高考数学讲义随机变量及其分布列.复习题

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1、 1 【例1】 如果是一个离散型随机变量，则假命题是（ ） A取每一个可能值的概率都是非负数； B取所有可能值的概率之和为 1； C取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和； D在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 奎屯 王新敞 新疆 【答案】D； 【例2】 袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，现在在有放回 抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可 能取值的个数是（ ） A5 B9 C10 D25 【答案】B； 【例3】 在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求： 不放回抽样时，抽到次

2、品数的分布列； 放回抽样时，抽到次品数的分布列 【答案】随机变量可以取 0，1，2，也可以取 0，1，2，3， 放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体 问题具体分析 3 8 3 10 7 0 15 C P C ， 12 28 3 10 7 1 15 CC P C ， 12 82 3 10 1 2 15 CC P C 所以的分布列为 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 3 8 0.80.20,1, 2, 3 kkk PkCk ，所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量及其分布列 2 P 03 8 0.8C 121 8 0.80.2C 212 8 0.8 0

3、.2C 33 8 0.2C 【例4】 （河北省正定中学高 2010 届一模） 随机变量的概率分布规律为 1 a Pn n n 1, 2, 3, 4n， 其中a是常数， 则 15 22 P 的值为（ ） A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 【答案】D； 【例5】 已知随机变量X的分布列为()(1 2 3) 2 i P Xii a ， ，则(2)P X 【答案】 1 3 ； 【例6】 一袋中装有编号为1 2 3 4 5 6， ， ，的6个大小相同的球，现从中随机取出3个 球，以X表示取出的最大号码 求X的概率分布； 求4X 的概率 【答案】 X的可能取值为3 4 5 6， ，从而有：

4、2 2 3 6 C1 (3) C20 P X ， 2 3 3 6 C3 (4) C20 P X ， 2 4 3 6 C3 (5) C10 P X ， 2 5 3 6 C1 (6) C2 P X 故X的概率分布为 X 3 4 5 6 P 20 1 20 3 10 3 2 1 314 (4)(5)(6) 1025 P XP XP X 【例7】 （2010 广东） 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件 产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，重量的分组区间为490495， 495 500，510 515，由此得到样本的频率分布直方图，如图 4 所示 3 根据频率

5、分布直方图，求重量超过505克的产品数量 在上述抽取的40件产品中任取2件， 设Y为重量超过505克的产品数量， 求Y的 分布列； 从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率 【答案】 重量超过505克的产品数量是： 500.05 50.01 540 0.3 12 Y的分布列为： Y 0 1 2 P 2 28 2 40 C C 11 2812 2 40 CC C 2 12 2 40 C C 设所取的5件产品中，重量超过505克的产品件数为随机变量Y， 3 5 10 y B ，从而 23 2 5 373087 2C 101010000 P Y 即恰有2件产品的重量超过505

6、克的概率为 3087 10000 【例8】 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现 红球与绿球的概率都是 1 2 ，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次 出现红球、绿球的概率分别为 12 33 ，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿 球的概率分别为 32 55 ，；记 第(*)n nN次按下按钮后出现红球的概率为 n P 求 2 P的值； 当2nnN， 时，求用 1n P表示 n P的表达式； 求 n P关于n的表达式 【答案】 2 P是“第二次按下按钮后出现红球” 若第一次，第二次均出现红球，则概率为： 1 11 2 36 第一次出现绿球，第二次出现红

7、球的概率为： 1 33 2 510 故所求概率为： 2 137 61015 P 第1n次按下按钮出现红球的概率为： 1( 2) n Pn ， 则出现绿球的概率为： 1 1 n P 若第1n次，第n次均出现红球，其概率为： 1 1 3 n P 若第1n次，第n次依次出现绿球，红球，其概率为： 1 3 (1) 5 n P 于是 111 1343 (1) 35155 nnnn PPPP ； 由 111 1343 (1) 35155 nnnn PPPP ， 引入代定参数x，使得 1 4 () 15 nn PxPx 上式即为 1 419 1515 nn PPx ，与 n P的表达式对比 193 155

8、x，因此 9 19 x 4 于是 11 11 9494941 ()()()() 19151915191538 nn nn PPP 1 419 ()(2) 153819 n n Pnn N， 【例9】 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会，求该委员会中女 性委员人数的概率分布、期望值与方差 【答案】设女性委员的人数为X，则X服从参数为(8 3 5)，的超几何分布，其概率分布 为 1153010 (0)(1)(2)(3) 56565656 P XP XP XP X， 期望 3 515 () 88 E X ，方差 2 5 (85)(83)3225 ()0.5022 8(8

