高考数学讲义统计.参考教案.教师版

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1、 1 要求 层次 重难点 随机抽样 简单随机抽样 B （1）随机抽样 理解随机抽样的必要性和重要性 会用简单随机抽样方法从总体中抽取 样本；了解分层抽样和系统抽样方法 （2）总体估计 了解分布的意义和作用， 会列频率分布表， 会画频率分布直方图、 频率折线图、 茎叶图， 理解它们各自的特点 理解样本数据标准差的意义和作用， 会计算数据标准差 能从样本数据中提取基本的数字特征 （如平均数、 标准差） ， 并作出合理的解释 会用样本的频率分布估计总体分布， 会用样本的基本数字特征估计总体的基本 数字特征，理解用样本估计总体的思想 会用随机抽样的基本方法和样本估计 总体的思想解决一些简单的实际问题

2、（2）变量的相关性 会作两个有关联变量的数据的散点 图， 会利用散点图认识变量间的相关关系 了解最小二乘法的思想，能根据给出 的线性回归方程系数公式建立线性回归方 程 分层抽样和 系统抽样 A 用样本估 计总体 频率分布表， 直方图、 折线图、 茎叶图 B 样本数据的基本的数 字特征（如平均数、标 准差） B 用样本的频率分布估 计总体分布， 用样本的基本数字特 征估计总体的基本数 字特征 C 变量的相 关性 线性回归方程 B 一随机抽样 1随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方 法： 简单随机抽样：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每

3、一次抽 取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样 抽出办法：抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法 知识内容 高考要求 统计 2 随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张 数表表中每一位置出现各个数字的可能性相同 随机数表法是对样本进行编号后， 按照一定的规律从随机数表中读数， 并取出相应的样本的 方法 简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法 系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个 个体，得到所需要的样本的抽样方法 抽出办法：从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本，如果总体容量能被样本

4、容量整 除，设 N k n ，先对总体进行编号，号码从1到N，再从数字1到k中随机抽取一个数s作 为起始数，然后顺次抽取第2(1)sksksnk， ，个数，这样就得到容量为n的样 本如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样 方法进行抽样 系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样 分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使 总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按 层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样 分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层

5、抽样时，可灵活选用不同的抽样方法， 应用广泛 2简单随机抽样必须具备下列特点： 简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的 简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N 简单随机样本是从总体中逐个抽取的 简单随机抽样是一种不放回的抽样 简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n N 3系统抽样时，当总体个数N恰好是样本容量n的整数倍时，取 N k n ； 若 N n 不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容 量n整除因为每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍 然相等，为 N n 二频率直方图 列出样本数据的频率分布表和频率分布直方

6、图的步骤： 计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； 决定组距与组数：取组距，用 极差 组距 决定组数； 决定分点：决定起点，进行分组； 列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得 到各小组的频率 绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以 频率 组距 的值为纵坐标绘制直方图， 知小长方形的面积组距频率 组距 频率 频率分布折线图： 将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来， 就得到频率分 布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义 总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布

7、直方图可以用一条光滑曲线( )yf x来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体密度 3 曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律 三茎叶图 制作茎叶图的步骤： 将数据分为“茎”、“叶”两部分； 将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； 将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出 四统计数据的数字特征 用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差 数据的离散程序可以用极差、方差或标准差来描述 极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； 样本方差描述了一组数据平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根 一般地，设

8、样本的元素为 12n xxx， ， ，样本的平均数为x， 定义样本方差为 222 212 ()()() n xxxxxx s n ， 样本标准差 222 12 ()()() n xxxxxx s n 简化公式： 22222 12 1 () n sxxxnx n 五独立性检验 1两个变量之间的关系； 常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间存在关系，但又不具备函数关系 所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的当一个变量取值一定时，另一个变量的 取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 2散点图：将样本中的n个数据点()(1 2) ii xyin， ， ，描在平面直角坐标

9、系中，就得到 了散点图 散点图形象地反映了各个数据的密切程度， 根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个 变量的关系 3如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时， 散点图中的点在从左下角到右上角的区域 反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关此时，散点 图中的点在从左上角到右下角的区域 散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系 4统计假设：如果事件A与B独立，这时应该有()( ) ( )P ABP A P B，用字母 0 H表示此式， 即 0: ()( ) ( )HP ABP A P B，称之为统计假设 5 2 （读作“卡方”）

