高考数学讲义推理与证明.测试题

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1、 1 一、选择题 【题1】下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ） A、两条直线平行，同旁内角互补，如果A 和B 是两条平行直线的同旁内 角，则A+B=180 B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 C、某校高三共有 10 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，三班有 52 人，由此推 测各班都超过 50 人 D、在数列 n a中，)2)( 1 ( 2 1 , 1 1 11 n a aaa n nn ，由此推出 n a的通项公式 【答案】A。 【题2】如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FBAB时,其离心率为 51 2 ,此类 椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出

2、”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ） A. 51 2 B. 51 2 C.51 D.51 【答案】A。 【题3】数列 n a是正项等差数列， 若 n naaaa b n n 321 32 321 ， 则数列 n b也为 等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列 n c，若 n d= ，则数 列 n d也为等比数列. O x A B F y 向量 2 【答案】 n n n cccc 321 1 3 3 2 21 )(。 【题4】下列四个命题：若 1 0 2 a,则cos 1cos 1aa;若01a,则 1 1 a 1a 2a;若 x、yR，满足 2 yx,则 2 log22 xy 的最小值是

3、7 8 ； 若 a、bR，则 22 1ababab 。其中正确的是（ ） 。 (A) (B) (C) (D) 【答案】 （B） 【题5】、为锐角sina，sinsinb，则 a、b 之间关系为 （ ） Aab Bba Cab D不确定 【答案】B。 【题6】已知 f xyf xf y，且 12f，则 12fff n不能等于 （ ） 。 (A)f（1）+2f（1）+nf（1） (B) (1) 2 n n f (C)n（n+1） (D)n（n+1）f（1） 【答案】D 【题7】某个命题与正整数 n 有关，如果当)( Nkkn时命题成立，那么可推得当 1 kn时命题也成立. 现已知当7n时该命题不成

4、立，那么可推得 （ ） A当 n=6 时该命题不成立 B当 n=6 时该命题成立 C当 n=8 时该命题不成立 D当 n=8 时该命题成立 【答案】A。 【题8】用数学归纳法证明 n nnnn2)()2)(1()(12(31 Nnn， 从 “k 到 k+1”左端需乘的代数式是（ ） A.2k+1 B.) 12(2k C. 1 12 k k D. 1 32 k k 【答案】B 二、填空题 3 【题9】有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌 手，甲说： “是乙或丙获奖。 ”乙说： “甲、丙都未获奖。 ”丙说： “我获奖了。 ” 丁说： “是乙获奖。 ”四位歌手的话只有

5、两句是对的，则获奖的歌手是 【答案】丙。 【题10】在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形 的高的 1 3 ”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半 径等于这个正四面体的高的 。 【答案】hr 4 1 。 【题11】定义运算 () () aab a b bab ，例如，1 21，则函数 2 ( )(1)f xxx的最大 值为_ 【答案】 3- 5 2 。 【题12】由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边 形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。 【答案】。 【题13】已知数列 n a的第 1 项 1 1a ，

6、且 1 12 n n n a a a (1,2,)n ，试归纳出这个数列 的通项公式_ n a 【解析】 2 1 3 a ， 3 1 5 a ，一般地有 1 21 n a n ； 也可以直接求出通项公式由 1 12 n n n a a a 得， 1 1211 2 n nnn a aaa ，即 1 11 2 nn aa 所以数列 1 n a 是首项为 1 1 a ，公差为 2 的等差数列，则 1 11 2(1) n n aa 对满足 1 n n n aa a bca (0)abc 型的数列 n a，当ab时采取取倒数的方法即可 4 得出数列 1 n a 是等差数列， 再根据等差数列的通项公式即可

7、求出数列 n a的通 项 【答案】 1 21 n a n 【题14】下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： x 3 5 8 9 15 xlg ba2 ca ca333 ba24 13cba 请将错误的一个改正为lg = 【答案】cba 315lg 【题15】用数学归纳法证明“) 12(212)()2)(1(nnnnn n ” （ Nn） 时，从 “nk到1nk”时，左边应增添的式子是_ _。 【答案】) 12(2k。 三、解答题 【题16】已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证3 c cba b bca a acb 【答案】 a，b，c 全不相等 a b 与 b a ， a c 与 c a

8、 ， b c 与 c b 全不相等。 2，2，2 bacacb abacbc 三式相加得6 bccaab aabbcc (1)(1)(1)3 bccaab aabbcc 即 3 bcaacbabc abc 【题17】已知数列 n a(n为正整数)的首项为 1 a，公比为q的等比数列 求和： 012 122232 a Ca Ca C； 0123 13233343 aCa Ca Ca C 由的结果，概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明 5 【解析】 012 122232 a Ca Ca C= 22 1111 2(1)aaqaqaq， 0123 13233343 aCa Ca Ca C 233

9、11111 33(1)aaqaqaqaq 归纳概括的结论为：若数列 n a是首项为 1 a，公比为q的等比数列，则 0123 123411 ( 1)(1) nnn nnnnnn aCa Ca Ca CaCaq 将 1 (1)1 2 k aakdkn， ，代入，并利用 1 1 CC kk nn kn 即可证明上式成 立 【答案】 2 1(1 )aq， 3 1(1 )aq 若数列 n a是首项为 1 a，公比为q的等比数列，则 0123 123411 ( 1)(1) nnn nnnnnn aCa Ca Ca CaCaq 【题18】已知 、 是锐角， 2 ，且满足)2sin(sin3。 （1）求证：

