高考数学讲义推理与证明.板块二.直接证明与间接证明.教师版

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1、 1 题型一：综合法 【例1】若 11 0 ab ,则下列结论不正确的是 ( ) 22 ab 2 abb 2 ba ab abab 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 取2a ，3b 代入可得。 【答案】D。 【例2】如果数列 n a是等差数列，则（ ） 。 （A） 1845 aaaa （B） 1845 aaaa （C） 1845 aaaa （D） 1845 a aa a 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 由等差数列的性质：若mnpq 则 qpnm aaaa 【答案】 （B） 。 【例3】在ABC中若2 sinbaB,则 A

2、 等于( ) (A)30或 60 (B)45或 60 (C)60或 120 (D)30或 150 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 由正弦定理得 1 sin2sinsinsin30 2 BABAA或150 【答案】 （D） 。 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明 2 【例4】下列四个命题：若 1 0 2 a，则cos 1cos 1aa；若01a,则 1 1 a 1a 2a； 若x、yR， 满足 2 yx， 则 2 log22 xy 的最小值是 7 8 ； 若a、bR，则 22 1ababab 。其中正确的是（ ） 。 (A) (B) (C) (D) 【考

3、点】综合法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 综合法可得应选 【答案】B 【例5】下面的四个不等式：cabcabcba 222 ； 4 1 1 aa； 2 a b b a ； 2 2222 bdacdcba.其中不成立的有 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 由不等式的性质 【答案】A。 【例6】已知, a bR且,0a b，则在ab ba 2 22 ；2 b a a b ； 2 ) 2 ( ba ab ； 2 ) 2 ( 22 2 baba 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A

4、1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 恒成立。 【答案】C。 【例7】已知cba,均大于 1，且l o gl o g4 cc ab ，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A bac B cab C abc D cab 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 1 loglog 4 cc ab，利用基本不等式证得。 【答案】B。 3 【例8】已知不等式 1 ()()9, a xy xy 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值 是（ ） A2 B4 C6 D8 【考点】综合法 【难度】2

5、星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 左边= 2 112(1) yax aaaa xy 2 (1)9a ，4a 。 【答案】B。 【例9】、为锐角sina，sinsinb，则a、b之间关系为 （ ） Aab Bba Cab D不确定 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 sin()sincossincossinsin（因，为锐角故 cos ,cos(0,1)） 。 【答案】B。 【例10】设M是ABC内一点，且2 3AB AC，30BAC，定义()( , , )f Mm n p， 其中m、n、p分别是MBC，MCA，MAB的面积，若 1 ( )( , , )

6、 2 f Px y，则 14 xy 的最小值是 （ ） A8 B9 C16 D18 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 由已知得 11 1, 22 xyxy， 14144 22 518 yx xy xyxyxy 。 【答案】D。 【例11】若函数 2 (1)23ymxmx是偶函数，则 3 () 4 f ， 2 (1)f aa（aR）的大 小关系是 3 () 4 f 2 (1)faa. 4 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 由已知得0m ， 从而 2 3yx， ( )f x在0, 上递减， 又 33 ()( ) 44 ff，

7、22 133 1() 244 aaa ， 2 3 ()(1) 4 ff aa。 【答案】。 【例12】设0a ，0b ，0c ，若1abc，则 111 abc 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 111 39 bcacab abcaabbcc 。 【答案】9。 【例13】函数 yf x在0, 2上是增函数，函数2yf x是偶函数，则 1f,2.5f,3.5f的大小关系是 . 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 函数 yf x在（0，2）上是增函数， 022x即20x 函数2yf x 在（-2，0）上是增函数， 又函数2yf x

8、是偶函数， 函数2yf x在（0，2）上是减函数 由图象可得 2.513.5fff 【答案】 2.513.5fff 【例14】已知 2,5ab，向量ab与的 夹角为 0 120，则(2)aba= 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 5 【解析】 由向量性质以及向量的数量积公式 【答案】13 【例15】定义运算 () () aab a b bab ，例如，1 21，则函数 2 ( )(1)f xxx的最大值 为_ 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】 35 2 。 【例16】若abc， * nN，且 11n abbcac 恒成立，

9、则n的最大值是 。 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 因abc， * nN，所以 11n abbcac 同解于 acac n abbc 又 24 acacabbcabbcbcab abbcabbcabbc 所以4n 。 【答案】4。 【例17】已知集合 M 是满足下列条件的函数 f x的全体： 当0,)x时，函数值为非负实数； 对于任意的,0,)st，都有( )( )()f sf tf st 在三个函数 1( ) f xx，2( )21 x fx ，3( )ln(1)fxx中， 属于集合 M 的是 。 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】

