高考数学讲义椭圆.板块二.椭圆的离心率.教师版

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1、 1 【例1】 椭圆 22 22 1 xy ab 和 22 22 xy k ab (0)k 一定具有（ ） A相同的离心率 B相同的焦点 C相同的顶点 D相同的长轴长 【考点】椭圆的离心率 【难度】1 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】将椭圆 22 22 xy k ab 的方程化为标准方程得： 22 22 1 xy kakb ，不妨设ab， 故此方程的焦距为 22 2 kakb，长轴长和短轴长分别为2 ka、2 kb， 离心率为 2222 kakbab aka ； 从而知，它与椭圆 22 22 1 xy ab 一定有相同的离心率，选 A 【答案】A 【例2】 已知 1 F、 2 F是椭圆

2、的两个焦点，过 1 F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两 点，若 2 ABF是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A 3 2 B 3 3 C 2 2 D 2 3 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】由椭圆定义知，正三角形边长为 4 3 a ，且 12 F F为正三角形的高， 3 4 2 23 a c ， 3 3 e 【答案】B 【例3】 已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，满足 12 0MF MF的点M总在椭圆内部，则椭 圆离心率的取值范围是（ ） 典例分析 板块二.椭圆的离心率 2 A(0 1)， B 1 (0 2 ， C 2 (0) 2 ，

3、D 2 1) 2 ， 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】2008 年，江西高考 【解析】满足 12 0MF MF的点M在以 12 F F为直径的圆上，故只需cb即可，从而 22 2abcc，从而 2 e 2 【答案】C 【例4】 过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P， 2 F为右焦 点，若 12 60FPF，则椭圆的离心率为（ ） A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】2009 年，江西高考 【解析】因为 2 () b Pc a ，再由 12

4、60FPF，有 22 2 2 bb a aa ，从而可得 3 3 c e a 【答案】B 【例5】 已知椭圆 22 22 1 xy ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，且 12 | 2FFc，点A在椭圆上， 112 0AFFF， 2 12 AFAFc，则椭圆的离心率e （ ） A 3 3 B 31 2 C 51 2 D 2 2 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】由 112 0AFFF知 112 AFFF，于是 2 1212121 |cos|AFAFAFAFF AFAF， 而 2 () b Ac a ， 2 2 22 1 51 | 2 b AFce

5、 a 【答案】C； 【例6】 已知P是以 12 FF，为焦点的椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的一点，若 12 0PF PF， 12 1 tan 2 PFF，则此椭圆的的离心率为（ ） A 1 2 B 2 3 C 1 3 D 5 3 3 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】由已知有 1212 | 2|PFPFPFPF，又 12 | 2PFPFa， 于是由 222 1212 |PFPFFF， 可得 22 2 245 4 333 aa ce 【答案】D 【例7】 已知椭圆 22 1 5 xy m 的离心率 10 e 5 ，则m的值为（ ） A3

6、 B 25 3 或3 C5 D 5 15 3 或15 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】据题意0m ，且5m 当5m 时， 2 am， 2 5b ， 2 5cm， 51025 e 53 cm m am 当05m时， 222 55abm cm， 510 e3 55 cm m a 由知3m 或 25 3 m ，故选 【答案】B 【例8】 椭圆的长轴为 12 A A，B为短轴的一个端点，若 0 12 120ABA ，则椭圆的离心率为 （ ） A 1 2 B 6 3 C 3 3 D 3 2 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析

7、】D； 【答案】D； 【例9】 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切 圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） A 35 2 B 35 4 C 51 2 D 51 4 4 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】原点O到直线1 xy ab 的距离等于半焦距， 22 51 e 2 abc c a ab 【答案】C 【例10】 设 12 FF，分别是椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点，若在直线 2 : a l x c 上 存在P（其中 22 cab） ，使线段 1 PF的中垂线过点

8、 2 F，则椭圆离心率的取值范 围是（ ） A 2 0, 2 B 3 0, 3 C 2 , 1 2 D 3 , 1 3 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】由已知P 2 , a y c ，所以 1 FP的中点Q的坐标为 2 , 22 by c ， 由 1 2 F P cy k b ， 2 22 2 QF cy k bc ， 12 1 F PQF kk 4 22 2 2 b yb c 222 22 11 () 3030yac ee ，解得 3 1 3 e 当 1 0 F P k时， 2 QF k不存在，此时 2 F为中点， 2 3 2 3 a cce c 综

9、上得 3 1 3 e 利用图象直接分析得到 2 2 a cc c ，也可得到正确答案 【答案】D； 【例11】 椭圆上一点A看两焦点的视角为直角，设 1 AF的延长线交椭圆于B，又 2 | |ABAF，则椭圆的离心率e （ ） A22 2 B63 C21 D32 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】如图， 5 w z y x F2F1 B A y x O 设 1212 |AFxAFyBFzBFw， 则22xya zwa， 2 2 xzyw， 222 4xyc， 化简整理可得e63 c a 【答案】B 【例12】 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道