10、统计量： 统计学中有一个非常有用的统计量，它的表达式为 2 211221221 1212 ()n n nn n n n n n ，用它的大小可以 用来决定是否拒绝原来的统计假设 0 H如果 2 的值较大，就拒绝 0 H，即认为A与B是有 关的 2 统计量的两个临界值：3.841、6.635；当 2 3.841时，有95%的把握说事件A与B有 关；当 2 6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当 2 3.841时，认为事件A与B 是无关的 独立性检验的基本思想与反证法类似， 由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发 生，而小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程

11、度上是成立的 4 1独立性检验的步骤：统计假设： 0 H；列出22联表；计算 2 统计量；查对临界值表， 作出判断 2几个临界值： 222 ()0.10(3.841)0.05(6.635)0.01PPP2.706， 22联表的独立性检验： 如果对于某个群体有两种状态，对于每种状态又有两个情况，这样排成一张22的表，如 下： 状态B 状态B 合计 状态A 11 n 12 n 1 n 状态A 21 n 22 n 2 n 1 n 2 n n 如果有调查得来的四个数据 11122122 nnnn， 并希望根据这样的4个数据来检验上述的两种 状态A与B是否有关，就称之为22联表的独立性检验 六回归分析

12、1回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分 析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性 回归直线： 如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近， 就称这两个变量之间具有线性 相关关系，这条直线叫做回归直线 2最小二乘法： 记回归直线方程为： y abx，称为变量Y对变量x的回归直线方程，其中a b，叫做回归 系数 y 是为了区分Y的实际值y，当x取值 i x时，变量Y的相应观察值为 i y，而直线上对应于 i x 的纵坐标是i i yabx 设x Y，的一组观察值为() ii xy，1 2in ， ， ，且回归直线方程为 y abx， 当x取值 i x时

13、，Y的相应观察值为 i y，差 ( 1 2) ii yy in ， ， ，刻画了实际观察值 i y与回归 直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差 我们希望这n个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点 记 2 1 () n ii i Qyabx ，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那条 这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法 用最小二乘法求回归系数a b，有如下的公式： 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx，其中a b，上方加“”，表示是由观察值按最小二乘法求得的 回归系数 3线性回归模型：将用于估计y值的线性

14、函数abx作为确定性函数；y的实际值与估计 值之间的误差记为，称之为随机误差；将yabx称为线性回归模型 产生随机误差的主要原因有： 所用的确定性函数不恰当即模型近似引起的误差； 忽略了某些因素的影响，通常这些影响都比较小； 由于测量工具等原因，存在观测误差 4线性回归系数的最佳估计值： 利用最小二乘法可以得到 a b，的计算公式为 5 11 222 11 ()() ()( ) nn iiii ii nn ii ii xx yyx ynxy b xxxn x ， a ybx，其中 1 1 n i i xx n ， 1 1 n i i yy n 由此得到的直线yabx就称为回归直线，此直线方程即

15、为线性回归方程其中 a ，b分 别为a，b的估计值， a 称为回归截距，b称为回归系数， y 称为回归值 5相关系数： 11 222222 1111 ()() ()()( ) )( ) ) nn iiii ii nnnn iiii iiii xx yyx ynxy r xxyyxn xyn y 6相关系数r的性质： | |1r ； | | r越接近于 1，xy，的线性相关程度越强； | | r越接近于 0，xy，的线性相关程度越弱 可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关 7转化思想： 根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转 化为

16、线性回归方程，从而确定未知参数 8一些备案 回归 （regression） 一词的来历： “回归”这个词英国统计学家 Francils Galton 提出来的 1889 年，他在研究祖先与后代的身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高， 但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高； 身材较矮的父母， 他们的孩子也较矮， 但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高 Galton 把这种后代的身高向中间值靠近 的趋势称为“回归现象”后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称 为回归分析 回归系数的推导过程： 22222 ()222 iiiiiiii Qyabxy

