高考数学讲义椭圆.板块三.椭圆的几何性质.教师版

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1、 1 【例1】 设()P xy，是椭圆 22 44xy上的一个动点，定点(1 0)M，则 2 |PM的最大值是 （ ） A 2 3 1 C3 D9 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】 2 2 22222 3342 |(1)(1)122 44433 x PMxyxxxx ， 注意到22x ，所以当2x 时， 2 max |9PM 【答案】D； 【例2】 点M是椭圆 22 1 2516 xy 上一点，它到其中一个焦点 1 F的距离为 2，N为 1 MF的中 点，O表示原点，则|ON （ ） A 3 2 B2 C4 D8 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2

2、星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】设椭圆另一焦点为 2 F，则 12 | 2MFMFa，而5a 1 | 2MF ， 2 8MF ，又注意到N、O各为 1 MF、 12 F F的中点， ON是 12 MFF的中位线， 2 11 |84 22 ONMF 若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求 1 MF中点的坐标，最后利用 两点间的距离公式求出|ON， 但这样就增加了计算量， 方法较之显得有些复杂 【答案】C； 【例3】 已知P为椭圆 22 1 259 xy 上动点，F为椭圆的右焦点，点A的坐标为(3 1)，则 |PFPA的最小值为（ ） A102 B102 C105 2 D105 2

3、典例分析 板块三.椭圆的几何性质 2 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】易知点A在椭圆内，设椭圆的另一个焦点为 F ，则 | 10(|)PFPAPFPA， 而| | 5 2PFPAAF，|105 2PFPA，等号仅当A P F， ，共线 【答案】D； 【例4】 已知椭圆方程为 22 1 499 xy 中， 12 FF，分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有 （ ） 焦点在x轴上，其坐标为( 7 0) ，； 若椭圆上有一点P到 1 F的距离为10，则P到 2 F的距离为4； 焦点在y轴上，其坐标为(02 10)，； 49a ，9b ，40c A0个 B1

4、个 C2个 D3个 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】椭圆 22 1 499 xy 的焦点在x轴上，7a ，3b ，402 10c ， 故焦点坐标为( 2 10 0)， 对于椭圆上任一点P，有 12 214PFPFa，故正确，其它错误 【答案】B 【例5】 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦 点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计） ，从点A沿 直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ） A4a B

5、2 ac C2 ac D以上答案均有可能 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】D； 【答案】D； 【例6】 设椭圆 22 22 1 1 xy mm (1)m 上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为 1，则P到椭圆的中心的距离为（ ） A1 B2 C3 D5 3 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】2312mm ，易知P点为右顶点，坐标为(2, 0)，于是P到原点的距离为2 【答案】B； 【例7】 P为椭圆 22 1 2516 xy 上一点，,MN分别是圆 2 2 34xy和 2 2 31xy 上的点，则PM

6、PN的取值范围是（ ） A 7, 13 B10, 15 C 10, 13 D 7,15 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】2010 年，宣武一模 【解析】容易知道 1 3, 0F ， 2 3, 0F为椭圆的左右焦点，于是 1 22 1 PFPMPF-+， 22 -11PFPMPF 于是有 1212 33PFPFPMPNPFPF 而 12 10PFPF于是7,13PMPN 【答案】A； 【例8】 过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P： 2 2 1 2 x y交于A、C与B、D， 则四边形ABCD面积的最小值为（ ） A 8 3 B4 2 C2 2 D 4 3 【

7、考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】当两直线中有一条的斜率不存在时，易知两直线为两坐标轴所在的直线，此时 面积为2 2； 当两条直线的斜率都存在时， 设直线AC的方程为ykx， 与椭圆的交点 11 ()A xy， 11 ()Cxy，则 222 111 |442 1|ACxykx， 又 2 21 1 1 2 x y，即 2 221 11 2 2 1| 2 12 x k xx k ，于是 2 2 2 2(1) | 12 k AC k ， 同样的，由直线BD的方程 1 yx k 可得 2 2 1 2 2(1) | 2 1 k BD k ， 因此 222 1448