10、飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二 次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次 变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用 1 2c和 2 2c分别表示椭轨道 和的焦距，用 1 2a和 2 2a分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子： 1122 acac； 1122 acac； 121 2 c aa c； 12 12 cc aa 其中正确式子的序号是（ ） A B C D III II I P F 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】2008 年，湖北高考 【解析】由题意知 112

11、2 acacPF，又 12 aa，于是 111222 1122 11 accacc aaaa 12 12 cc aa 【答案】B 【例13】 椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上 6 存在点满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A 2 0 2 ， B 1 0 2 ， C 21 1 ， D 1 1 2 ， 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】2010 年，四川高考 【解析】设()P xy，(0)F c，右准线为 2 a x c ，与X轴交与A点， 由椭圆第二定义得 | e | PF PB ，因

12、为点P满足线段AP的垂直平分线过点F 22 aa PFAFc PBx cc ，ax 2 2 a c c e a x c ，当xa时，取最值 1， xa 时取最小值 1 2 ，故选 D 【答案】D 【例14】 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab ，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一 个端点，F为椭圆的一个焦点 若ABBF，则该椭圆的离心率为 （ ） A 51 2 B 51 2 C 51 4 D 51 4 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】2010 年，朝阳一模 【解析】由射影定理有 222 51 2 c bacace a 【答案】B 【例15】 已知有

13、公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为 12 ,FF， 且它们在第一象限的交点为P， 12 PF F是以 1 PF为底边的等腰三角形 若 1 10PF ，双曲线的离心率的取值范围为1, 2则该椭圆的离心率的取值范围 是 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2010 年，海淀二模 【解析】如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为 1 ,ac，双曲线的半实轴长，半焦距分别 为 2 ,ac， 12 ,PFmPFn，则 7 P F2 F1 O y x 1 2 2 2 10 2 mna mna m nc 1 2 5 5 ac ac ，问题转化为已知12 5

14、c c ，求 5 c c 的取值范围 设 5 c x c ，则 5 1 x c x ， 11 521242 cx cxx 12x， 111111 26242210x ，即 1112 32425x 【答案】 12 , 35 【例16】 在ABC中，ABBC， 7 cos 18 B 若以A B，为焦点的椭圆经过点C，则 该椭圆的离心率e 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2008 年，全国高考 【解析】 设1ABBC， 7 cos 18 B ， 则 222 25 2cos 9 ACABBCAB BCB， 5 3 AC ， 5823 2121 3328 c ace a ，

15、 【答案】 3 8 【例17】 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为2c，以点O为 圆心，a为半径作圆M若过点 2 0 a P c ，作圆M的两条切线互相垂直，则椭 圆的离心率为 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2008 年，江苏高考 【解析】依题意，如图，因为两条切线互相垂直， 8 O A B P x y 12 题 所以得等腰Rt OPB，圆M的半径OBa， 2 2 a OPOB c ，则 2 2 a a c ，故椭 圆的离心率 2 2 c a 【答案】 2 2 【例18】 直线:220lxy过椭圆的左焦点 1 F和

16、一个顶点B，该椭圆的离心率为 _ 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2009 年，东城一模 【解析】直线l交坐标轴于点( 2, 0), (0, 1)，由于椭圆有左右焦点， 故不妨认为是焦点在x轴上的标准椭圆，对应2,1cb，故5a ， 2 5 5 e 注意： 本题不必是标准椭圆， 由存在左焦点知长轴平行于x轴， 便可得到 1 2 b k c 【答案】 2 5 5 ； 【例19】 设 12 (0)(0)FcF c ， ，是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的两个焦点，P是以 12 F F为直径 的圆与椭圆的一个交点，若 1221 2PFFPF F ，则椭圆

17、的离心率等于_ 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】如图，由 12 90FPF及 1221 2PFFPF F 可知 21 30PF F P F1F2 y x O 9 于是 11221 1 |3|3 2 PFFFcPFPFc， 从而 12 2|331 c aPFPFcce a 【答案】31 【例20】 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的半焦距为c， 若直线2yx与椭圆一个交点的横坐标恰 为c，椭圆的离心率为_ 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】交点的横坐标为c，则纵坐标为2c，于是点(2 )cc，在椭圆上

18、， 从而有： 2222 ()(20)()(20)2cccccca， 即2( 21)2ca，于是21 c e a 也可将点(2 )cc，代入椭圆的方程求出e 【答案】21 【例21】 已知 1 F， 2 F是椭圆的两个焦点， 过 1 F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B，两 点，若 2 ABF是正三角形，则这个椭圆的离心率是_ 【考点】椭圆的离心率 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】如图，不妨设此椭圆是焦点在x轴上的标准椭圆，则 12 2FFc， O y xF2F1 B A 2 ABF是正三角形， 21 2AFAF， 又 21 2AFAFa，得 1 2 3 AFa， 又 12

