222 abc， 解得 2 4a ， 2 3b ，1c 3 分 故所求椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （2）易知定直线 1 l的方程为330xy5 分 联立 22 1 43 ykx xy ，整理得 22 (34)12kx，解得 2 12 34 x k ， 无

18、妨令M点坐标为 22 1212 (,) 3434 k kk 7 分 1 4 OPMN，由对称性可知，点P为OM的中点，故P点坐标为 22 1212 3434 (,) 22 k kk 8 分 又P在直线 1: 330lxy上，故 22 1212 3434 330 22 k kk ， 解得 12 2 3 0, 3 kk故M点坐标为(2,0)或 6 4 3 ( ,) 55 10 分 所以2OM 或 2 21 5 ，所以MN的长度为4或 4 21 5 12 分 理科数学参考答案与评分标准第 3页（共 4页） 20.【解析解析】 （1）连接EF，连接EG并延长交BC于点D，则点D为BC的中点， 从而点,

19、D E F分别是棱,CB AB PB的中点，/ /DEAC，/ /EFAP1 分 又,DE EF 平面PAC，,AC AP 平面PAC / /DE平面PAC，/ /EF平面PAC 2 分 又,DE EF 平面EFG，DEEFE，平面/ /EFG平面PAC3 分 又GF 平面EFG，/ /GF平面PAC。4 分 （2）连接PE，PAPB，E是AB的中点，PE AB，平面PAB 平面ABC，平面PAB 平面ABCAB，PE 平面PAB，PE 平面ABC6 分 连接CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连接OF，则/ /OFPE，OF 平面ABC FGO为GF与平面ABC所成的角，即60FGO

20、7 分 在 RtFGO中，设2GF ，则1OG ，3OF ，3OC ，2 3PE 4 3AB ，2 3CE ，3OE ， 222 OEOCCE，即OCAB 8 分 如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0, 3 3,0)A，(3,0,0)C，(0,3,2 3)P， (3,3 3,0)AC ，(0,2 3,2 3)AP ，设平面PAC的一个法向量为 1 ( , , )x y zn， 则由 1 1 33 30 2 32 30 APxy ACyz n n ，可取 1 ( 3, 1,1)n10 分 又平面PAB的一个法向量可取 2 (1,0,0)n 11 分 则 12 12 12 315 cos, |5

21、5 n n n n nn ，所以二面角BAPC的余弦值为 15 5 12 分 21.【解析解析】 （1）( )1 2cosfxx ，令( )0fx，得 1 cos 2 x 1 分 故在区间0,上，( )fx的唯一零点是 3 x 2 分 当 0,) 3 x时，( )0fx，( )f x单调递减；当 (, 3 x时，( )0fx，( )f x单调递增3 分 故在区间0,上，( )f x的极小值为 ( )13 33 f 4 分 当x 时， ( )121( ) 3 f xf ，所以( )f x的最小值为 ( )13 33 f 5 分 （2）要证：0x 时， 2 ( )e x f x ，即证：0x 时，

22、 2 ( )(12sin )e1 x g xxx6 分 222 ( )2(12sin )e(1 2cos )e(324sin2cos )e xxx g xxxxxxx，7 分 令( )sin ,0h xxx x，则( )1 cos0h xx ，即( )h x是(0,)上的增函数 理科数学参考答案与评分标准第 4页（共 4页） ( )(0)0h xh，即sinxx9 分 324sin2cos32sin4sin2cos32(sincos )32 2sin()0 4 xxxxxxxxx 2 ( )(324sin2cos )e0 x g xxxx11 分 即( )g x是(0,)上的增函数，( )(0

23、)1g xg，故当0x 时， 2 ( )e x f x 12 分 22 【解析解析】 （1）由4ym，得 4 y m ，代入 2 4xm，得 2 4 y x ，即 2 4yx2 分 C的普通方程为 2 4yx，表示开口向右，焦点为(1,0)F的抛物线 4 分 （2）设直线 1 l的倾斜角为，直线 2 l的倾斜角为， 则直线 1 l的参数方程为 0 0 cos ( sin xxt t yyt 为参数) 5 分 与 2 4yx联立得 222 000 sin(2sin4cos)40tytyx6 分 设方程的两个解为 12 ,t t，则 2 00 1 2 2 4 sin yx t t 7 分 2 00

24、 12 2 4 sin yx PAPBtt 8 分 则 22 0000 22 44 sin ()sin yxyx PMPN 9 分 PAPBPMPN10 分 23.【解析解析】 （1）( )12f aa，得212a 2 分 即13a ，a的取值范围是( 1,3)4 分 （2）当1a 时，函数( )f x在区间 ,a ak上单调递增5 分 则 min ( )( )11f xf aa ，得2a max ( )()213f xf akak ，得1k 6 分 当1a 时， 21,1 ( )1,1 21, xax f xa ax xaxa 8 分 则 min ( )( )11f xf aa ，得0a max ( )()213f xf akak ，得2k 9 分 综上所述，k的值为1或2 10 分