8、 | 3 2311 2 2 (1)1 ABCD SACBD kk ， 4 等号当 2 11 12k 即1k 时取到， 又 8 2 2 3 ，故四边形ABCD面积的最小值是 8 3 【答案】A； 【例9】 椭圆 22 1 2516 xy 的焦点为 1 F， 2 F，过 2 F垂直于x轴的直线交椭圆于一点P，那 么 1 PF的值是_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2010 年，丰台一模 【解析】显然 2 3 , 0F，于是可求得 16 3 , 5 P ，所以 12 1634 225 55 PFaPF 【答案】 34 5 ； 【例10】 求过椭圆 22 1 42 x

9、y 的一个焦点 1 F的弦AB与另一个焦点 2 F围成的三角形 2 ABF 的周长是 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 2 ABF的周长 22 ABAFBF 1122 AFBFAFBF， ,A B为椭圆上的点，故 1212 2AFAFBFBFa，2a ， 故 2 ABF的周长为48a 【答案】8 【例11】 已知 1 F、 2 F为椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于A、B两点， 若 22 12F AF B，则AB=_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2008 年，浙江高考 【解析】 11

10、22 420FAFBF AF Ba，故20 128AB 【答案】8； 【例12】 设椭圆 22 1 2516 xy 上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点 M满足 1 () 2 OMOPOF，则OM 5 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2007 年，辽宁高考 【解析】5a ，4b ，3c ， 左准线方程为 2 25 3 a x c ， 故P点的横坐标为 255 10 33 ； ( 3 0)F ，设 0 5 3 Py ，则 0 0 152 3 2332 y OMy ，又 2 2 0 5 3 1 2516 y ， 从而 22 0 2432 2 329

11、9 y OM 【答案】2； 【例13】 已知P是椭圆 22 44xy上一点，则P到点(1 0)M，的最大值为 _ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】3 【答案】3 【例14】 已知(3 2)A，( 4 0)F ，P是椭圆 22 1 259 xy 上一点，则PAPF的最大值为 _ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】F为椭圆的左焦点，记(4 0) F ，则有210PFPFa， 1010PAPFPAPFPAPF，5PAPFAF，当且仅当 A P F， ，共线，且P点在线段AF的延长线上时取到等号，故 PAPF的最大值

12、 为105 O y x P F A F 【答案】105 【例15】 如图，把椭圆 22 1 2516 xy 的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆 的 上 半 部 分 于 1234567 PPPPPPP， ， ， ， ， ，七 个 点 ，F是 椭 圆 的 左 焦 点 ， 则 1234567 PFPFPFPFPFPFPF 6 P7 P6 P5 P4P3 P2 P1 x BAF 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2006 年，四川高考 【解析】设椭圆的右焦点为 F ，根据椭圆的对称性知， 1711 | | 2PFP FPFPFa， 同理其余两对的和也是2a

13、，又 4 |P Fa， 1234567 735PFPFPFPFPFPFPFa 【答案】35 【例16】 设F是 椭 圆 22 1 76 xy 的 右 焦 点 ， 且 椭 圆 上 至 少 有21个 不 同 的 点 (1 2 321) i P i ， ， ，使 12321 FPFPFPFP， ，组成公差为d的等差数列， 则d的取值范围为 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】设 11 FPa，则 1 1 n F Pand，于是 1 1 n FPFPnd，即 1 1 n F PF P d n ， 由于21n， 1 22 n FPFPacacc，故 1 10 d

14、，又0d ， 故d 11 00 1010 ， 【答案】 11 00 1010 ， 【例17】 椭圆 22 1 925 xy 上的一点P到两焦点的距离的乘积为m， 则当m取最大值时， 点P 的坐标是_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】记椭圆的二焦点为 12 FF，有 12 210PFPFa， 则知 2 12 12 25 2 PFPF mPFPF 显然当 12 5PFPF，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25 故应填30 ，或30， 7 【答案】30 ，或30， 【例18】 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 51 2

