高考数学讲义随机变量及其分布列.版块四.事件的独立性2.教师版

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1、 1 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布

2、如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C

3、 mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 二项分布二项分布 知识内容 依赖于独立性的概率计算 2 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概

4、率 为 ( )C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分

5、布， 记作( ,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的

6、作用， 则表示这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值

7、的概率为1， 在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 则 x= O y x 3 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能

8、的取的值是 1 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动

9、的大小 （离散 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()(

10、) () (1) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交

11、 （或积） ， 记做DAB（或DAB） 4 【例1】 在一段时间内，甲去某地的概率是 1 4 ，乙去此地的概率是 1 5 ，假定两人的行动 相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是（ ） A 3 20 B 1 5 C 2 5 D 9 20 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】至少有 1 人去此地的概率是 112 111 455 【答案】C； 【例2】 甲乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 1 p，乙解决这个问题的 概率是 2 p，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是（ ） A 12 p p B 1221 11p

12、ppp C 12 1p p D 12 111pp 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】2004 年，辽宁高考 【解析】恰好 1 人解决问题的概率即为仅有甲解决问题或者仅有乙解决问题 前 者 的 概 率 为 12 1pp， 后 者 的 概 率 为 12 1pp 于 是 答 案 为 1221 11pppp 【答案】B； 【例3】 在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这 段时间内两地是否下雨相互无影响， 则这段时间内两地都下雨的概率是 （ ） A012 B088 C028 D042 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】2 星

13、 【题型】选择 【关键字】无 【解析】不妨记事件甲地下雨为A，乙地下雨为B， 由事件,A B独立，知 1 0.31 0.40.42P ABP AP B 【答案】D； 【例4】 从甲口袋内摸出 1 个白球的概率是 1 3 ，从乙口袋内摸出 1 个白球的概率是 1 2 ， 典例分析 5 从两个口袋内各摸出 1 个球，那么 5 6 等于（ ） A2 个球都是白球的概率 B2 个球都不是白球的概率 C2 个球不都是白球的概率 D2 个球中恰好有 1 个是白球的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】不妨记从甲口袋摸出球的颜色为白球为A， 从乙口袋摸出球

14、的颜色为白球为B，容易知道事件,A B为独立事件于是 对于 A 选项： 1 11 3 26 P ABP AP B； 对于 B 选项： 111 11 323 P ABP AP B ； 对于 C 选项： 5 11 6 P ABP ABP AP B ； 对于 D 选项： 1 2 PABABP AP BP AP B； 注记：对于事件,A B的交AB，有时候记为AB；事件的并AB有时候记为 AB 某些参考资料中AB仅表示不相容事件,A B的并 【答案】C； 【例5】 从甲口袋摸出一个红球的概率是 1 3 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 1 2 ，则 2 3 是（ ） A2个球不都是红球的概率 B2个球

15、都是红球的概率 C至少有一个红球的概率 D2个球中恰好有1个红球的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】 115 ( )1 326 P A ， 111 ( ) 326 P B ， 112 ( )1(1)(1) 323 P C ， 11211 () 32322 P D 【答案】C； 【例6】 甲， 乙两人进行乒乓球比赛， 每局甲胜的概率为p， 1 2 p。问对甲而言， 采用三局二胜制有利， 还是采用五局三胜制有利 设各局胜负相互独立 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】3 星 【题型】解答 6 【关键字】无 【解析】略 【答案】容易计算得知

16、， 采用三局二胜制，甲的胜率为 2223 1 2132Pppppp； 采用五局三胜制， 甲的胜率为 2 54433543 255 1161510PpC ppC ppppp 而 2 2 21 1210PPppp。 于是采用五局三胜制比较有利。 备注：直观上讲，对局数越多，所得的结果越可能体现选手的真实实力。在本 体中，甲选手的的实力要等同于或者强于乙，于是对局数越多，甲越可能凭实 力胜利。所谓的孤注一掷，是因为只实验一次，所以出现不合常理的可能性比 较大。 【例7】 猎人在距离100m处射击一只野兔，其命中率为 1 2 如果第一次射击未命中，则 猎人进行第二次射击，但距离为150m；如果第二次又

17、未命中，则猎人进行第三 次射击，但在射击瞬间距离野兔为200m已知猎人命中率与距离的平方成反 比，求猎人命中野兔的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】记三次射击“射中”分别为A、B、C其中 1 ( ) 2 P A 又由题意有 2 2 ( )150 ( )100 P A P B ， 2 2 1 100 2 2 ( ) 1509 P B ； 2 2 ( )200 ( )100 P A P C ， 2 2 1 100 1 2 ( ) 2008 P C 命中野兔的概率为( )()()P AP A BP A B C ( )( )( )(

