高考数学讲义椭圆.板块一.椭圆的方程.教师版

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1、 1 【例1】 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆 的标准方程为（ ） A 22 1 259 xy B 22 1 259 yx C 22 1 79 yx D 22 1 79 xy 【考点】椭圆的方程 【难度】1 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】281543cacacb ， 【答案】A 【例2】 已知椭圆 22 1 5 xy m 的离心率 10 e 5 ，则m的值为（ ） A3 B 5 15 3 或15 C5 D 25 3 或3 【考点】椭圆的方程 【难度】1 星 【题型】选择 【关键字】2010 年，北京一模 【解析】5m时， 510 3 55 m

2、 em ；5m时， 51025 53 m em m 【答案】D 【例3】 设定点 12 (03)(0 3)FF，动点P满足条件)0( 9 21 a a aPFPF，则点P的 轨迹是（ ） A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段 【考点】椭圆的方程 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】 12 99 26PFPFaa aa ，当且仅当3a 时取等号 当 12 6PFPF时，点P的轨迹是线段 12 F F； 典例分析 板块一.椭圆的方程 2 当 12 6PFPF时，点P的轨迹是椭圆 【答案】D 【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率 1 2 e ，且它的一个焦点与抛物线 2 4yx的

3、焦点 重合， 则此椭圆方程为（ ） A 22 1 43 xy B 22 1 86 xy C 2 2 1 2 x y D 2 2 1 4 x y 【考点】椭圆的方程 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】2004 年，全国高考 【解析】抛物线 2 4yx的焦点坐标为( 1 0) ，则椭圆的1c ，又 1 2 e ，则2a ，进 而 2 3b ，所以椭圆方程为 22 1 43 xy ，选 A 【答案】A 【例5】 设 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab 的 离 心 率 为 1 e 2 ， 右 焦 点 为(0)F c， 方 程 2 0a xb xc的两个实根分别为 1 x和 2 x，则

4、点 12 ()P xx，（ ） A必在圆 22 2xy内 B必在圆 22 2xy上 C必在圆 22 2xy外 D以上三种情形都有可能 【考点】椭圆的方程 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】由已知有 1 e 2 c a ，于是 22 222 121212 22 2 ()212 bcb xxxxx x aaa 【答案】A 【例6】 已知 22 2 1 2 xy mm 表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ） A2m 或1m B2m C12m D2m 或21m 【考点】椭圆的方程 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】2009 年，东城一模 【解析】由 2 20 2 m m

5、m 解得2m 或21m 【答案】D 3 【例7】 经过点( 3 0)P ，(02)Q，的椭圆的标准方程是 ； 【考点】椭圆的方程 【难度】1 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】两点都在坐标轴上，故为椭圆的两个端点，又| 3| | 2| ，故椭圆的焦点在x轴上， 从而得椭圆的标准方程为 22 1 94 xy ； 【答案】 22 1 94 xy ； 【例8】 已知焦点坐标为( 4 0) ，(4 0)，且6a 的椭圆方程是_； 【考点】椭圆的方程 【难度】1 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】已知椭圆的焦点在x轴上，且4c ，又6a ，故 222 6420b ， 从而所求的椭圆方程为 2

6、2 1 3620 xy ； 【答案】 22 1 3620 xy 【例9】 巳知椭圆G的中心在坐标原点， 长轴在x轴上， 离心率为 3 2 ， 且G上一点到G的 两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 【考点】椭圆的方程 【难度】1 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 3 e212 2 c a a ，于是63 33acb，则所求椭圆方程为 22 1 369 xy 【答案】 22 1 369 xy 【例10】 已知椭圆的中心在原点， 长轴长为12， 离心率为 1 3 ， 则椭圆的方程是_ 【考点】椭圆的方程 【难度】1 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】由题意知212a ， 1 3

7、 c a 知：6a ，2c ， 2 36432b ， 故椭圆的标准方程为： 22 1 3632 xy 或 22 1 3236 xy 4 【答案】 22 1 3632 xy 或 22 1 3236 xy 【例11】 若椭圆 22 1 2 xy m 的离心率为 1 2 ，则m 【考点】椭圆的方程 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 若椭圆的焦点在x轴上， 则2m ，2a ，2cm， 有 21 22 m ， 解得 3 2 m ； 若椭圆的焦点在y轴上，则2m ，am，2cm，有 21 2 m m ，解得： 8 3 m ； 故 3 2 m 或 8 3 m 【答案】 3 2 m 或 8