17、aynabx yabxbx 2222 2 ()2 iiiiii naa bxybxbx yy ， 把上式看成a的二次函数， 2 a的系数0n ， 因此当 2() 2 iiii bxyybx a nn 时取最小值 同理， 把Q的展开式按b的降幂排列， 看成b的二次函数， 当 2 iii i x yax b x 时取最小值 解得： 1 2 22 1 ()() () n ii ii i n i i i x ynxy xxyy b xx xnx ，aybx， 其中 1 i yy n ， 1 i xx n 是样本平均数 9 对相关系数r进行相关性检验的步骤： 提出统计假设 0 H：变量xy，不具有线性相

18、关关系； 如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05与2n （n是样本容量）在相 关性检验的临界值表中查出一个r的临界值 0.05 r（其中10.950.05称为检验水平） ； 计算样本相关系数r； 作出统计推断：若 0.05 |rr，则否定 0 H，表明有95%的把握认为变量y与x之间具有线 6 性相关关系；若 0.05 |rr，则没有理由拒绝 0 H，即就目前数据而言，没有充分理由认为变 量y与x之间具有线性相关关系 说明： 对相关系数r进行显著性检验，一般取检验水平0.05，即可靠程度为95% 这里的r指的是线性相关系数，r的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相

19、 关，可能是非线性相关的某种关系 这里的r是对抽样数据而言的有时即使| | 1r ，两者也不一定是线性相关的故在统计 分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释 板块一 随机抽样 【例1】 为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就 这个问题，下列说法中正确的有（ ）个 2000名运动员是总体； 每个运动员是个体； 所抽取的100名运动员是一个样本； 样本容量为100； 这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样； 每个运动员被抽到的概率相等 A1 B2 C3 D4 【难度】 【解析】 B； 2000名运动员的年龄是总体，抽取的100名运动员的年龄是一个样本

20、，只有 正确 【例2】 某社区有400户家庭，其中高收入家庭25户，中收入家庭280户，低收入 家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样 本； 从10名职工中抽取3名参加座谈会； 一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为1至50号，为了了解他 们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查 以上问题各对应哪种随机抽样方法？ 【难度】 【解析】 分层抽样；简单随机抽样；系统抽样 【例3】 采用系统抽样法，从121人中抽取一个容量为12人的样本，写出抽样的步骤， 并求每人被抽取的机率 【难度】 【解析】 抽样步骤： 因12不能整除121，故先随机剔除

21、一个人，将余下的人从1120进行编号，在 110中 用 抽 签 法 抽 出k号(110)k ， 然 后 依 次 顺 序 抽 取 典例分析 7 1020110kkk， ，得到一个12人的样本 被抽取的机率：系统抽样无论有无剔除都是等机率抽样，因为被剔除的机率也 是相同的，故被抽取的机率为 12 121 【例4】 用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生随机地 从 1160 编号，按编号顺序平均分成 20 组（18号，916号，153160 号） ，若第 16 组抽出的号码为 126，则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 _ 【难度】 【解析】 不妨设在第1

22、组中随机抽到的号码为x， 则在第16组中应抽出的号码为120x 设第 1 组抽出的号码为x，则第 16 组应抽出的号码是8 15126x，6x 【例5】 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为 n的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本 容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样本容 量为_ 【难度】 【解析】 6; 总体容量36N （人） ， 当样本容量为n时，系统抽样间隔为 36 * n N 分层抽样的抽样比为 36 n ，求得工程师、技术员、技工的样本人数分别为 632 nnn ， ， 所以n应是6的倍数

23、，36的约数，即6 12 18n ， ， 当样本容量为1n 时， 总体中先剔除1人， 还有35人， 系统抽样间隔为 35 * 1n N， 所以n只能是6 【例6】 一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，99，依编号顺序平均分成 10个小组，组号依次为1，2，3，10现用系统抽样方法抽取一个容量 为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的 号码个位数字与mk的个位数字相同，若6m ，则在第7组中抽取的号码 是 【难度】 【解析】 63；第k组的号码为1 *10k ，1 *10 1k ，1 *109k ，当6m 时， 第k组抽取的号的个位数字为mk的个位数字，