10、无 【解析】 根据条件证得。 【答案】 12 ( ),( )f xfx。 【例18】给出下列四个命题： 若0ab，则 11 ab ； 6 若0ab，则 11 ab ab ； 若0ab，则 2 2 aba abb ； 若0a ，0b ，且21ab，则 21 ab 的最小值为 9. 其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】。 【例19】如图，在直四棱柱 1111 ABC DABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是正方形、菱形等）时， 有 111 ACB

11、 D（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情 形） 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】ACBD 【例20】用一根长为 12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使 这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 . 【考点】综合法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 设长为xm 则宽为 122 3 42 xx ， 2 19 (3)(3) 222 x Sxx ，当3x 时， 面积 S 有最大值。 【答案】3m 与 1.5m。 图 7 【例21】若0a b c ， ，求证：()()()abcabc bc

12、a acb 【考点】综合法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】用综合法，不妨设abc 则00abcacb， 若0bca，易知原不等式左边0右边 若0bca： 注意到2()()2 ()()aabcacbabc acb 同理2()()2 ()()babcbcaabc bca 以及2()()2 ()()cacbbcaacb bca 上述 3 个不等式相乘即可得原不等式 【例22】若a b c R，求证： 3 () a b c abb a b cabc 【考点】综合法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】由于a b c， ，有对称性，不妨设0abc

13、 ， 则ab bc ac，都非负，且 a b ， b c ， a c 都不小于 1于是： 333 3 ( )( )( )1 () a bb ca cabb a b c a b caba bcc abc 【例23】已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证3 bcaacbabc abc 【考点】综合法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 a，b，c 全不相等 b a 与 a b ， c a 与 a c ， c b 与 b c 全不相等。 2?2?2 bacacb abacbc 三式相加得6 bccaab aabbcc (1)(1)(1)3 bccaab aabbcc

14、8 即 3 bcaacbabc abc 【例24】证明：已知：0a ，0b ，求证： ab ab ba 【考点】综合法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 （用综合法）0a ，0b ， abababba abba bababa 2 11() () ()()0 abab ab baab . ab ab ba 【例25】已知(0,), 2 求 2 sin cosy的最大值。 【考点】综合法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 (0,) 2 则 224 sincosy 222 1 2sincoscos 2 222 3 12sincoscos () 23

15、3 124 ( ) 2327 即 2 3 9 y 【答案】 2 3 9 【例26】设01a， 2 0xy，求证： ()2 1 loglog 8 xy aa aa 【考点】综合法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】因为 2 22 222 x yx x xyxy aaa aaa ， 又01a， 9 所以 2 2 ()(2) loglog x x xy aaa aa 2 2 log 2 a xx = 22 111 log() 228 a x 2 1 log 8 a .也可以用分析法证明。 【例27】某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买x吨，运费为 4 万元/次，

16、一年的 总存储费用为4x万元， 要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 则x 吨 【考点】综合法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买x吨，则需要购买 400 x 次，运费 为 4 万元/次,一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 400 44x x 万元， 400 44160x x ，当 1600 4x x 即x 20 吨时，一年的总运费 与总存储费用之和最小. 【答案】20。 【例28】在锐角三角形ABC中,求证:sinsinsincoscoscosABCABC 【考点】综合法 【难度】3 星 【题型】解答

17、 【关键词】无 【解析】 【答案】ABC为锐角三角形， 2 AB 2 AB ， sinyx在(0,) 2 上是增函数，sinsin()cos 2 ABB 同理可得sincosBC，sincosCA sinsinsincoscoscosABCABC 题型二：分析法 【例29】设mn， 43 xmm n， 34 yn mn，则 x 与 y 的大小关系为（ ） 。 （A）xy； （B）xy； （C）xy； （D）xy 【考点】分析法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 10 【解析】 由分析法 【答案】A 【例30】已知1c，1acc ，1bcc，则正确的结论是（ ） 。 (A) ab (B

18、)ab (C)ab (D) a、b大小不定 【考点】分析法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例31】设a、b、m都是正整数，且ab，则下列不等式中恒不成立的是（ ） 。 (A) 1 aam bbm (B) aam bbm (D) 1 aam bbm (D) 1 bmb ama 【考点】分析法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例32】已知 f xyf xf y，且 12f，则 12fff n不能等于 （ ） 。 (A) 1211ffnf (B) (1) 2 n n f (C)1n n (D) 11n nf 【考点】分析法 【

