高考数学讲义统计.复习题

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1、 1 【例1】 下列抽样问题中最适合用系统抽样方法抽样的是（ ） A从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动 B 一个城市有210家百货商店， 其中大型商店20家， 中型商店40家， 小型商店150 家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本 C从参加模拟考试的1200名考生中随机抽取100人分析试题作答情况 D从参加模拟考试的1200名考生中随机抽取10人了解某些情况 【难度】 【解析】 C； A 中总体容量和样本容量都较小，可以用抽签法； B 中总体中的个体有明显的层次，分层抽样较好； C 中总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样法； D 中总体容量较大，样本较小，可用

2、随机数表法 【例2】 某校高三年级 195 名学生已编号为 1，2，3，195，为了解高三学生的饮食情 况，要按1 5的比例抽取一个样本，若采用系统抽样方法进行抽取，其中抽取 3 名学生的编号可能是（ ） A3，24，33 B31，47，147 C133，153，193 D102， 132，159 【难度】 【解析】 C 【例3】 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为 n的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本 容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样本容 量为_ 【难度】 【解析】 6; 总体容量36N

3、（人） ， 当样本容量为n时，系统抽样间隔为 36 * n N 分层抽样的抽样比为 36 n ，求得工程师、技术员、技工的样本人数分别为 632 nnn ， ， 所以n应是6的倍数，36的约数，即6 12 18n ， ， 当样本容量为1n 时， 总体中先剔除1人， 还有35人， 系统抽样间隔为 35 * 1n N， 所以n只能是6 【例4】 某中学高中部有三个年级，其中高一有学生400人，采用分层抽样抽取一个容 量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，问高中部共有多少 统计 2 学生？ 【难度】 【解析】 高一年级抽取的样本人数为：45151020人， 高一年级共有400人，且

4、分层抽样抽取的比例相同，设这所学校高中部有x人，则 有： 400:20:45x，解得900x （人） ， 故这所学校高中部共有900人 【例5】 （05 年湖南）某工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙三条生产 线为检查产品的质量，决定采用分层抽样法进行抽样已知甲、乙、丙三条 生产线抽取的个数成等差数列，则乙生产了_件产品 【难度】 【解析】 根据分层抽样的抽样比相等知：甲、乙、丙三条生产线生产的产品数量比等于 抽取的样品容量比 又这三条生产线抽取的产品个数成等差数列， 根据等差数列的性质知， 它们生产的 产品也成等差数列 又乙生产线生产的产品数量为甲、丙的等差中项，且和为1680

5、0， 故乙生产的产品数量为： 16800 5600 3 件 【例6】 （2009 山东文） 一汽车厂生产， ，A B C三类轿车， 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号， 某月的 产量如下表（单位：辆） ： 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆 求z的值 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本 将该样本看成一个总 体，从中 任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆， 经检测它们的得分如下：9.4， 8.6，9.2， 9.6

6、，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一 个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率 【难度】 【解析】 设该厂这个月共生产轿车n辆， 由题意得 5010 100300n ，所以2000n ， 则2000(100300) 150450600400z 设所抽样本中有a辆舒适型轿车， 由题意 400 10005 a ，得2a 因此抽取的容量为 5 的样本中，有 2 辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车 用 1 A， 2 A表示2辆舒适型轿车，用 1 B， 2 B， 3 B表示3辆标准型轿车，用E表 示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 3

7、 则基本事件空间包含的基本事件有： 12 ()，AA， 11 ()，AB， 12 ()，AB， 13 ()，AB， 21 ()，AB， 22 ()，AB， 23 ()，AB， 12 ()，BB， 13 ()BB， 23 ()，BB，共10个 事件E包含的基本事件有： 12 ()，AA， 11 ()，AB， 12 ()，AB， 13 ()，AB， 21 ()，AB， 22 ()，AB， 23 ()，AB， 共7个， 故 7 ( ) 10 P E ， 即所求概率为 7 10 样本平均数 1 (9.48.69.29.68.79.39.08.2)9 8 x 设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平

8、均数之差的绝对值不超过 0.5”， 则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有： 9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个， 所以 63 () 84 P D ， 即所求概率为 3 4 【例1】 （2009 福建 3） 一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下： 组 别 0 10， 1020， 2030， 3040， 4050， 5060， 6070， 频 数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在1040，上的频率为（ ） A0.13 B0.39 C0.52 D0.64 【难度】 【解析】 C； 由题意可知频数在10 40，的有：13241

9、552，由频率频数总数可得 所求频率为 52 0.52 100 【例2】 为了了解小学生的体能情况， 抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试， 将所得 的数据整理后画出频率分布直方图（如下图） ，已知图中从左到右的前三个小组的 频率分别是0.1 0.3 0.4，第一小组的频数是5 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数； 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？ 参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀， 试估计该校此年级跳绳成绩优秀率 是多少？ 4 O 频率 组距 次数 149.5124.599.574.5 49.5 【难度】 【解析】 第四小组的频率1(0.10.30.4)0.