8、 3 m 【例12】 若椭圆满足条件2a ， 1 e 2 ，则椭圆的标准方程为 【考点】椭圆的方程 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 22 1 43 xy 或 22 1 43 yx 【答案】 22 1 43 xy 或 22 1 43 yx 【例13】 已知椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为20，焦距为4 5，则 椭圆的标准方程为_ 【考点】椭圆的方程 【难度】1 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】设所求椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab 由题意得 2220 24 5 ab c ，即 22 10 20 ab ab 解得64ab， 5 所以

9、椭圆方程为 22 1 3616 xy 【答案】 22 1 3616 xy 【例14】 若椭圆 22 1 89 xy k 的离心率为 1 e 2 ，则k的值等于 【考点】椭圆的方程 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若椭圆的焦点在x轴上，则 2 8ak， 2 9b ， 2 1ck， 2 2 2 11 84 ck e ak ， 解得4k ； 若椭圆的焦点在y轴上，则 2 9a ， 2 9(8)1ckk ， 2 11 94 k e ， 解得 5 4 k ； 【答案】4k 或 5 4 【例15】 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标： 22 1 128 xy 22 1 812 xy 【考点

10、】椭圆的方程 【难度】1 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 2 12a ， 2 8b ，1282c ，椭圆的焦点在x轴上， 故它的焦距为4，顶点坐标为( 2 3 0)，、(02 2)，； 2 12a ， 2 8b ，1282c ，椭圆的焦点在y轴上， 故它的焦距为4，顶点坐标为(02 3)，、( 2 2 0)， 【答案】焦距为4，顶点坐标为( 2 3 0)，、(02 2)，； 焦距为4，顶点坐标为(02 3)，、( 2 2 0)， 【例16】 求椭圆 22 1 1625 xy 的焦距、顶点坐标 【考点】椭圆的方程 【难度】1 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】椭圆的焦点在y轴上，

11、5a ，4b ，25163c ， 6 故焦距为6，顶点坐标为(05)，和( 4 0) ，准线方程为 25 3 y ； 【答案】焦距为6，顶点坐标为(05)，和( 4 0) ，准线方程为 25 3 y ； 【例17】 求焦点的坐标分别为(03)，和(0 3)，且过点 16 (3) 5 P，的椭圆的方程 【考点】椭圆的方程 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】法一： 由椭圆的定义知 2222 1616 2()(33)()(33)10 55 a ， 从而5a ，3c ， 2 16b ，又椭圆的焦点在y轴上， 故所求的标准方程为 22 1 2516 yx ； 法二： 3c ，且焦点在y

12、轴上，故可设椭圆的方程为 22 22 1 9 yx aa ， 又椭圆过点 16 (3) 5 P，故有 2 22 16 () 9 5 1 9aa ，解得 2 25a 或 2 81 25 a ， 又 2 9a ，故 2 25a ，从而得所求的椭圆的标准方程为 22 1 2516 yx ； 【答案】 22 1 2516 yx 【例18】 已知椭圆的中心在原点，且经过点(3 0)P，3ab，求椭圆的标准方程 【考点】椭圆的方程 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】当焦点在x轴上时，设其方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 此时(3 0)P，是长轴的一个端点，3a ，1b

13、， 故椭圆的方程为 2 2 1 9 x y 当焦点在y轴上时，设其方程为 22 22 1(0) yx ab ab ， 此时(3 0)P，是短轴的一个端点，3b ，9a ， 故椭圆的方程为 22 1 819 yx 综上知，所求椭圆的标准方程为 2 2 1 9 x y或 22 1 819 yx 7 【答案】 2 2 1 9 x y或 22 1 819 yx 【例19】 若椭圆的对称轴在坐标轴上， 两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点， 又焦 点到同侧长轴端点的距离为21，求椭圆的方程 【考点】椭圆的方程 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】若椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的几何意义