18、)( )( )P AP AP BP AP BP C 112121 (1)(1)(1) 229298 95 144 注意分析整个事件的结构总的来说，各次射击中“击中”事件是互斥的，因为只需 击中一次即可，“击中”两次或三次不会同时发生但每次射击又是独立的因此， “击中野兔”这件事可分解为三个互斥的事件之和：第一次击中；第一次未击中而第 二次击中；第一次、第二次都未击中而第三次击中，即AA BA B C实际上 这是两种概型的结合：相互独立事件同时发生的概率、互斥事件有一个发生的概 率 很多综合题具有这种结构 这类似于排列组合中分步计数原理和分类计数原理 结合使用的问题 【例8】 如图，开关电路中，

19、某段时间内，开关abc、 、开或关的概率均为 1 2 ，且是相 互独立的，求这段时间内灯亮的概率 7 c b a 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】我们把“开关a合上”记为事件A，“开关b合上”记为事件B， “开关C合上”记为事件C，ABC、 、是相互独立事件且由已知，它们的概率都是 1 2 ，由物理学知识，要求灯亮，有两种可能性， 一个是a、b两开关合上，即事件AB发生，另一个是c开关合上，即事件C发生， 也就是灯亮相当于事件ABC发生 分别记“开关a合上”、“开关b合上”、“开关c合上”为事件ABC、 、，由已知， ABC、 、

20、是相互独立事件且概率都是 1 2 开关a、b合上或开关c合上时灯亮，所以这段时间内灯亮的概率为： ()()()()()()()()()P ABCP ABCP ABCP ABCP ABCP ABCP ABCP ABCP ABC ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P A P B P CP A P B P CP A P B P CP A P B P CP A P B P C 1111111111111115 2222222222222228 【例9】 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一 等品

21、而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 4 ，乙机床加工的零件是一等品 而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 12 ， 甲、 丙两台机床加工的零件都是 一等品的概率为 2 9 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概 率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件 由已知条件有： 112 ()()() 4129 P A BP B CP A C， 即 112 ( )1( )( )1( )( ) ( ) 4129 P AP BP BP CP A P C， 8 不难解

22、得 112 ( )( )( ) 343 P AP BP C， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 112 343 ， ， 【例10】 椐统计， 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0 1 2，的概率分别为0.4， 0.5，0.1 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率； 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共 被消费者投诉 2 次的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2009 年，陕西高考 【解析】略 【答案】 设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”， 事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”

23、 0.40.50.9P ABP AP B 设事件 i A表示“第i个月被投诉的次数为 0”，事件 i B表示“第i个月被投诉的次 数为1”， 事件 i C表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内被投诉2次” 0.4 i P A ，0.5 i P B ，0.11 2 i P Ci ， 两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为 1221 P ACAC， 一、二月份均被投诉1次的概率为 12 P BB， 122112122112 P DP ACACP BBP ACP ACP BB 由事件的独立性得( )0.4 0.10.1 0.40.5 0.50.33P D 【例11】

24、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考 核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率 分别为 4 5 、 3 5 、 2 5 、 1 5 ，且各轮问题能否正确回答互不影响 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； 求该选手至多进入第三轮考核的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为1 2 3 4 i A i ， ， ， 则 1 4 5 P A ， 2 3 5 P A， 3 2 5 P A， 4 1 5 P A， 该选手进入第四轮才被淘汰的概率

25、412341234 432496 5555625 PP A A A AP A P AP AP A 9 该选手至多进入第三轮考核的概率 3112123112123 PP AA AA A AP AP A P AP A P AP A 142433101 555555125 【例12】 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结 束假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果 相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局 求再赛2局结束这次比赛的概率； 求甲获得这次比赛胜利的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】200

26、9 年，全国高考 【解析】略 【答案】 记 i A表示事件： 第i局甲获胜，345i ， ， j B表示事件： 第j局乙获胜，34j ， 记A表示事件：再赛 2 局结束比赛，则 3434 AAABB 由于各局比赛结果相互独立，故 34343434 P AP A AB BP A AP B B 3434 P A P AP B P B 0.6 0.60.4 0.40.52 记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局， 故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局， 从而 34345345 BAABAAABA 由于各局比赛结果相互独立，故 34345345 P BP

27、 A AP BAAP A BA 34345345 P A P AP B P A P AP A P B P A 0.6 0.60.4 0.6 0.60.6 0.4 0.60.648 【例13】 纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一 台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内： 3台机器都要维护的概率是多少？ 其中恰有一台要维护的概率是多少？ 至少一台需要维护的概率是多少？ 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 记一天内三台机器需要维护的事件分别为ABC， ， 易见ABC， ，相互独立又一天内三