15、 ，FA，分别是它的左焦点和右顶 点，B是它的短轴的一个端点，则ABF等于_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】由已知 51 e 2 c a ，即 51 2 ca 易知 22 |BFa 且 222222222 51 | 2 ABOBOAbaacaa ， 2 222 5153 |() 22 AFacaa 于是 222 |AFBFAB，因此90ABF 【答案】90 【例19】 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 FF，点P在椭圆上若 1 4PF ，则 2 PF ； 12 F PF的大小为 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键

16、字】2009 年，北京高考 【解析】由椭圆的定义知 2 24642PFa，又 12 22 922 7FFc， 在 12 PF F中，由余弦定理知 12 1 cos 2 FPF ，从而 12 120FPF B A F y xO 【答案】2 120，； 【例20】 椭圆 22 1 94 xy 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，点P为其上的动点，当 12 F PF为钝 角时，点P横坐标的取值范围是_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 8 【题型】填空 【关键字】无 【解析】由题设易知35ac，如图， 12 FF，是椭圆的焦点， Q P F2F1O y x 以 12 F F为直径的圆与椭圆有

17、4个交点， 仅当P点在圆内时， 12 F PF为钝角 () QQ Q xy，为圆与椭圆的一个交点，如图， 由 12 2222 1212 | 26 |420 QFQFa QFQFFFc ，解得 12 | 4 | 2QFQF， 故 12 12 | |4 5 |5 Q QFQF y FF ，代入椭圆方程可得 3 5 5 Q x ， 由对称性不难得到点P的横坐标的范围为 33 55 55 ， 【答案】 33 55 x； 【例21】 椭圆 22 3721xy上有一点P到两个焦点的连线互相垂直，则P点的坐标是 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】椭圆的标准方程为 2

18、2 1 73 xy ，两个焦点坐标分别为( 2 0) ，与(2 0)，设点 00 ()P xy， 则有 22222 0000 (2)(2)4xyxy， 即 22 00 4xy 又 22 00 3721xy， 解得 22 00 79 44 xy，于是P点的坐标为 73 22 ， 【答案】 73 22 ，； 【例22】 设M是椭圆 22 1 43 xy 上的动点， 1 A和 2 A分别是椭圆的左、右顶点，则 12 MA MA 的最小值等于 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 9 【解析】设 00 ()M xy，则 100200 ( 2)(2)MAxyMAxy ， 于

19、是 22222 1200000 31 4341 44 MA MAxyxxx ， 显然当 0 0x 时， 12 MA MA取最小值为1 【答案】1； 【例23】 点P为椭圆 22 1 54 xy 在第一象限内的一点，以点P以及焦点 1 F， 2 F为顶点的三 角形的面积为1，则点P的坐标是_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】设() PP P xy， 1 2 1 2| 1 2 PF Fp Scy ，又541c ，点P在第一象限， 1 p y ，此时 2 115 5(1) 44 P x ，解得 15 2 P x ， 从而所求的点P坐标为 15 (1) 2

20、， 【答案】 15 1 2 ， 【例24】 已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点， 12 60FPF，椭圆的短半轴 长为3b ，则三角形 12 PF F的面积为_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】设 12 |PFmPFn，在 12 PF F中，由余弦定理 22222 42cos60cmnmnmnmn 又2mna，所以 222222 44 4()343()4 33 cmnmnamnmnacb 即可得 1 2 1 sin603 2 PF F Smn 【答案】3； 【例25】 已知 1 F、 2 F是椭圆 22 22 :1 xy C ab

21、 0ab的两个焦点，P为椭圆C上一点， 且 12 PFPF若 12 PFF的面积为9，则b 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2009 年，上海高考 【解析】依题意，有 10 12 12 2222 1212 | 2 1 | | 9 2 |4 PFPFa PFPF PFPFFFc ， 于是 22222 121212 4(|)|2| 436aPFPFPFPFPFPFc， 从而 222 9bac，故有3b 【答案】3 【例26】 设 12 FF，为椭圆 22 1 43 xy 左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于 P Q，两点，当四边形 12 PFQF面积最大时，