24、所以第7组中抽取的号码的个 位数字为3 ，所以抽取号码为63 【例7】 (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试) 某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 为了调查他们的身体情况， 用分层抽样的方法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有6名老年人，那么 n . 【难度】 【解析】 由比例可得抽取的中年职工共有 12 人，青年职工共有 18 人，于是 6121836n 。 8 【例8】 （2009 湖南） 一个总体分为，A B两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样方法从总体中抽取 一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 1 28 ，则总体中的 个体数为 【难

25、度】 【解析】 由条件易知B层中抽取的样本数是2，设B层总体数是n，则又由B层中甲、 乙都被抽到的概率是 2 2 2 C1 C28 n ，可解得8n ，所以总体中的个体数是 4 8840 【例9】 （05 年湖南）某工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙三条生产 线为检查产品的质量，决定采用分层抽样法进行抽样已知甲、乙、丙三条 生产线抽取的个数成等差数列，则乙生产了_件产品 【难度】 【解析】 根据分层抽样的抽样比相等知：甲、乙、丙三条生产线生产的产品数量比等于 抽取的样品容量比 又这三条生产线抽取的产品个数成等差数列， 根据等差数列的性质知， 它们生产的 产品也成等差数列 又乙生

26、产线生产的产品数量为甲、丙的等差中项，且和为16800， 故乙生产的产品数量为： 16800 5600 3 件 【例10】 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为 n的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本 容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样本容 量为_ 【难度】 【解析】 总体容量36N （人） ， 当样本容量为n时，系统抽样间隔为 36 * n N 分层抽样的抽样比为 36 n ，求得工程师、技术员、技工的样本人数分别为 632 nnn ， ， 所以n应是6的倍数，36的约数，即6 12 18n ，

27、 ， 当样本容量为1n 时， 总体中先剔除1人， 还有35人， 系统抽样间隔为 35 * 1n N， 所以n只能是6 【例11】 （2008 广东 19） 某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19 求x的值； 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 9 已知245y，245z，求初三年级中女生比男生多的概率 【难度】 【解析】 0.19 2000 x ，380x ； 初三年级人数为200037337738037

28、0500yz， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生， 应在初三年级抽取的人数为： 48 50012 2000 名 设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为( ,)yz； 由知500yz， 且yzN， 基本事件空间包含的基本事件有：245255，、 246254，、247253，、255245，共11个 事件A包含的基本事件有： 251 249，、252248，、253247，、254246，、255245，共5个 5 ( ) 11 P A 板块二 频率直方图茎叶图 【例1】 （2009 湖北 15） 下图是样本容量为200的频率分布直方图 0.09 0.08 0.03 0

29、.02 2218141062样本数据 O 频率/组距 根据样本的频率分布直方图估计， 样本数据落在6 10，内的频数为 ， 数据 落在2 10，内的概率约为 【难度】 【解析】 64 0.4，； 观察直方图易得频数为2000.08464，频率为(0.020.08)40.4 【例2】 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的 数量 产品数量的分组区间为4555，5565，6575，7585，8595， 由此得到频率分布直方图如图3， 则这20名工人中一天生产该产品数量在5575， 的人数是 10 频率/组距 产品数量 0.040 0.035 0.030 0.025

30、 0.020 0.015 0.010 0.005 0 958575655545 【难度】 【解析】 13; 20 (0.065 10)13，故答案为 13 【例3】 如图为某样本数据的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ） 18141062 0.1 0.08 0.05 0.02 频率 组距 O A6 10)，的频率为0.32 B若样本容量为100，则10 14)，的频数为40 C若样本容量为100，则(10，的频数为40 D由频率分布布直方图可得出结论：估计总体大约有10%分布在10 14)， 【难度】 【解析】 D； 10 14)，的频率为0.1 40.4，因此估计总体大约有40%分布在

31、10 14)， 【例4】 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共 有 900 名学生参加了这次竞赛 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生 的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计 请你根据尚未完成并有局部 污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内） ； 补全频数条形图； 若成绩在 755855 分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 【难度】 【解析】 分组 频数 频率 50.5 60.5 4 0.08 60.5 70.5 8 0.16 70.5 80.5 10 0.20 11 8