14、可知， 2 21 bc ab ac ，解之得： 21ab，此时椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 同理焦点也可以在y轴上，综上所述，椭圆的方程为 2 2 1 2 x y或 2 2 1 2 y x 【答案】 2 2 1 2 x y或 2 2 1 2 y x 【例20】 已知常数0a ，向量(0)(1 0)cai， ，经过原点O以ci为方向向量的直线 与经过定点(0)Aa，以2ic为方向向量的直线相交于点P，其中R试问： 是否存在两个定点EF，使得|PEPF为定值若存在，求出EF，的坐标； 若不存在，说明理由 【考点】椭圆的方程 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】(0)(1 0

15、)cai， ，()cia，2(12)ica， 因此，直线OP和AP的方程分别为yax和2yaax 消去参数，得点()P xy，的坐标满足方程 22 ()2y yaa x 整理得 2 2 2 () 2 1 1 ( ) 82 a y x a 因为0a ，所以得： 当 2 2 a 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； 当 2 0 2 a时， 方程表示椭圆， 焦点 2 11 () 222 a Ea，和 2 11 () 222 a Fa，为 满足题意的两个定点； 8 当 2 2 a 时 ， 方 程 也 表 示 椭 圆 ， 焦 点 2 11 (0() 22 Eaa，和 2 11 (0() 22

16、 Faa，为合乎题意的两个定点 注： 由于向量可以用一条有向线段来表示， 有向线段的方向可以决定解析几何中直 线的斜率， 故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系 求解此类问题 的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决 【答案】当 2 2 a 时，不存在合乎题意的定点E和F； 当 2 0 2 a时，焦点 2 11 () 222 a Ea，和 2 11 () 222 a Fa，为满足题意的两个 定点； 当 2 2 a 时， 焦点 2 11 (0() 22 Eaa，和 2 11 (0() 22 Faa，为合乎题意的两 个定点 【例21】 离心率为 4 5 的椭圆

17、22 22 10 xy Cab ab 上有一点M到椭圆两焦点的距离和为 10， 以椭圆C的右焦点0F c，为圆心， 短轴长为直径的圆有切线PT（T为切点） ， 且点P满足PTPB（B为椭圆C的上顶点） 求椭圆的方程； 求点P所在的直线方程l 【考点】椭圆的方程 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】依题意有： 222 4 5 210 abc c a a ，解得： 5 3 4 a b c 所以椭圆方程为： 22 1 259 xy 设点P xy，由得50F，所以圆F的方程为： 2 2 59xy 22 PTPFrPFrPB， 222 22 59PTPFrPFrPFrxy， 22 2 3

18、PBxy， 所以 22 22 593xyxy， 化简得：10670xy 【答案】 22 1 259 xy ；10670xy 9 【例22】 已知椭圆 22 1(0) xy mn mn 上一点(6 8)P， 1 F、 2 F为椭圆的两个焦点，且 12 PFPF，求椭圆的方程 【考点】椭圆的方程 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 12 PFPF， 12 1 2 POFF， 222 68100c ，10c 法一：于是有 3664 1801 80 100 m mn n mn ，椭圆的方程为 22 1 18080 xy 法二：在 12 Rt FPF中， 222 1212 PFPFFF

19、， 222 ()()4mexmexc， 即 22 2 1010 664 10mm mm 180m （20m 舍去） ， 2 80nmc 椭圆的方程为 22 1 18080 xy 法三：于是椭圆的焦点为( 10 0) (10 0)， ， 由椭圆的定义知： 2222 2( 106)8(106)812 5m ， 故 2 (6 5)180m ，18010080n ， 椭圆的方程为 22 1 18080 xy 【答案】 22 1 18080 xy 【例23】 设椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F， 上顶点为A， 过点A作垂直于AF 的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点

20、Q，且 8 5 APPQ 求椭圆C的离心率； 若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：350xy相切，求椭圆C的方程 【考点】椭圆的方程 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】设 0 (0)Q x ，由(0)Fc ，(0)Ab，知()FAc b， 0 ()AQxb， 10 y xF Q P A O FAAQ， 2 0 0FA AQcxb， 2 0 b x c 设 11 ()P xy，由 8 5 APPQ，得 2 11 85 1313 b xyb c ， 因为点P在椭圆上，所以 2 22 22 8 5 13 13 1 b b c ab ， 整理得 2 23bac，即 22 2()3ac