9、 1)448 D X 【例10】 设在 4 次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一 次的概率等于 65 81 ，求事件A在一次试验中发生的概率 【答案】设所求概率为p，X为A在 4 次试验中发生的次数，则(4)XBp，依题意 04 4 65 (1)1(0)1C (1) 81 P XP Xp ，解出 1 3 p 【例11】 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券 一张，每张奖券中奖的概率为 1 5 ，若中奖，则家具城返还顾客现金200元某 顾客消费了3400元，得到 3 张奖券 求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率； 求家具城至少返还

10、该顾客现金200元的概率 【答案】家具城恰好返还给该顾客现金200元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中 奖所求概率为 12 3 1448 C ( ) ( ) 55125 p 设家具城至少返还给该顾客现金200元为事件A，这位顾客的三张奖券有且 只有一张中奖为事件 1 A，这位顾客有且只有两张中奖为事件 2 A，这位顾客有且 只有三张中奖为事件 3 A，则 123 AAAA，且 123 AAA， ，是互斥事件 123 ( )()()()P AP AP AP A 122233 333 14141 C ( ) ( )C ( )( )C ( ) 55555 48121 125125125 61 125

11、 也可以用间接法求： 3 461 ( )1( )1( ) 5125 P AP A 【例12】 一个口袋中装有n个红球（5n且*nN）和5个白球，一次摸奖从中摸两个 球，两个球颜色不同则为中奖 试用n表示一次摸奖中奖的概率p； 若5n ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； 5 记三次摸奖 （每次摸奖后放回） 恰有一次中奖的概率为P 当n取多少时，P 最大？ 【答案】 一次摸奖从5n 个球中任选两个， 有 2 5 Cn种， 其中两球不同色有 11 5 C C5 n n种， 一次摸奖中奖的概率 2 5 510 C(4)(5) n nn p nn 若5n ，一次摸奖中奖的概率 5 9 p

12、 ，三次摸奖是独立重复试验， 三 次 摸 奖 （ 每 次 摸 奖 后 放 回 ） 恰 有 一 次 中 奖 的 概 率 是 12 33 80 (1)C(1) 243 Ppp 设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖 的概率为 1232 33 (1)C(1)363 (01)PPpppppp 求导得 2 91233(1)(31)Ppppp 不难知道在 1 (0) 3 ，上P为增函数，在 1 (1) 3 ，上P为减函数，当 1 3 p 时P取得最 大值 由 101 (4)(5)3 n nn ，解得20n 【例13】 （2010 广东高考） 已知随机量X服从正态分布3 1N，且

13、240.6826PX，则4P X （ ） A0.1588 B0.1587 C0.1586 D0.1585 【答案】B； 【例14】 （2010 课标全国卷高考） 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每 粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ） A100 B200 C300 D400 【答案】B； 【例15】 （2010 上海卷高考） 随机变量的概率分布率由下图给出： x 7 8 9 10 Px 0.3 0.35 0.2 0.15 则随机变量的均值是_； 【答案】8.2； 【例16】 袋中编号为1，2，3，4，5的五只小球，从中任取

14、3只球，以表示取出的 球的最大号码，则E_，D_ 6 【答案】4.5,0.315 ； 【例17】 （2010 福建高考） 设S是不等式 2 60xx 的解集，整数mnS， 记使得“0mn成立的有序数组mn，”为事件 A， 试列举 A 包含的基本事件； 设 2 m，求的分布列及其数学期望E 【答案】 由 2 60xx 得23x ，即| 23Sxx 由于mnmnSZ， ，且0mn， 所以 A 包含的基本事件为：22 ，22，1 1 ，11，00， 由于m的所有不同取值为2，1，0，1，2，3，所以 2 m的所有不同 取值为0，1，4，9，且有 1 0 6 P， 21 1 63 P， 21 4 63

15、 P， 1 9 6 P 故的分布列为 0 1 4 9 P 1 6 1 3 1 3 1 6 所以 111119 0149 63366 E 【例18】 （2010 江西高考） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统 会随机（即等可能）为你打开一个通道若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫； 若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门再次到达智能门时， 系统会随机打开一个你未到过的通道， 直至走出迷宫为止 令表示走出迷宫所需 的时间 求的分布列； 求的数学期望 【答案】的所有可能取值为1 346， ， ， 1 1 3 P， 1 3 6 P，

16、 1 4 6 P， 1 6 3 P，所以的分布列为： 11117 1346 36632 E （小时） 【例19】 编号1 2 3， ，的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个 座位，设与座位编号相同的学生的个数是X 求随机变量X的概率分布； 1 3 4 6 P 1 3 1 6 1 6 1 3 7 求随机变量X的数学期望和方差 【答案】 3 3 21 (0) 3 P X ， 1 3 3 3 C1 (1) 2 P X ， 3 3 11 (3) 6 P X 随机变量X的概率分布为 X 0 1 3 P 1 3 1 2 1 6 111 ()0131 326 E X 222 111 (

