高考数学讲义随机变量及其分布列.复习题
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1、 1 【例1】 如果是一个离散型随机变量,则假命题是( ) A取每一个可能值的概率都是非负数; B取所有可能值的概率之和为 1; C取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和; D在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 奎屯 王新敞 新疆 【答案】D; 【例2】 袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回 抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量,则所有可 能取值的个数是( ) A5 B9 C10 D25 【答案】B; 【例3】 在 10 件产品中有 2 件次品,连续抽 3 次,每次抽 1 件,求: 不放回抽样时,抽到次
2、品数的分布列; 放回抽样时,抽到次品数的分布列 【答案】随机变量可以取 0,1,2,也可以取 0,1,2,3, 放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化,要具体 问题具体分析 3 8 3 10 7 0 15 C P C , 12 28 3 10 7 1 15 CC P C , 12 82 3 10 1 2 15 CC P C 所以的分布列为 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 3 8 0.80.20,1, 2, 3 kkk PkCk ,所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量及其分布列 2 P 03 8 0.8C 121 8 0.80.2C 212 8 0.8 0
3、.2C 33 8 0.2C 【例4】 (河北省正定中学高 2010 届一模) 随机变量的概率分布规律为 1 a Pn n n 1, 2, 3, 4n, 其中a是常数, 则 15 22 P 的值为( ) A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 【答案】D; 【例5】 已知随机变量X的分布列为()(1 2 3) 2 i P Xii a , ,则(2)P X 【答案】 1 3 ; 【例6】 一袋中装有编号为1 2 3 4 5 6, , ,的6个大小相同的球,现从中随机取出3个 球,以X表示取出的最大号码 求X的概率分布; 求4X 的概率 【答案】 X的可能取值为3 4 5 6, ,从而有:
4、2 2 3 6 C1 (3) C20 P X , 2 3 3 6 C3 (4) C20 P X , 2 4 3 6 C3 (5) C10 P X , 2 5 3 6 C1 (6) C2 P X 故X的概率分布为 X 3 4 5 6 P 20 1 20 3 10 3 2 1 314 (4)(5)(6) 1025 P XP XP X 【例7】 (2010 广东) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件 产品作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为490495, 495 500,510 515,由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 所示 3 根据频率
5、分布直方图,求重量超过505克的产品数量 在上述抽取的40件产品中任取2件, 设Y为重量超过505克的产品数量, 求Y的 分布列; 从该流水线上任取5件产品,求恰有2件产品的重量超过505克的概率 【答案】 重量超过505克的产品数量是: 500.05 50.01 540 0.3 12 Y的分布列为: Y 0 1 2 P 2 28 2 40 C C 11 2812 2 40 CC C 2 12 2 40 C C 设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y, 3 5 10 y B ,从而 23 2 5 373087 2C 101010000 P Y 即恰有2件产品的重量超过505
6、克的概率为 3087 10000 【例8】 某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次按下后,出现 红球与绿球的概率都是 1 2 ,从按钮第二次按下起,若前次出现红球,则下一次 出现红球、绿球的概率分别为 12 33 ,;若前次出现绿球,则下一次出现红球、绿 球的概率分别为 32 55 ,;记 第(*)n nN次按下按钮后出现红球的概率为 n P 求 2 P的值; 当2nnN, 时,求用 1n P表示 n P的表达式; 求 n P关于n的表达式 【答案】 2 P是“第二次按下按钮后出现红球” 若第一次,第二次均出现红球,则概率为: 1 11 2 36 第一次出现绿球,第二次出现红
7、球的概率为: 1 33 2 510 故所求概率为: 2 137 61015 P 第1n次按下按钮出现红球的概率为: 1( 2) n Pn , 则出现绿球的概率为: 1 1 n P 若第1n次,第n次均出现红球,其概率为: 1 1 3 n P 若第1n次,第n次依次出现绿球,红球,其概率为: 1 3 (1) 5 n P 于是 111 1343 (1) 35155 nnnn PPPP ; 由 111 1343 (1) 35155 nnnn PPPP , 引入代定参数x,使得 1 4 () 15 nn PxPx 上式即为 1 419 1515 nn PPx ,与 n P的表达式对比 193 155
8、x,因此 9 19 x 4 于是 11 11 9494941 ()()()() 19151915191538 nn nn PPP 1 419 ()(2) 153819 n n Pnn N, 【例9】 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会,求该委员会中女 性委员人数的概率分布、期望值与方差 【答案】设女性委员的人数为X,则X服从参数为(8 3 5),的超几何分布,其概率分布 为 1153010 (0)(1)(2)(3) 56565656 P XP XP XP X, 期望 3 515 () 88 E X ,方差 2 5 (85)(83)3225 ()0.5022 8(8
9、 1)448 D X 【例10】 设在 4 次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若已知事件A至少发生一 次的概率等于 65 81 ,求事件A在一次试验中发生的概率 【答案】设所求概率为p,X为A在 4 次试验中发生的次数,则(4)XBp,依题意 04 4 65 (1)1(0)1C (1) 81 P XP Xp ,解出 1 3 p 【例11】 某万国家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费1000元,便可获得奖券 一张,每张奖券中奖的概率为 1 5 ,若中奖,则家具城返还顾客现金200元某 顾客消费了3400元,得到 3 张奖券 求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率; 求家具城至少返还
10、该顾客现金200元的概率 【答案】家具城恰好返还给该顾客现金200元,即该顾客的三张奖券有且只有一张中 奖所求概率为 12 3 1448 C ( ) ( ) 55125 p 设家具城至少返还给该顾客现金200元为事件A,这位顾客的三张奖券有且 只有一张中奖为事件 1 A,这位顾客有且只有两张中奖为事件 2 A,这位顾客有且 只有三张中奖为事件 3 A,则 123 AAAA,且 123 AAA, ,是互斥事件 123 ( )()()()P AP AP AP A 122233 333 14141 C ( ) ( )C ( )( )C ( ) 55555 48121 125125125 61 125
11、 也可以用间接法求: 3 461 ( )1( )1( ) 5125 P AP A 【例12】 一个口袋中装有n个红球(5n且*nN)和5个白球,一次摸奖从中摸两个 球,两个球颜色不同则为中奖 试用n表示一次摸奖中奖的概率p; 若5n ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; 5 记三次摸奖 (每次摸奖后放回) 恰有一次中奖的概率为P 当n取多少时,P 最大? 【答案】 一次摸奖从5n 个球中任选两个, 有 2 5 Cn种, 其中两球不同色有 11 5 C C5 n n种, 一次摸奖中奖的概率 2 5 510 C(4)(5) n nn p nn 若5n ,一次摸奖中奖的概率 5 9 p
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- 高考 数学 讲义 随机变量 及其 分布
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