28、台机器都要维护就是事件A B C，由概 率乘法公式有： ()( )( )( )P A B CP AP BP C(1 0.9) (1 0.8) (1 0.85)0.003 一天内恰有一台机器需要维护有三种情况：事件A B C发生，或事件A B C 发生，或事件A B C发生，这三种情况不可能同时发生，故互斥，因此有 10 ()()()0.1 0.8 0.850.9 0.2 0.850.9 0.8 0.15P A B CP A B CP A B C 0.329 从反面考虑：一天内三台机器都不需维护的概率为 ()( )( )( )P A B CP AP BP C0.90.80.850.612 因此，

29、至少有一台需要维护的概率为1()PP A B C 10.6120.388 【例14】 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 1 2 ，1 3 ，1 6 现 有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设求： 他们选择的项目所属类别互不相同的概率； 至少有1人选择的项目属于民生工程的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】2009 年，湖南高考 【解析】略 【答案】记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别 为事件 i A， i B， i C，1i ，

30、2，3由题意知 1 A， 2 A， 3 A相互独立， 1 B， 2 B， 3 B相互独立， 1 C， 2 C， 3 C相互独立， i A， j B， k C（i，j，1k ，2，3， 且i，j，k互不相同）相互独立， 且 1 ( ) 2 i PA， 1 () 3 i P B， 1 () 6 i P C 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 123123 1111 3! ()6 () () ()6 2366 PP AB CP A P B P C 至少有1人选择的项目属于民生工程的概率 123 1 ()PPB B B 123 1( )( )( )PBPBPB 3 119 11 327 【例15】

31、甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 1 3 和 1 4 ，求： 两个人都译出密码的概率；两个人都译不出密码的概率； 恰有1个人译出密码的概率； 至多1个人译出密码的概率；至少1个人译出密码的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】5 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】分析：我们把“甲独立地译出密码”记为事件A， 把“乙独立地译出密码”记为事件B， 显然AB、为相互独立事件， 问题两个都 译出密码相当于事件A、B同时发生，即事件AB问题两人都译不出密码 相当于事件A B 问题恰有 1 个人译出密码可以分成两类：A发生B不发生， A不发生B发生，即恰有 1 个人

32、译出密码相当于事件ABAB问题至多 1 11 个人译出密码的对立事件是两个人都未译出密码，即事件A B由于A、B是 独立事件，上述问题中，A与B，A与B，A与B是相互独立事件，可以用公 式计算相关概率 【答案】记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A、B 为相互独立事件，且 11 ( )( ) 34 P AP B， 两个人都译出密码的概率为： 111 ()( )( ) 3412 P ABP AP B 两个人都译不出密码的概率为： 111 ()( )( )1( )1( )11 342 P A BP AP BP AP B ； 恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以

33、及甲未译出乙译出，且两 个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为： 11115 ()()()( ) ( )( ) ( )11 343412 P ABABP ABP ABP A P BP A P B ； “至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”， 所以至多1个人译出密 码的概率为： 1111 1()1( ) ( )1 3412 P ABP A P B “至少有1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”， 所以至少有1个人译出 密码的概率为： 231 1()1( ) ( )1 342 P A BP A P B 【例16】 从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加

34、测验，每位女同学能通 过测验的概率均为 4 5 ，每位男同学能通过测验的概率均为 3 5 ，试求： 选出的 3 位同学中至少有一位男同学的概率； 10 位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测 验的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】选出的三位同学中“至少有一位男同学”的对立事件是“没有男同学”， 记为事件 A，则 3 6 3 10 C5 ( )1( )1 C6 P AP A 女生甲、女生乙，男生丙同时被选中（记为事件 B） ，则 3 10 11 ( ) C120 P B 这三人中恰有二人通过记为事件

35、C， （是指恰有两女生通过，或恰有一女一男通 过） ， 则 221 22 4344356 ( )C ( ) (1)C(1) 55555125 P C 12 事件B C，是相互独立的， 故所求概率为： 1561 ()( ) ( ) 120 1251875 P BCP B P C 【例17】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 1 2 与p，且 乙投球 2 次均未命中的概率为 1 16 求乙投球的命中率p； 求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； 若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键

36、字】2008 年，天津高考 【解析】本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识， 考查运用概率知识解决实际问题的能力 【答案】设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B 由题意得 2 2 1 (1( )1 16 P Bp 解得 3 4 p 或 5 4 （舍去） ，所以乙投球的命中率为 3 4 由题设和知 11 ( )( ) 22 P AP A， 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 3 1() 4 P A A 由题设和知， 1131 ( )( )( )( ) 2244 P AP AP BP B， 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、