32、0.5 90.5 16 0.32 9051005 12 024 合计 50 100 频数直方图如下图所示 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 人数 成绩(分) 成绩在75.5 80.5分的学生占70.5 80.5分的学生的 5 10 ，因为成绩在 70.5 80.5分的学生频率为0.2，所以成绩在76.5 80.5分的学生频率为0.1，成绩 在80.5 85.5分的学生占80.5 90.5分的学生的 5 10 ，因为成绩在80.5 90.5分的学 生频率为0.32，所以成绩在80.5 85.5分的学生频率为0.16，所以成绩在 76.5 85.5分的学生频率为0.26

33、，由于有 900 名学生参加了这次竞赛，所以该校获 得二等奖的学生约为0.26 900234（人） 【例5】 右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图， 571 2678479 45368 553 乙甲 4 3 2 1 则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ） A62 B63 C64 D65 【难度】 【解析】 C；283664 12 【例6】 （2009 年福建 12） 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位 评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示， 记 分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平 均分为91， 复核员在复核时， 发现有一个数字 （茎 叶图中的x）无法

34、看清若记分员计算无误，则数字x应该是 【难度】 【解析】 1； 由茎叶图可知所有评分为：88 89 89 92 93 992 91 94x， ， ， ， ， ， ， ， 若4x ， 去掉9x， 易知剩下的数的平均数大于91；故94为最高分，去掉88与94后，有 89899293909291791x，解得1x 【例7】 某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下： 甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 用茎叶图表示两学生的成绩； 分别求两学生成绩的中位数和平均分 【难度】 【

35、解析】 两学生成绩绩的茎叶图如右所示 896455 3819 261846 1728 52 乙甲 54 53 52 51 将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为： 甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556， 乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 536538 537 2 ， 乙学生成绩的中位数为 532536 534 2 甲学生成绩的平均数为： 12222834363841495456 500537 10 ， 乙学生成绩的平均数为： 15212731323643485859

36、500537 10 作品A 8 9 8 9 9 2 3 x 2 1 4 13 【例8】 某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下： 10 28 31 17 23 27 18 15 26 24 20 19 36 27 14 25 15 22 11 24 27 17， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 某报纸的一篇文章中，每个句子所含的字数如下： 27 39 33 24 28 19 32 41 33 27 35 12 36 41 27 13 22 23 18 46 32 22， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，

37、， ， ， 将两组数据用茎叶图表示； 比较分析，能得到什么结论？ 【难度】 【解析】 茎叶图如右 116 223356961 2234777887776544320 2389987755410 报纸文章电脑杂志 4 3 2 1 电脑杂志上每个句子的字数集中在10 30之间，中位数为23；而报纸上每个句 子的字数集中在20 40之间，中位数为28电脑杂志上每个句子的平均字数比报 纸上的平均字数 要少说明电脑杂志作为科普读物需要简明 板块三 数字特征，独立及回归 【例1】 已知一组数据 1210 xxx， ， ，的方差是2， 且 222 1210 (3)(3)(3)380xxx，则这组数据的平均数

38、x _ 【难度】 【解析】 9或3； 依题设有 222 1210 ()()() 2 10 xxxxxx ，展开变形得 2222 12101210 () 102 ()20xxxxx xxx 同样的， 222 1210 (3)(3)(3)380xxx，展开变形得 222 12101210 () 10 96 ()380xxxxxx 并化简得 2 6270xx解得3x 或9x 【例2】 求下列各组数据的方差与标准差（精确到0.1） ，并分析由这些结果可得出什么更 一般的结论 1 2 3 4 5 6 7 8 9； 11 12 13 14 15 16 17 18 19； 2 4 6 8 10 12 14

39、16 18 【难度】 【解析】 1 1 (129)5 9 x ， 22222 1 120 (12995 )6.7 93 s ， 1 20 2.6 3 s ； 14 2 1 (11 1219)15 9 x ， 2222 2 120 (11 15)(1215)(1915) 6.7 93 s ， 2 20 2.6 3 s ； 3 1 (2418)10 9 x ， 2222 3 180 (210)(410)(1810) 26.7 93 s ， 3 80 5.2 3 s ； 一组数都加上相同的数后，方差不变，都乘以相同的倍数n后，标准差变为原来的 n倍 ， 方 差 变 为 原 来 的 2 n倍 即 12