19、难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例33】62 2与57的大小关系是_. 【考点】分析法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 由分析法 【答案】62 257 【例34】在十进制中 0123 20044 100 100 102 10 ，那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为 。 11 【考点】分析法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】254 【例35】设2P ，73Q ，62R ，那么P，Q，R的大小顺序 是 。 【考点】分析法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】PQR 【例36】

20、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌 手，甲说： “是乙或丙获奖。 ”乙说： “甲、丙都未获奖。 ”丙说： “我获奖了。 ” 丁说： “是乙获奖。 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 【考点】分析法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 若甲获奖，则四人说的话全错，同理可推知乙、丙、丁获奖情况。 【答案】丙。 【例37】若a b c， ，是ABC的三边长，求证： 444222222 2()abca bb cc a 【考点】分析法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】用分析法原不等式即 444222222 2()

21、0abca bb cc a 即 4222222 2 2()()0cb cc aab 即 422222 2()() ()0cba cabab 即 2222 () () 0cabcab 即()()()()0cab cab cab cab 而由三角形的三条边的关系显然上式成立 因此原不等式成立 【例38】ABC的三个内角A、B、C成等差数列， 求证： 113 abbcabc 。 12 【考点】分析法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】要证 113 abbcabc ，即需证3 abcabc abbc 。 即证1 ca abbc 。 又需证()()()()c bca abab

22、 bc，需证 222 caacb ABC三个内角 A、B、C 成等差数列。60B 。 由余弦定理，有 222 2cos60bcaca，即 222 bcaac。 222 caacb成立，命题得证。 【例39】用分析法证明：若0a ，则 2 2 11 22aa aa 。 【考点】分析法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】要证 2 2 11 22aa aa ， 只需证 2 2 11 22aa aa 。 a0，两边均大于零，因此只需证 222 2 11 (2)(2)aa aa 只需证 222 222 1111 44222 2()aaaa aaaa ， 只需证 2 2 121

23、 () 2 aa aa ，只需证 22 22 111 (2) 2 aa aa ， 即证 2 2 1 2a a ，它显然成立。原不等式成立。 【例40】设 2 ( )(0)f xaxbxc a若函数(1)f x与( )f x的图象关于轴对称，求证 1 () 2 f x 为偶函数。 【考点】分析法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】记 1 ( )(), 2 F xf x 欲证 ( )F x 为偶函数，只须证 13 ()( )FxF x， 即只须证 11 ()() 22 fxf x 由已知，函数(1)f x与( )f x的图象关于轴 y 对称，而函数( )f x与()fx

24、的图 象也是关于 y 轴对称的 ()fx=(1)f x 于是有 11 ()() 22 fxfx = 11 ()1() 22 fxf x 1 () 2 f x 为偶函数。 【例41】自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其 再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用 n x表示某鱼群在第n年年初的总 量，n N，且 1 0x .不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都 与 n x成正比，死亡量与 2 n x成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （）求 1n x 与 n x的关系式； （）猜测：当且仅当 1 x，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量

25、保 持不变？（不要求证明） 【考点】分析法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 （I）从第n年初到第1n 年初，鱼群的繁殖量为 n ax，被捕捞量为 n bx，死亡量 为 2 n cx，因此 2 1nnnnn xxaxbxcx ，n N(*) 即 1 (1) nnn xx abcx ，n N(*)。 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn恒等于 x1，n N，从而由（*）式 得() nn x abcx恒等于 0，n N，所以 1 0abcx，即 1 ab x c 因为 1 0x ， 所以ab. 猜测：当且仅当ab，且 1 ab x c 时，每年年初鱼群的总量保持不 变.

26、 【答案】 （I） 1 (1) nnn xx abcx ，n N 14 （II）当且仅当ab，且 1 ab x c 时，每年年初鱼群的总量保持不变 【例42】设函数( )sin ()f xxx xR. （1）证明：(2)( )2sinf xkf xkx，k Z； （2）设 0 x为( )f x的一个极值点，证明 4 20 0 2 0 () 1 x f x x . 【考点】分析法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】1）(2)( )22f xkf xxkxkxx（）sin()- sin =2xkx xx（）sin - sin=2kxsin 2) ( )sincosfxx