21、ac， 2 2e3e20， 解得椭圆的离心率 1 e 2 由知 2 23bac， 又 2 a c e a， 从而 22 33 24 baca， 于是(0) 2 a F ， 3 (0) 2 Qa， AQF的外接圆圆心为(0) 2 a ，半径 1 | 2 rFQa， 由圆心到直线l的距离为a，可得 |5| 2 2 a a ，解得2a ， 因此所求椭圆方程为 22 1 43 xy 【答案】 1 e 2 ； 22 1 43 xy 【例24】 已知 12 FF，是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、 右焦点， 点(2 1)P ，在椭圆上， 线段 2 PF与y轴的交点M满足 2 0PM

22、F M 求椭圆C的方程 椭圆C上任一动点 00 ()M xy，关于直线2yx的对称点为 111 ()Mxy，求 11 34xy的取值范围 【考点】椭圆的方程 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】由已知，点(2 1)P ，在椭圆上， 11 有 22 21 1 ab 又 2 0PMF M，M在y轴上， M为P、 2 F的中点， 20c，2c 22 2ab， 解，得 2 2b （ 2 1b 舍去） ， 2 4a 故所求椭圆C的方程为 22 1 42 xy 点 00 ()M xy，关于直线2yx的对称点为 111 ()Mxy， 01 01 0101 21 2 22 yy xx yyxx

23、 ，解得 00 1 00 1 43 5 34 5 yx x yx y ， 110 345xyx 点 00 ()P xy，在椭圆 22 :1 42 xy C上， 0 22x ，即有 0 10510x 即 11 34xy的取值范围为 10 10， 【答案】 22 1 42 xy ； 11 34xy的取值范围为 10 10， 【例25】 过椭圆C： 22 22 1(0) yx ab ab 上一点P引圆O： 222 xyb的两条切线PA、 PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N两点 设 00 ()P xy，且 00 0x y ，求直线AB的方程； 若椭圆C的短轴长为8，且 22 22

24、 25 |16 ab OMON ，求此椭圆的方程； 试问椭圆C上是否存在满足0PA PB的点P，说明理由 【考点】椭圆的方程 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】直线AB的方程： 2 0000 (0)x xy yb x y； 12 P B A N M y xO 由题设有4b ， 由直线AB的方程可得 22 00 00 bb MN xy ， ， 于是 22222222 2000 0 22422222 25 |16 yxyabaaa x OMONbbbbab ， 解得5a ， 故椭圆C的方程为 22 1 1625 xy 假设存在点 00 ()P xy，满足0PA PB， 连结OA、

25、OB，由| |PAPB，知四边形PAOB为正方形，|2 |OPOA 222 00 2xyb 又P在椭圆上， 222222 00 a xb ya b 由得 222 2 0 22 (2)b ab x ab ， 22 2 0 22 a b y ab 0ab， 22 ab 当 22 20ab 即2ab时，椭圆C上存在点P满足题设条件； 当 22 2ab即2bab时，椭圆C上不存在满足题设的点P 【答案】直线AB的方程： 2 0000 (0)x xy yb x y； 22 1 1625 xy ； 当 22 20ab 即2ab时，椭圆C上存在点P满足题设条件； 当 22 2ab即2bab时，椭圆C上不存在

26、满足题设的点P 【例26】 已知A B C， ，均在椭圆 2 2 2 :1(1) x Mya a 上，直线AB、AC分别过椭圆的左右 焦点 1 F、 2 F，当 12 0AC FF时，有 2 121 9AF AFAF 求椭圆M的方程； 设P是椭圆M上的任一点，EF为圆 22 :(2)1N xy的任一条直径，求 PE PF的最大值 【考点】椭圆的方程 【难度】4 星 13 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 12 0AC FF， 12 ACFF，即 12 AF F为直角三角形， 1122 |cos|AFF AFAF 于是 2 22 121212211 99|cos9|AF AFAFAFFAFA