22、 12 PF PF的值等于_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 12 1 222 3 2 PFQFPQPQ Scyyyyb，且当P Q，分别为短轴的两个端点时 取到等号此时不妨取(03)P，则 12 ( 13) (13)2PF PF ， 【答案】2； 【例27】 点P是椭圆 22 1 2516 xy 上一点， 12 ,FF是椭圆的两个焦点，且 12 PFF的内切圆 半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 1212 10,6PFPFFF， 1 2 121212 11 ()

23、 183 22 PF FPP SPFPFFFFFyy 【答案】 8 3 ； 【例28】 设AB是过椭圆 22 22 1(1) xy ab ab 中心的弦，椭圆的左焦点为 1( 0)Fc ，则 1 F AB的面积的最大值为_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 111 11 22 F ABAOFBOFAB SSSScycy ，又 A yb， B yb，且当AB为 短轴时，同时取到等号，故 1 F AB的面积的最大值为cb 【答案】cb 11 【例29】 解方程： 22 61061010xxxx 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键

24、字】无 【解析】 222222 610610(3)(1 0)(3)(1 0)xxxxxx， 则点(1)x，在以(3 0)，( 3 0) ，为焦点，5a 的椭圆 22 1 2516 xy 上 令1y 5 15 4 x ，此即方程的解 【答案】 5 15 4 x 【例30】 在椭圆 22 1 259 xy 上求一点，使它到两焦点的距离之积为16 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】设所求点为()P xy，椭圆的左，右焦点为 12 FF，由椭圆的性质及已知条件有 12 12 | 10 | 16 PFPF PFPF ， 解得 1 2 | 2 | 8 PF PF

25、或 1 2 | 8 | 2 PF PF ， 即 22 22 (4)2 (4)8 xy xy 或 22 22 (4)8 (4)2 xy xy ， 于是不难算出 153 7 () 44 xy ，或 153 7 44 ， 【答案】 153 7 44 ，或 153 7 44 ， 【例31】 设P为椭圆 2 2 2 1 x y a (1)a 短轴上的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】依题意可设(0 1)P，()Q xy，则 22 (1)PQxy，又因为Q在椭圆上， 所以， 222 (1)xay， 2 222222

26、 (1)21(1)21PQayyyayya 2 22 22 11 (1)1 11 aya aa 12 因为1y ，1a ，若2a，则 2 1 1 1a ，当 2 1 1 y a 时，PQ取最大值 22 2 1 1 aa a ； 若12a，则当1y 时，PQ取最大值2 【答案】若2a，则 2 1 1 1a ，当 2 1 1 y a 时，PQ取最大值 22 2 1 1 aa a ； 若12a，则当1y 时，PQ取最大值2 【例32】 设 12 FF，为椭圆 22 1 94 xy 的两个焦点，P在椭圆上，已知 12 PFF， ，是一个直角 三角形的三个顶点，且 12 | |PFPF，求 1 2 |

27、| PF PF 的值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】设 12 |PFmPFn，mn， 当 12 90FPF时， 222 6 42 420 mn mn mnc ，； 当 21 90PF F时， 222 6 144 33420 mn mn mnc ， 于是可得 1 2 | | PF PF 的值为 7 2 或2 【答案】 7 2 或2； 【例33】 已知A、 分别是椭圆 22 22 1 xy ab 的左右两个焦点，O为坐标原点， 点 2 1, 2 P 在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点 求椭圆的标准方程； 点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点

28、，对于ABC，求 sinsin sin AB C 的值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2009 年，北京一模 【解析】点M是线段PB的中点，OM是PAB的中位线， 又OMAB，PAAB 22 222 1 11 1 2 c ab abc ，解得 222 2,1,1abc 13 椭圆的标准方程为 2 2 2 x y=1 点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点， 22 2ACBCa，22ABc 在ABC中，由正弦定理， sinsinsin BCACAB ABC ， sinsin sin AB C 2 2 2 2 BCAC AB 【答案】 2 2 2 x y=1； 2