17、)(10)(1 1)(3 1)1 326 D X 【例20】 有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去 试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放 回求试开次数X的数学期望和方差 【答案】分析：求()P Xk时，由题知前1k 次没打开，恰第 k 次打开 不过，一般我们应从简单的地方入手，如1 2 3X ， ，发现规律后，推广到 一般 X的可能取值为 1，2，3，n 111111 (1)(2)1 11 n P XP X nnnnnn ，； 1111211 (3)11 1212 nn P X nnnnnnn ，； 11111 ()1111 1221 P

18、 Xk nnnnknk 123111 1221 nnnnk nnnnknkn ； 所以X的分布列为： X 1 2 k n P 1 n 1 n 1 n 1 n 11111 ()123 2 n E Xn nnnn ； 22222 1111111111 ()123 22222 nnnnn D Xkn nnnnn 2 2222 11 (123)(1)(123) 2 n nnnn n 222 1 1(1)(1)1 (1)(21) 62412 n nn nn n nn n 【例21】 若A与B相互独立，则下面选项中不是相互独立事件的是（ ） AA与A BA与B CA与B DA与B 8 【答案】A； 【例2

19、2】 一辆飞机场的交通车载有 25 名乘客途经 9 个站，每位乘客都等可能在这 9 站 中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响） ，交通车只在有乘客下车 时才停车， 求交通车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下在第j站 停车的概率，并判断“第i站停车”与“第j站停车”两个事件是否独立 【答案】不妨记事件 i A：交通车在第i站停车（1, 2, 3, 4, ., 9i ） 我们考虑事件 i A的对立情形，即所有 25 名乘客都在其余的 8 个站下车， 其概率为 25 8 9 于是 25 8 1 9 i P A 在第i站不停车的条件下在第j站停车的概率 ij ji i P AA P

20、A A P A i ij i P AP A A P A 而 252525 887 , 999 ijji P AP AP A A ， 代入有 25 7 1 8 ji P A A 【例23】 甲， 乙两人进行乒乓球比赛， 每局甲胜的概率为p， 1 2 p。问对甲而言， 采用三局二胜制有利， 还是采用五局三胜制有利 设各局胜负相互独立 【答案】容易计算得知， 采用三局二胜制，甲的胜率为 2223 1 2132Pppppp； 采用五局三胜制， 甲的胜率为 2 54433543 255 1161510PpC ppC ppppp 而 2 2 21 1210PPppp。 于是采用五局三胜制比较有利。 【例2

21、4】 把一枚硬币抛掷两次， 事件A“第一次出现正面”， 事件B “第二次出现反面”， 则()_P B A 【答案】 1 2 ； 【例25】 设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等 品的概率是 【答案】0.72； 9 【例26】 袋中装有21n个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的， 问这种颜色是黑色的概率是多少? 【答案】设 A 表示“取出n个球是同一种颜色”，B 表示“n个球的颜色是黑色的”， 问题即为求(|)P B A 2 41 C () C n n n n P AB ， 212 4 C+C ( ) C nn nn n n P A ， 因此

22、由公式 2 212 C()2 (|) ( )C+C3 n n nn nn P AB P B A P A 直接求的话就是 2 212 C2 (|) C+C3 n n nn nn P B A 【例27】 从1100个整数中，任取一数，已知取出的数是不大于50的数，求它是 2 或 3 的倍数的概率 【答案】用 A 表示“取出的数50”，B 表示“取出的数是 2 或 3 的倍数”，问题即为求 (|)P B A不大于50的数中 2 或 3 的倍数共有 505050 33 236 个（ x表示 不超过x的最大整数） ，于是 33 () 100 P AB ，而 50 ( ) 100 P A ，因此由公式 (

23、) (|)0.66 ( ) P AB P B A P A 直接求的话就是 33 (|)0.66 50 P B A 【例28】 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表 分别为 3 份、7 份和 5 份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份， 求先抽到的一份是女生表的概率p 己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q 【答案】三个地区的报名表被抽到的概率都是 1 3 ，三个地区的报名表第一个被抽到的 是女生的概率分别为 375 101525 ， ，因此先抽到的一份是女生表的概率为： 13171529 3 103 153 2590 p ； 设A表示“第二次抽到的是男生表”，B 表示“第一次抽到的是女生表”，问题即为 求(|)P B A 三个地区“先后抽出的是女生表和男生表”的概率分别为： 111111 3778520 222 101525 785 303030 ， 于是 17181520 () 3 303 303 3090 P A B 类似于 1 782061 ( )() 3 10152590 P A 因此由公式 ()20 (|) ( )61 P A B P B A P A