27、xx 0000 ()sincos0fxxxx 又 22 00 sincos1xx 由知 2 0 sin x= 2 0 2 0 1 x x 所以 24 222200 0000 22 00 ()sin 11 xx f xxxx xx 【例43】已知二次函数 2 f xaxbxc， （1）若abc且 10f，证明: f x的图像与 x 轴有两个相异交点; （2） 证明: 若对 1 x， 2 x， 且 12 xx， 12 f xf x,则方程 12 2 f xf x f x 必有一实根在区间 ( 1 x， 2 x) 内； （3）在(1)的条件下,是否存在mR，使 f ma 成立时，3f m为正数. 【

28、考点】分析法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 (1) 提示:可推出 2 0ac (2) 提示:可令 12 2 f xf x g xf x .证明 12 0g xg x. 15 (3)略解: 假设存在符合条件的mR,则由已知得 2 0ambmac且 2 40ba ac .由(1)知bac,故有 2 430aca acacca. 0ab，30ca，00bacb . 令 2 g mambmac，可推得 g m的对称轴 1 ,0 22 b a . 故 g m在 1 , 2 上有零点.即方程 2 0ambmac必有一根 0 1 , 2 m .进而推得当 0 mm时, 0 330f

29、mf m 【答案】 （3） 0 mm 题型三：反证法 【例44】下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： x 3 5 8 9 15 lgx 2ab ac 333ac 42ab 31abc 请将错误的一个改正为lg = 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】2009 年、深圳市宝安中学、翠园中学、高三期中考试 【解析】 lg92lg3， 所以 3 和 9 的对数值正确， 若lg1531abc正确， 则lg5ac 从而lg83(1lg5)，即lg8333ac，矛盾。 故 15 的对数值错误，应改正为lg153abc 【答案】lg153abc 【例45】用反证法证明命题： “三角形的

30、内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确 的是（ ） ( A ) 假设三内角都不大于 60； (B) 假设三内角都大于 60； (C) 假设三内角至多有一个大于 60； (D) 假设三内角至多有两个大于 60。 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】 （B） 16 【例46】已知 33 2pq，关于pq的取值范围的说法正确的是 （ ） （A）一定不大于 2 （B）一定不大于22 （C）一定不小于22 （D）一定不小于 2 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】 （A） 【例47】否定结论“至多有两个解”的说法

31、中，正确的是 ( ) （A）有一个解 （B）有两个解 （C）至少有三个解 （D）至少有两个解 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】C 【例48】设, ,a b c大于 0，则 3 个数： 1 a b ， 1 b c ， 1 c a 的值 ( ) （A）都大于 2 （B）至少有一个不大于 2 （C）都小于 2 （D）至少有一个不小于 2 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例49】已知l，a、b，若a、b为异面直线，则 ( ) （A）a、b都与l相交 （B）a、b中至少一条与 l 相交 （C）a、b中至多有

32、一条与 l 相交 （D）a、b都与 l 相交 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例50】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时,反设正确的 是（ ） A、假设三内角都不大于 60 度； B、 假设三内角都大于 60 度； C、假设三内角至多有一个大于 60 度；D、 假设三内角至多有两个大于 60 度。 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 17 【解析】 “至少有n个”的否定是“最多有1n个”。 【答案】B。 【例51】命题 “关于x的方程0(0)axa的解是唯一的” 的结论的否定是 （ ） A、无

33、解 B、两解 C、至少两解 D、无解或至少两解 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 “否定”必须包括所有的反面情形。 【答案】D。 【例52】用反证法证明命题“如果ab，那么 33 ab”时，假设的内容应为 _. 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】 33 ab或 33 ab 【例53】用反证法证明“ 2 ( )f xxpxq，求证：(1)f，(2)f，(3)f中至少有一个 不小于 1 2 ”时的假设为 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】假设(1)f，(2)f，(3)f都小于

34、 1 2 ，即 1 (1) 2 f， 1 (2) 2 f， 1 (3) 2 f 【例54】用反证法证明“若0ab ，则 11 22 ab ab ”时的假设为 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】 11 22 ab ab 【例55】用反证法证明命题“,abN，ab可以被 5 整除，那么a，b中至少有一个能 18 被 5 整除。 ”那么假设的内容是 【考点】反正法 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 “至少有n个”的否定是“最多有1n个”。 【答案】a，b中没有一个能被 5 整除。 【例56】证明：2，3，5不能为同一等差数列的三项. 【

35、考点】反正法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】假设2、3、5为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足 32md 52nd n m 得：352nmnm 两边平方得： 2 22 352 152nmmnnm 左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数 所以，假设不正确。即 2、3、5不能为同一等差数列的三项。 【例57】对于直线l：1ykx， 是否存在这样的实数k， 使得l与双曲线C： 22 31xy 的交点A、B关于直线yax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。 【考点】反正法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】