19、1 tan30FFAF ，有 32 2 33 ca， 解得 3 3 c e a 本题也可写出直线AB的方程：xc ，通过联立方程 10 组求得A点坐标，再利用正三角形关系得到离心率的值 【答案】 3 3 【例22】 已知0F c，是椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点，以坐标原点O为圆心，a为 半径作圆P，过F垂直于x轴的直线与圆P交于A B，两点，过点A作圆P的切 线交x轴于点M若直线l过点M且垂直于x轴，则直线l的方程为 _；若| |OAAM，则椭圆的离心率等于_ 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2009 年，崇文一模 【解析】如图，圆P的方程为

20、 222 xya，于是()A c b， l F M B A y xO 由 OA b k c 及AM是过点A的切线，知 AM c k b ， 于是直线AM的方程为() c ybxc b ， 令0y 可得M的横坐标为 22 ba c cc ，故直线l为 2 a x c 由| |OAAM可得|2 |OMOA，即 2 22 22 a bca c ， 从而椭圆的离心率等于 2 2 【答案】 2 2 2 a x c ， 【例23】 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 1212 AABB，为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的 四个顶点，F为其右焦点，直线 12 AB与直线 1 B F相交于点T

21、，线段OT与椭圆 的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 _ 11 T F M y xO B2 B1 A2 A1 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2009 年，江苏高考 【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等以及直线的方程 直线 12 AB的方程为：1 xy ab ； 直线 1 B F的方程为：1 xy cb 二者联立解得： 2() () acb ac T acac ， 则 () () 2() acb ac M acac ，在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上， 即 22 22 () 1 ()4() cac acac ，

22、化简 2 1030ee，解得2 75e 【答案】2 75 【例24】 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P是椭圆上一点， 12 60FPF，设 1 2 PF PF ， 求椭圆离心率e和的关系式； 设Q是离心率最小的椭圆上的动点，若PQ的最大值为2 3，求椭圆的方程 【考点】椭圆的离心率 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 12 | 2PFPFa，又由已知 1 2 | | PF PF ，得 1 2 | 1 a PF ， 2 2 | 1 a PF 由余弦定理 22 2 22221 (2 )2 11112 aaaa c ， 整理

23、得 2 1 1 e 12 由得 22 22 1133 11 1 12121 2 e 0， 1 2 ，当1时，e的最小值为 1 2 当 1 2 e 时， 2 2 4 3 a b ，令 2 (0) 3 a b ，则(0,3 )P 设(2 cos,3 sin )()Q R， 222 |4cos( 3 sin3 )PQ 22 sin6sin7(sin3)16 当sin1 时， max |2 3PQ，1 故椭圆方程为 22 1 43 xy 【答案】 2 1 e 1 ； 22 1 43 xy 【例25】 设椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为 12 FF，若椭圆上存在一点Q，

24、 使 12 120FQF，试求该椭圆的离心率e的取值范围 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】记椭圆的焦距为c，由 222 cab， 先研究一般情况：对于椭圆上任意一点P，记 12 FPF，求的取值范围： 设 1221 PFFPF F，则， 且有 1212 222 sinsinsinsin()sinsinsinsin PFPFPFPFcca ， 于是 sin() sinsin c e a ，设22xy，则 2 x ， 有 sin2sin2cos sin()sin()2sin coscos xxx e xyxyxyy ， 的最小值显然为0，只需求的最大值，也

25、即求x的最小值， 又 0 2 x ，故只需求cosx的最大值，显然当0y 即时，cosxe最大 此时P点为椭圆的短轴的端点， 且 cossin 22 e ， 22 cos12sin12 2 e 由题意知： 2 1 cos1201 21 2 e ，即可，即 2 1 12 2 e， 解得 3 2 e，故e的取值范围为 3 1 2 ， 或只需 12 120FBF，其中B为椭圆短轴的一个端点，即 1 60FBO， 13 故 1 3 sinsin60 2 c FBOe a 【答案】 3 1 2 ， 【例26】 设椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴两端点为A、B，若椭圆上存在一点Q，

26、 使120AQB，试求该椭圆的离心率e的取值范围 【考点】椭圆的离心率 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】先讨论一般情况， 设 00 ()P xy，是椭圆上任意一点，不妨设 0 0y ，APB，求的取值范围 0 11 2sin 22 PAB SayPAPB ， 又 0000 () ()cosPA PBaxyaxyPAPB ， 两式相除得： 0 222 00 2 tan ay xya ，又 222 22200 00 222 1 xya xay abb ， 于是有 2 2 0 2 tan ab c y ， 0 (0yb， 2 2 tan ab c ， 且当 0 yb，即P为椭圆的短轴的端点时，有最大值，的最小值为0 也可以通过PAB来求tan： 记PABPBA，则， 易知， 00 00 tantan yy xaax ， 于是 0 222 00 2tantan tantan() 1tantan ay axy ，以下同上 故存在Q点只需 2 2 tan 20 ab c ，即 2 2 3 ab c 22224 234()3abca acc， 即 42 6 3440 3 eee，即 6 1 3 e ， 【答案】 6 1 3 ， 14