29、【例34】 如图，点A、B分别是椭圆 22 1 3620 xy 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点， 点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF 求点P的坐标； 设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB， 求点M的坐标 求椭圆上的点到点M的距离d的最小值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】由已知可得点( 6 0)A ，(6 0)B，(4 0)F， 设点P的坐标是()xy，则(6)APxy ，(4)FPxy ， 由已知得 22 2 1 3620 (6)(4)0 xy xxy ，则 2 29180xx，解得 3 2 x 或6x 由于0y ，只能

30、 3 2 x ，于是 5 3 2 y ，点P的坐标为 35 3 22 ， 直线AP的方程是 5 30 2 (6) 3 6 2 yx ，即360xy， 设点M的坐标是(0)m，则M到直线AP的距离是 6 2 m ， 于是 6 6 2 m m ，又66m ，解得2m （18m 舍去） 故(2 0)M， 椭圆上的点()xy，到点M的距离d有： 2 22222 549 (2)442015 992 dxyxxxx ， 由于66x ，当 9 2 x 时，d取得最小值15 【答案】 35 3 22 ，； 14 (2 0)M，； 当 9 2 x 时，d取得最小值15 【例35】 已知点P在圆C： 22 (4)

31、1xy上移动，Q点在椭圆 2 2 1 4 x y上移动，求PQ 的最大值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】由PQCPCQCQr知，对于椭圆上任意一点Q，当点P在QC的延长线 上时，PQ有最大值CQr， 故只需求CQ的长度的最大值， 其中(0 4)C，1r Q P C O y x 法一：记(2cossin )Q， 则 2 2222 (2cos )(sin4)4cossin8sin16CQ 2 2 476 3sin8sin203 sin 33 ， 当sin1 时， 2 25CQ为最大值，此时PQ有最大值516 ，且(01)Q， (0 5)P， 法二：记

32、00 ()Q xy，则 2 20 0 1 4 x y， 2 22222 000000 (4)4(1)(4)3820CQxyyyyy 2 0 476 3 33 y 又 0 11y ，当 0 1y 时，CQ有最大值5， 此时(01)Q，PQ有最大值516 ，P点坐标为(0 5)， 【答案】P点坐标为(0 5)，时，PQ有最大值516 【例36】 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、 右焦点分别是 1 F和 2 F ， 离心率 2 2 e ， 点 2 F到 直线l： 2 a x c 的距离为2，其中c为椭圆的半焦距， 求ab、的值； 设M、N是l上的两个动点，满足 12 0FM F

33、 N，证明：当MN取最小值时， 15 2122 0F FF MF N 【考点】椭圆的几何性质 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】因为 c e a ， 2 F到l的距离 2 a dc c ，所以由题设得 2 2 2 2 c a a c c ， 解得22ca，由 222 2bac得2b 由2c ，2a 得 12 (2 0)( 2 0)FF， ，l的方程为2 2x 故可设 12 (2 2)(2 2)MyNy， 由 12 0FM F N知 12 (2 22) (2 22)0yy， 得 12 6y y ，所以 12 0y y ， 2 1 6 y y ， 1211 11 66 | |2

34、6 | MNyyyy yy 当且仅当 1 6y 时，上式取等号，此时 21 yy ， 所以， 212212 ( 2 2 0)( 2)( 2)F FF MF Nyy ， 12 (0)0yy， 【答案】2a ，2b ； 由2c ，2a 得 12 (2 0)( 2 0)FF， ，l的方程为2 2x 故可设 12 (2 2)(2 2)MyNy， 由 12 0FM F N知 12 (2 22) (2 22)0yy， 得 12 6y y ，所以 12 0y y ， 2 1 6 y y ， 1211 11 66 | |2 6 | MNyyyy yy 当且仅当 1 6y 时，上式取等号，此时 21 yy ， 所以， 212212 ( 2 2 0)( 2)( 2)F FF MF Nyy ， 12 (0)0yy，