36、 （反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线yax对称，设 11 ,A xy、 22 ,B xy则 1212 1212 1 ()2 22 ka yyk xk yyxx a 1212 1212 1 2 22 ka yyk xx yyxx a 由 22 22 1 (3)220 31 ykx kxkx yx 19 由、有 1212 2a xxk xx 由知 12 2 2 3 k xx k 代入整理得：3ak 与矛盾。 故不存在实数k，使得A、B关于直线yax对称。 【例58】已知a bR， 33 2ab=，求证：2ab 【考点】反正法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】

37、用反证法假设2ab，则2ab，于是： 33332 (2)6(1)22abbbb 这与已知 33 2ab=矛盾，故2ab成立 【例59】若a，b，c均为实数，且 2 2 2 axy ， 2 2 3 byz ， 2 2 6 czx 。 求证：a，b，c中至少有一个大于 0。 【考点】反正法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 （用反证法） 假设a，b，c都不大于 0，即0a ，0b ，0c ，则有0abc， 而 222 (2)(2)(2) 236 abcxyyzzx 222 (1)(1)(1)()3 236 xyz = 222 (1)(1)(1)3xyz 2 (1)x，

38、 2 (1)y， 2 (1)z 均大于或等于 0，30，0abc，这与 假设0abc矛盾，故a，b，c中至少有一个大于 0。 【例60】求证：形如43n 的正整数不能写成两个整数的平方和 【考点】反正法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】用反证法假设某一正整数43k 可以写成两个整数的平方和： 22 43()kab ka b NZ， ， 易知a b，奇偶性不同，不妨设221()as bts tZ， 则 2222 434441kabstt 20 化简后为 22 21222kstt 左右奇偶性不一致，故上式不可能成立，因此假设错误，原命题成立 【例61】若 1 0a 、

39、 1 1a ， 1 2 1 n n n a a a (1,2,)n ， (1)求证： 1nn aa ； (2)令 1 1 2 a ，写出 2 a、 3 a、 4 a、 5 a的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 n a； (3)证明：存在不等于零的常数p，使 n n ap a 是等比数列，并求出公比 q 的值. 【考点】反正法 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 （1） （采用反证法）. 若 1nn aa ，即 2 1 n n n a a a , 解得 0 n a ，1 从而 11 0 nn aaaa 2 ，1与题设 1 0a , 1 1a 相矛盾， 故 1nn a

40、a 成立. (2) 1 1 2 a 、 2 2 3 a 、 3 4 5 a 、 4 8 9 a 、 5 16 17 a , 1 1 2 21 n n n a . （3）因为 1 1 (2) 2 nn nn app ap aa 又 1 1 nn nn apap q aa , 所以(22 )(12 )0 n pq apq, 因为上式是关于变量 n a的恒等式，故可解得 1 2 q 、1p 【例62】设0a ，函数 3 ( )f xxax在1,)上是单调函数. （1）求实数a的取值范围； （2）设 0 1x ，( )1f x ，且 00 ( ()f f xx，求证： 00 ()f xx. 【考点】反

41、正法 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 （1） 2 ( )3,yfxxa若( )f x在1, 上是单调递减函数，则须0y，即 2 3ax，这样的实数 a 不存在.故( )f x在1, 上不可能是单调递减函数. 若( )f x在1, 上是单调递增函数，则a 2 3x， 21 由于1,x，故 2 33x .从而 0a3. （2）方法 1：可知( )f x在1, 上只能为单调增函数. 若 1 00 ()xf x，则 000 ()( ()f xf f xx矛盾 若 1 00 ()f xx，则 00 ( ()()f f xf x，即 00 ()xf x矛盾， 故只有 00

42、()f xx成立. 方法 2：设 0 ()f xu，则 0 ( )f ux， 3 00 xaxu， 3 0 uaux ， 两式相减 得 33 000 ()()xua xuux 22 000 ()(1)0xu xx uua ， 0 1x ,1u， 22 00 3xx uu，又03a， 22 00 10xx uua 所以 0 0xu，即 0 ux，亦即 00 ()f xx，证毕 【例63】设集合W由满足下列两个条件的数列 n a构成： 2 1 2 nn n aa a ； 存在实数M，使 n aM （n为正整数） 在只有5项的有限数列 n a， n b中， 其中 12345 1 ,2 ,3,4 ,5aaaaa； 12345 1 ,4 ,5 ,4