10、2因为第一小组的频数为5，第一小组的 频率为0.1， 所以参加这次测试的学生人数为 5 50 0.1 0.3 5015 0.4 5020 0.2 5010， 则 四 个 小 组 的 频 数 分 别 为 5 15 20 10， ， ，所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内 跳绳成绩的优秀率为(0.40.2) 100%60% 【例1】 （2009 年福建 12） 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位 评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示， 记 分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平 均分为91， 复核员在复核时， 发现有一个数字 （茎 叶图中的x）无法看清若记分员计算无误，则数字x应

11、该是 【难度】 【解析】 1； 由茎叶图可知所有评分为：88 89 89 92 93 992 91 94x， ， ， ， ， ， ， ， 若4x ， 去掉9x， 易知剩下的数的平均数大于91；故94为最高分，去掉88与94后，有 89899293909291791x，解得1x 【例2】 （2009 广东 18） 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm） ，获得身高数 据的茎叶图如图 乙班甲班 98 8 6 5 3 9 2 0 1 9 88 9 3 1 8 2 0 2 15 16 17 18 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； 计算甲班的样本方差 现从乙班这10名同学中

12、随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为 176cm的同学被抽中的概率 【难度】 【解析】 由茎叶图可知： 甲班身高集中于160 179之间，而乙班身高集中于170 180之间 作品A 8 9 8 9 9 2 3 x 2 1 4 5 因此乙班平均身高高于甲班； 158162163168168170171 179179182 170 10 x 甲班的样本方差为 2222 2 1 (158170)162170163 170168170168170 10 22222 170170171 17017917017917018217057.2 设身高为176cm的同学被抽中的事件为A； 从乙班 1

13、0 名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：181 173，181 176， 181 178，181 179，179 173，179 176，179 178，178 173，178 176， 176 173，共10个基本事件，而事件A含有 4 个基本事件； 42 105 P A 【例3】 （2008 上海 9） 已知总体的各个体的值由小到大依次为2 3 3 712 13.7 18.3 20a b， ， ， ，且总 体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 【难度】 【解析】 10.5，10.5； 10.5 2 ab 21ab，要使方差最小，只需 22 (10.5

14、)(10.5)ab最小，当且 仅当 22 ab最小，显然当10.5ab时取到最小值 【例4】 两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床 的产品中各抽出4件进行测量，结果如下： 机床甲 10 9.9 10 10.2 机床乙 10.1 10 9.9 10.1 如果你是质量检验员，在得到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台 机床生产的零件质量更符合要求？ 【难度】 【解析】 先计算平均直径： 1 (109.91010.2)10.025 4 x 甲 ， 1 (10.1 109.910.1)10.025 4 x 乙 ， 由于xx 乙甲 ，因此平均直径反映不出两台机床生

15、产零件的质量优劣 再计算方差： 222 1(9.9 10)(10.210) 0.0125 4 s 甲 ； 2222 1(10.1 10) (9.910)(10.1 10) 0.0075 4 s 乙 ； 由于 22 ss 乙甲，这说明乙机床生产出的零件直径波动小； 因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求 【例5】 提出统计假设 0 H，计算出 2 的值，则拒绝 0 H的是（ ） A 2 7.331 B 2 2.9 C 2 0.8 D 2 1.9 【难度】 【解析】 A 6 【例6】 下表中给出了某周内中学生是否喝过酒的随机调查结果， 若要使结论的可靠性不低 于 95%，

16、根据所调查的数据，能否作出该周内中学生是否喝过酒与性别有关的结 论？ 喝过酒 没喝过酒 总计 男生 77 404 481 女生 16 122 138 总计 93 526 619 【难度】 【解析】 提出假设 0 H：该周内中学生是否喝过酒与性别无关 由列联表中的数据，算出 2 1.6366， 当 0 H成立时， 2 3.841的概率约为0.05，而这里 2 1.63663.841， 所以，不能推断出喝酒与性别有关的结论 【例7】 为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行 了相应的抽样调查，调查结果如表所示根据所选择的 193 个病人的数据，能否 作出药的效果与给

17、药方式有关的结论？ 有效 无效 合计 口服 58 40 98 注射 64 31 95 合计 122 71 193 【难度】 【解析】 在口服的病人中，有 58 59% 98 的人有效；在注射的病人中，有 64 67% 95 的人有 效从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认 为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明 提出假设 0 H：药的效果与给药方式没有关系由列联表中的数据，算出 2 2 193 (58 3140 64) 1.3896 122 71 98 95 ，查表有 2 (2.072)0.15P 当 0 H成立时， 2 1.3896的概率

18、大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的 调查数据，不能否定假设 0 H，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论 点评：如果观测值 2 2.706，那么就认为没有充分的证据显示两个分类变量有 关系，但也不能作出结论“ 0 H成立”，即两个变量没有关系 【例8】 某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学优秀的有 360 人，非优秀的有 880 人数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所 示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？ 物理优秀 化学优秀 总分优秀 数学优秀 228 225 267 数学非优秀 143 156 99 【难度】 【解析】 列出

19、数学与物理优秀的22列联表如下 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 228 132 360 数学非优秀 143 737 880 7 总计 371 869 1240 由公式计算可得： 2 270.1143 列出数学与化学优秀的22列联表如下 化学优秀 化学非优秀 总计 数学优秀 225 135 360 数学非优秀 156 724 880 总计 381 859 1240 由公式计算可得： 2 240.6112 列出数学与总分优秀的22列联表如下 总分优秀 总分非优秀 总计 数学优秀 267 93 360 数学非优秀 99 781 880 总计 366 874 1240 由公式计算可得： 2 2486.1225 综上可知， 数学成绩优秀则最大可能总分也优秀， 即数学成绩优秀与总分也优秀关 系较大