40、n xxx， ， ，的 方 差 为 2 s， 则 12n xaxaxa， ，的方差仍为 2 s， 12n nxnxnx， ，的方差为 22 n s 【例3】 （2009 上海 18） 在发生某公共卫生事件期间， 有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模 群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”根据过去10天甲、 乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A甲地：总体均为3，中位数为4 B乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C丙地：中位数为2，众数为3 D丁地：总体均值为2，总体方差为3 【难度】 【解析】 D； 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似

41、病例不能有超过7的数，选项 A 中， 中位数为4，可能存在大于7的数； 同理，在选项 C 中也有可能； 选项 B 中，如果某天数据为10，其余9天为0，则不符合标志； 选项 D 中， 根据公式， 若有大于7的数存在， 则方差至少为 2 1 (82)3.6 10 【例4】 （2008 上海 9） 已知总体的各个体的值由小到大依次为2 3 3 712 13.7 18.3 20a b， ， ， ，且总 体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 【难度】 【解析】 10.5，10.5； 10.5 2 ab 21ab，要使方差最小，只需 22 (10.5)(10.5)ab最小，

42、当且 仅当 22 ab最小，显然当10.5ab时取到最小值 【例5】 对变量X与Y的卡方统计量 2 的值，说法正确的是（ ） A 2 越大，“X与Y有关系”可信程度越小； B 2 越小，“X与Y有关系”可信程度越小； C 2 越接近 0，“X与Y无关”程度越小； D 2 越大，“X与Y无关”程度越大 15 【难度】 【解析】 B 【例6】 某高校食堂随机调查了一些学生是否因距离远近而选择食堂就餐的情况， 经计算得 到 2 4.932所以判定距离远近与选择食堂有关系，那么这种判断出错的可能性 为多少？ 【难度】 【解析】 因为 2 3.841，所以出错的可能性为5% 【例7】 下表中给出了某周内

43、中学生是否喝过酒的随机调查结果， 若要使结论的可靠性不低 于 95%，根据所调查的数据，能否作出该周内中学生是否喝过酒与性别有关的结 论？ 喝过酒 没喝过酒 总计 男生 77 404 481 女生 16 122 138 总计 93 526 619 【难度】 【解析】 提出假设 0 H：该周内中学生是否喝过酒与性别无关 由列联表中的数据，算出 2 1.6366， 当 0 H成立时， 2 3.841的概率约为0.05，而这里 2 1.63663.841， 所以，不能推断出喝酒与性别有关的结论 【例8】 为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行 了相应的抽样调查，调查

44、结果如表所示根据所选择的 193 个病人的数据，能否 作出药的效果与给药方式有关的结论？ 有效 无效 合计 口服 58 40 98 注射 64 31 95 合计 122 71 193 【难度】 【解析】 在口服的病人中，有 58 59% 98 的人有效；在注射的病人中，有 64 67% 95 的人有 效从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认 为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明 提出假设 0 H：药的效果与给药方式没有关系由列联表中的数据，算出 2 2 193 (58 3140 64) 1.3896 122 71 98 95 ，查表有 2

45、 (2.072)0.15P 当 0 H成立时， 2 1.3896的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的 调查数据，不能否定假设 0 H，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论 点评：如果观测值 2 2.706，那么就认为没有充分的证据显示两个分类变量有 关系，但也不能作出结论“ 0 H成立”，即两个变量没有关系 【例9】 （2009 辽宁 20） 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在 29.9430.06，的零件为优质品从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内 径尺寸，的结果如下表： 16 甲厂： 分组 29.86 , 29.90) 29.90 , 29.94) 29.94 29.98) ， 29.98 30.02) ， 30.02 30.06) ， 30.06 30.10) ， 30.10 30.14) ， 频数 12 63 86 182 92 61 4 乙厂： 分组 29.86 , 29.90) 29.90 , 29.94) 29.94 29.98) ， 29.98 30.02) ， 30.02 30.06) ， 30.06 30.10) ， 30.10 30.14) ， 频数 29 71 85 159 76 62 18 试分别估计两个分厂