高考数学讲义推理与证明.复习题

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1、 1 版块一：合情推理与演绎推理版块一：合情推理与演绎推理 题型一：合情推理 【题1】迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了 630 万位的最大质数。小王发现 由 8 个质数组成的数列 41，43，47，53，61，71，83，97 的一个通项公式， 并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小 王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的 一个数是 （ ） A1643 B1679 C1681 D1697 【答案】C。 【题2】观察下列数的特点 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 中,第 100 项是( ) 【答案】 （C） 【题3】公

2、比为4的等比数列 n b中， 若 n T是数列 n b的前n项积， 则有 30 40 20 30 10 20 , T T T T T T 也 成等比数列， 且公比为 100 4； 类比上述结论， 相应地在公差为3的等差数列 n a 中，若 n S是 n a的前n项和，则数列 也成等差数列,且公 差为 。 【答案】 1020 SS， 2030 SS， 3040 SS；300。 【题4】在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件 首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成 如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所

3、示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形, 以后每件首饰都在 前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边 形,依此推断第 6 件首饰上应有_颗珠宝;则前n件首饰所用 珠宝总数为_颗.(结果用n表示) 推理与证明 2 【答案】66, 141 6 n nn 。 【题5】在等差数列 n a中，若0 10 a，则有等式 n aaa 21 ),19( 1921 Nnnaaa n 成立，类比上述性质， 相应地：在等比数列 n b中，若1 9 b，则有等式 成立. 【答案】猜测本题的答案为： * 1 21 217 (17,). nn bbbbbbnnN 【

4、题6】观察以下各等式： 202000 3 sin 30cos 60sin30 cos60 4 202000 3 sin 20cos 50sin20 cos50 4 202000 3 sin 15cos 45sin15 cos45 4 ，分析上述各式的共同特点，猜想出反 映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。 【答案】 2200 3 sincos (30 )sincos(30 ) 4 。 【题7】二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果 它是偶数就用 2 除它，如果是奇数，则将它乘以 3 后再加 1，反复进行这样两 种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出

5、猜想。 【答案】取自然数 6，按角谷的作法有：6 2=3，3 3+1=10，3 5+1=16，16 2=8，8 2=4， 4 2=2，2 2=1，其过程简记为 63105168421。 取自然数 7，则有 7221134175226134020101。 取自然数 100， 则 100502576381958298844221。 归纳猜想：这样反复运算，必然会得到 1。 题型二：演绎推理 图 1 图 2 图 3 图 4 3 【题8】由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边 形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ ） (A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形

6、的对角线相等 (C) 正方形是平行四边形 (D)其它 【答案】A 【题9】（4） 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线； 已知直线b 平面，直线a 平面，直线b平面，则直线b直线a” 的结论显然是错误的，这是因为 （ ） 。 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 【答案】 （A） 【题10】小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。 小王说：“我肯定考上重点大学。” 小刘说：“重点大学我是考不上了。” 小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。” 发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并 且他们

7、三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相 反。可见： （ ） （A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学 （B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学 （C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学 （D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上 【答案】 （C） 【题11】设函数 22 1 )( x xf， 利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法， 可求 得( 5)(0)(5)(6)ffff的值为 . 【答案】3 2 【题12】 “AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线，AC,BD 互相垂直且平分。 ”补充以上推 理的大前提是 。 【答案】

8、菱形对角线互相垂直且平分。 【题13】（1）在演绎推理中，只要 是正确的，结论必定是正确的。 （2）用演绎法证明 y=x2 是增函数时的大前提是 。 4 【答案】 （1）大前提和推理过程 （2）增函数的定义 【题14】设二次函数 f(x)=Ax2+bx+c (A,b,cR,A0)满足条件： 当 xR 时，f(x-4)=f(2-x)，且 f(x)x；当 x(0,2)时，f(x) 2 ) 2 1 ( x f(x)在 R 上的最小值为 0。 求最大值 m(m1)，使得存在 tR，只要 x1,m，就有 f(x+t)x. 【答案】9 版块二：直接证明与间接证明版块二：直接证明与间接证明 题型一：综合法

9、【题15】若 11 0 ab ,则下列结论不正确的是 ( ) 22 ab 2 abb 2 ba ab abab 【答案】D。 【题16】已知, a bR且,0a b，则在ab ba 2 22 ；2 b a a b ； 2 ) 2 ( ba ab ； 2 ) 2 ( 22 2 baba 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【答案】C。 【题17】若函数32) 1( 2 mxxmy是偶函数，则) 4 3 (f，) 1( 2 aaf（aR） 的大小关系是) 4 3 (f ) 1( 2 aaf. 【答案】。 【题18】已知 5, 2ba ，向量ba 与