10、tan2)tan(； （2）求证： 4 2 tan，并求等号成立时tan,tan的值。 【答案】 （1）证明：)(sin)sin(3),2sin(sin3 即)sin(cos)cos(sinsin)cos(3cos)sin(3 tan2)tan(),cos(sin2cos)sin(。 （2）证明： tan2 tan 1 1 tan21 tan tan)tan(1 tan)tan( )tan(tan 2 ， 、 为锐角， 4 2 22 1 tan2 tan 1 1 tan. 0tan 。 当且仅当 2 2 tan,tan2 tan 1 即时，取“=”号，此时， 4 2 tan。 【题19】已知数

11、列 n a满足： 1 1 2 a ， 1 1 3(1)2(1) 11 nn nn aa aa ， 1 0 nn a a ；数列 n b满足： 22 1 1() nnn baa n 求数列 n a， n b的通项公式； 证明：数列 n b中的任意三项不可能成等差数列 【考点】反证法 【难度】5 星 【题型】选择 【关键词】2010 年，湖北，高考 【答案】 1 12 43 n n b 6 用反证法证明 假设数列 n b存在三项, lms bbblms按某种顺序成等差数列，由于数列 n b是首项为 1 4 ，公比为 2 3 的等比数列，于是有 n b单调减，则只可能有 2 mls bbb成立 11

12、1 121212 2 434343 mls 化简得 1 2332 m ls ms ls l 即 1 2323 m ls ms ls l 上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾， 故数列 n b中任意三项不可能成等差数列 【题20】是否存在常数 a、b、c，使等式 )( 12 ) 1( ) 1(3221 2222 cbnan nn nn 对一切正整数 n 都成立？ 证明你的结论 【答案】把 n=1,2,3 代入得方程组 7039 4424 24 cba cba cba ，解得 10 11 3 c b a ， 猜想：等式)10113( 12 ) 1( ) 1(3221 2222 n

13、n nn nn对一切 Nn都成立 下面用数学归纳法证明： （1）当 n=1 时，由上面的探求可知等式成立 （2）假设 n=k 时等式成立，即 )10113( 12 ) 1( ) 1(3221 2222 kk kk kk则 222222 )2)(1()10113( 12 ) 1( )2)(1() 1(3221 kkkk kk kkkk 2 )2)(1()2)(53( 12 ) 1( kkkk kk )2(12)53( 12 )2)(1( kkk kk 10) 1(11) 1(3 12 )2)(1( 2 kk kk 所以当 n=k+1 时，等式也成立 综合（1） （2） ，对 Nn等式都成立 【题

14、21】两个实数数列 n x、 n y满足： 11 tan 3 xy ， 7 2 11 2 11 2 11 n nnnn n x xyyyn x ， ， 证明：1n 时，23 nn x y 【答案】记 1 tan() 3 x ，代入递推公式化简得 1 2 2 1 sin tan 1cos2 11 x x x 下面用数学归纳法证明 1 tan 2 n n x 1n 时已知成立假设(1)nk k时 1 tan 2 k k x 当1nk时，将 1 tan 2 k k x 代入 1 2 11 k k k x x x 不难化简得 1 tan 2 k k x 于是*nN时， 1 tan 2 n n x 类似

15、的，记 1 cot() 6 y ，则 1 cot 2 n n y 因此1n 时，有： 111 2 2 tancottancot 223 23 2 1tan 3 2 nn nnnn n x y 由tan的单调性知 22 tan(0,tan) 3 23 2 n ，即 2 1 tan(0, ) 3 23 n 综上可知23 nn x y 【题22】设数列 1 a， 2 a， n a中的每一项都不为0证明： n a为等差数列的充分必 要条件是：对任何nN，都有 1223111 111 nnn n a aa aa aa a 【答案】先证必要性 设数列 n a的公差为d若0d ，则所述等式显然成立 若0d

16、，则 12231 111 nn a aa aa a 32121 12231 1 nn nn aaaaaa da aa aa a 12231 1111111 nn daaaaaa 11 1111 1111 n nn aa daada a 11n n a a 再证充分性 证法一： （数学归纳法）设所述的等式对一切n N都成立首先，在等式 122313 112 a aa aa a 两端同乘 123 a a a，即得 132 2aaa，所以 1 a， 2 a， 3 a成等差数列，记公差为d， 则 21 aad 8 假设 1 1 k aakd，当1nk时，观察如下二等式 122311 1111 kkk k a aa aaaa a ， 12231111 1111 kkkkk k a aa aaaa aa a 将代入，得 1111 11 kkkk kk a aa aa a ， 在该式两端同乘 11kk a a a ，得 11 1 kk kaaka 将 1 1 k aakd代入其中，整理后，得 11k aakd 由数学归纳法原理知， 对一切n N都有 1 1 n aand 所以 n a是公差为d 的等差数列