27、FAFAF， 12 | 3|AFAF 又 12 | 2AFAFa， 12 3 | 22 a AFaAF， 在 12 RtAFF中， 222 1221 |AFAFF F， 即 22 2 3 4(1) 22 a aa ，解得 2 2a ， 故所求椭圆M方程为 2 2 1 2 x y P F E y xO N F2F1 C B A () ()PE PFNENPNFNP 22 2 () ()()1NFNPNFNPNPNFNP 从而只需求 2 NP的最大值 P是椭圆M上的任一点，设 00 ()P xy，则有 2 20 0 1 2 x y，即 22 00 22xy 又(0 2)N，所以 2 22222 0

28、0000 (2)22(2)(2)10NPxyyyy 而 0 1 1y ，所以当 0 1y 时， 2 NP取最大值9， 故PE PF的最大值为8 【答案】 2 2 1 2 x y； PE PF的最大值为8 【例27】 设椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，离心率 2 2 e ， M、 N是直线l： 2 a x c 上的两个动点，且 12 0FM F N （1）若 12 | | 2 5FMF N，求a、b的值 14 （2） 证明：当|MN取最小值时， 12 FMF N与 12 FF共线 【考点】椭圆的方程 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】200

29、8 年，四川高考 【解析】 （1）由已知， 1( 0)Fc ， 2( 0)F c， y x OF2 F1 N M 由 2 2 e ， 2 2 1 2 c a ， 22 2ac 又 222 abc， 22 bc， 22 2ab l： 22 2 2 ac xc cc ， 因此 1 (2)Mcy， 2 (2)Ncy， 法一： 延长 2 NF交 1 MF于P，记l交x轴于Q P Q M N F1F2 O x y 12 0FM F N， 12 FMF N 12 FMF N 由平面几何知识易证 12 Rt MQFRt F QN， 1 3QNFQc， 2 QMFQc，即 1 yc， 2 3yc 12 2 5

30、FMF N， 22 920cc， 2 2c ， 2 2b ， 2 4a 2a ，2b 法二： 12 0FM F N， 12 (3) ()0cycy， 2 12 30y yc 又 12 2 5FMF N， 联立 2 12 22 1 22 2 3 920 20 y yc cy cy ，消去 1 y、 2 y得： 224 (209)(20)9ccc，解得 2 2c 2a ，2b 15 （2） 1212 (3) ()0FM F Ncycy， 2 12 30y yc 2 2 222 121212121212 222412MNyyyyy yy yy yy yc 当且仅当 12 3yyc 或 21 3yyc

31、 时，取等号此时MN取最小值2 3c 此时 1212 (33 )(3 )(40)2FMF NcccccFF， 12 FMF N与 12 FF共线 另解： 12 0FM F N， 12 (3) ()0cycy， 2 12 3y yc 设 1 MF， 2 NF的斜率分别为k， 1 k 由 1 () 3 2 yk xc ykc xc ；由 2 1 () 2 yxcc yk k xc ； 12 1 32 3MNyyckc k 当且仅当 1 3k k 即 2 1 3 k ， 3 3 k 时取等号 即当MN最小时， 3 3 k ， 此时 1212 (33)(33 )(3 )(40)2 c FMF Nckc

32、ccccccFF k ，=， 12 FMF N与 12 FF共线 【答案】 （1）2a ，2b （2） 1212 (3) ()0FM F Ncycy， 2 12 30y yc 2 2 222 121212121212 222412MNyyyyy yy yy yy yc 当且仅当 12 3yyc 或 21 3yyc 时，取等号此时MN取最小值2 3c 此时 1212 (33 )(3 )(40)2FMF NcccccFF， 12 FMF N与 12 FF共线 另解： 12 0FM F N， 12 (3) ()0cycy， 2 12 3y yc 设 1 MF， 2 NF的斜率分别为k， 1 k 由 1 () 3 2 yk xc ykc xc ；由 2 1 () 2 yxcc yk k xc ； 12 1 32 3MNyyckc k 当且仅当 1 3k k 即 2 1 3 k ， 3 3 k 时取等号 即当MN最小时， 3 3 k ， 此时 1212 (33)(33 )(3 )(40)2 c FMF NckcccccccFF k ，=， 12 FMF N与 12 FF共线