37、乙两人各中一次；甲中 两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中 2 次概率分别为 11 22 3 C( ) ( ) C( ) ( ) 16 P A P AP B P B， 1 () () 64 P A A P B B， 9 () () 64 P A A P B B 所以甲、乙两人各投两次，共命中 2 次的概率为 31911 16646432 【例18】 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯彼此独立 工作，且红绿灯信号显示时间相等以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的 路口个数，求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概 率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难

38、度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 13 【答案】显然X可能的取值为0 1 2 3， ，汽车在每个道口可能遇绿灯， 亦可能遇红灯，当第一次遇到红灯时，汽车就停止，在此之前应都是绿灯，故 应先设出事件，再求解 设 i A表示“汽车在第i个路口遇到红灯”，1 2 3i ， ，则()0.5 i P A ，且 i A相互独 立，于是 1 (0)()0.5P XP A， 12 (1)()0.5 0.50.25P XP AA 3 123 (2)()(0.5)0.125P XP AA A， 3 123 (3)()(0.5)0.125P XP AA A 从而有X的分布列： X 0 1 2 3

39、P 0.5 0.25 0.125 0.125 (2)0.1250.1250.25P X 【例19】 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概 率为0.9，求： 2人都射中的概率？ 2人中有1人射中的概率？ 2人至少有 1 人射中的概率？ 2人至多有1人射中的概率？ 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B， 则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件 2人都射中的概率为()( )( )0.8 0.90.72P A BP AP B 2人中

40、恰有1人射中包括甲中乙不中、甲不中乙中2种情况，其对应事件为互斥 事件： ()( )( )( )( )P A BA BP AP BP AP B0.8 (10.9)(10.8)0.9 0.080.180.26 法一：2人至少有1人射中包括“2人都射中”和“2人有1人不中” 2种情况， 其概 率为： ()( )( )( )( )( )( )P A BA BA BP AP BP AP BP AP B0.720.260.98 法二：“2人至少有1人击中”与“2人都未击中”为对立事件 所以“2人至少有1人击中”的概率为1()0.98P A B 法一： “至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未

41、击中”， 故所求概率为： ()P A BA BA B ( )( )( )( )( )( )P AP BP AP BP AP B0.020.080.180.28 法二： “至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为： 1()1 0.720.28P A B 【例20】 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次 试跳成功与否相互之间没有影响，求： 甲试跳三次，第三次才成功的概率； 甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； 14 甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】4 星 【题型】解答

42、 【关键字】2007 年，福建高考 【解析】略 【答案】本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力， 以及推理与运算能力记“甲第i次试跳成功”为事件 i A，“乙第i次试跳成功” 为事件 i B，依题意得()0.7 i P A ，()0.6 i P B，且 i A， i B（1 2 3i ， ，）相互独 立 “甲第三次试跳才成功”为事件 123 A A A，且三次试跳相互独立， 123123 ()() () ()0.3 0.3 0.70.063P A A AP A P A P A “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C 11 ( )1() ()10.3 0.40.88

43、P CP A P B 设“甲在两次试跳中成功i次”为事件(0 1 2) i M i ， “乙在两次试跳中成功i次”为事件(0 1 2) i N i ， 事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 1021 M NM N，且 10 M N， 21 M N为互斥事件，所求的概率为 10211021 ()()()P M NM NP M NP M N 1021 () ()() ()P M P NP MP N 1221 22 C0.7 0.3 0.40.7C0.6 0.40.06720.23520.3024 【例21】 A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局

44、四 胜制） ，A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为 1 2 ，X为比赛需要的场数， 求X的分布列及比赛至少要进行 6 场的概率 【考点】依赖于独立性的概率计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】X为比赛场次，则4 5 6 7X ， ， 4X 表示A胜4场或B胜4场， 44 111 (4)( )( ) 228 P X ； 5X 表示A胜4场B胜1场且A胜最后一场或B胜4场，A胜一场且B胜最后一 场 15 4 11 (5)2C ( ) 24 P X 同理 26 5 15 (6)2 C( ) 216 P X ， 37 6 15 (7)2 C( ) 216 P X ； X的分布列为 X 4 5 6 7 P 1 8 1 4 5 16 5 16 5 (6)(6)(7) 8 P XP XP X 15 【例22】 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病， 需要通过化验血液来确定患病的动物 血 液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动 物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若 结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 求依方案甲、 乙分别所需