10、 的 夹角为 0 120，则aba )2(= 【答案】13 【题19】定义运算 () () aab a b bab ，例如，1 21，则函数 2 ( )(1)f xxx的最大 5 值为_ 【答案】 3- 5 2 。 【题20】如图，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如 ABCD 是正方形、菱形等）时， 有 A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情 形） 【答案】ACBD 【题21】若a b c R，求证： 3 () a b c abb a b cabc 题型二：分析法 【题22】设mn

11、， 43 xmm n， 34 yn mn，则 x 与 y 的大小关系为（ ） 。 （A）xy； （B）xy； （C）xy； （D）xy 【答案】 （A） 【题23】75226与的大小关系是_. 【答案】75226 【题24】在十进制中 0123 20044 100 100 102 10 ，那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为 。 【答案】254 【题25】若a b c， ，是ABC的三边长，求证： 444222222 2()abca bb cc a 图 6 【题26】用分析法证明：若 a0，则2 1 2 1 2 2 a a a a。 题型三：反证法 【题27】用反证法证明命题： “

12、三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确 的是（ ） ( A ) 假设三内角都不大于 60； (B) 假设三内角都大于 60； (C) 假设三内角至多有一个大于 60； (D) 假设三内角至多有两个大于 60。 【答案】 （B） 【题28】否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( ) （A）有一个解 （B）有两个解 （C）至少有三个解 （D）至少有两个解 【答案】C 【题29】命题“关于 x 的方程)0(0aax的解是唯一的”的结论的否定是 （ ） A、无解 B、两解 C、至少两解 D、无解或至少两解 【答案】D。 【题30】用反证法证明“若ba 0，则 ba ba 2 1

13、 2 1 ”时的假设为 【答案】 ba b a 2 1 2 1 【题31】证明：5, 3,2不能为同一等差数列的三项. 【题32】求证：形如43n 的正整数不能写成两个整数的平方和 7 版块三：数学归纳法版块三：数学归纳法 题型一：数学归纳法基础 【题33】已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k（2k且为偶数）时 命题为真， ，则还需证明（ ） A.n=k+1 时命题成立 B. n=k+2 时命题成立 C. n=2k+2 时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 【答案】B 【题34】设) 1()2() 1 ()(nfffnnf， 用 数 学 归 纳 法 证 明 “)()

14、 1()2() 1 (nnfnfffn”时，第一步要证的等式是 【答案】)2(2) 1 (2ff 题型二：证明整除问题 【题35】若存在正整数m，使得)(93)72()( Nnnnf n 能被m整除，则m= 【答案】36. 【题36】证明：)( ,) 3(1 Nnx n 能被2x整除 题型三：证明恒等式与不等式 【题37】证明不等式 111 1 23212 n n （nN） 【题38】用数学归纳法证明： *nN ， 222 1113 1. 2321 n nn . 8 【题39】在数列 n a中， n n n a a axa 1 1 ,tan 11 ， （1）写出, 21 aa 3 a； （2）

15、求数列 n a的通项公式 【答案】,tan 1 xa ) 4 tan( 2 xa ，) 2 tan( 2 xa ，猜想 4 ) 1tan(xnan 题型四：数列中的数学归纳法 【题40】设 12 ,. n a aa均为正数，且 12 .1 n aaa，求证：当 n2 的时候， 222 12 . n aaa 1 n 【题41】已知数列 n a中， 1 1,0 2 n nn n a Sa a ，求数列 n a的通项公式. 【答案】2121 n ann 【题42】由正实数组成的数列 n a满足： 2 1 1 2 nnn aaan ，证明：对任意 *nN，都有 1 n a n 9 【题43】在数列 n

16、 a中，若它的前n项和1(*) nn Sna n N 计算 1234 aaaa， ， ，的值； 猜想 n a的表达式，并用数学归纳法证明你的结论 【答案】 1234 1111 261220 aaaa， 题型五：其他类型题 【题44】已知函数)( * Nnnf，满足条件：2)2(f； )()()(yfxfyxf； * )(Nnf；当yx 时，有)()(yfxf. (1) 求) 1 (f，)3(f的值； (2) 由) 1 (f，)2(f，)3(f的值，猜想)(nf的解析式； (3) 证明你猜想的)(nf的解析式的正确性. 【答案】(1) 1) 1 (f ，3)3(f； (2) )()( * Nnnnf； 【题45】已知数列 n a满足： 1 0a ， 2 1 2 21, 1 2, 2 n n n n a n n a a 为偶数 为奇数 ，2 , 3 , 4 ,n （）求 567 ,aaa的值； （）设 21 2 n n n a b ，试求数列 n b的通项公式； （）对于任意的正整数n，试讨论 n a与 1n a 的大小关系 【答案】 （） 567 5,5,8aaa（） 1 2 n n b