高考数学讲义随机变量及其分布列.版块三.离散型随机变量的期望与方差2.教师版

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1、 1 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布

2、如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C

3、 mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 知识内容 数学期望 2 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概 率 为 ( )

4、C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作(

5、,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表示

6、这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值的概率为1，

7、在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 x= O y x 3 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是 1

8、 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 （离散

9、 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()() () (1

10、) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积） ，

11、 记做DAB（或DAB） 4 【例1】 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每 粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ） A100 B200 C300 D400 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】1 星 【题型】选择 【关键词】2010 年，全国高考 【解析】不妨设不发芽种子数Y，于是2XY1000 1 0.9100EY 于是2200EXEY 【答案】B； 【例2】 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知的期望8.9E，则y的值为 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】

12、1 星 【题型】填空 【关键词】2010 年，湖北高考 【解析】由数学期望的计算公式， 有78 0.1 9 0.3 108.97105.4Exyxy 又由0.10.310.6xyxy 解得0.4y 【答案】0.4； 【例3】 随机变量的概率分布率由下图给出： x 7 8 9 10 Px 0.3 0.35 0.2 0.15 则随机变量的均值是_； 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】2010 年，上海高考 【解析】由数学期望的计算公式， 有7 0.38 0.359 0.210 0.158.2ExPx 典例分析 5 【答案】8.2； 【例4】 甲、乙两人各进

13、行3次射击，甲每次击中目标的概率为 1 2 ，乙每次击中目标的概率 为 2 3 ，求： 记甲击中目标的次数为，的概率分布及数学期望； 乙至多击中目标2次的概率； 甲恰好比乙多击中目标2次的概率 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】 03 3 11 0 28 PC（）（ ）； 13 3 13 1 28 PC（）（ ）； 23 3 13 2 28 PC（）（ ）； 33 3 11 3 28 PC（）（ ） 的概率分布如下表 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 1331 01231.5. 8888 E 乙至多击中目标2次

14、的概率为 3 3 219 1C 327 3 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中2次且乙恰击中目标0次为 事件 1 B，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件为 2 B， 则 12 ABB， 1 B、 2 B为互斥事件 12 31121 8278924 P AP BP B（ ） （ ） （ ）所以甲恰好比 乙多击中目标2次的概率为 1 24 【例5】 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数： 1 fxx， 2 2 fxx， 3 3 fxx， 4 sinfxx， 5 cosfxx， 6 2fx 现从盒子中进行逐一抽取卡片， 且每次取出后均不放回， 若取到一张记有偶函

15、数的 卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，广东五校高三联考 【解析】略 【答案】可取 1，2，3，4 6 1 3 1 6 1 (1) 2 C P C ， 11 33 11 65 3 (2) 10 CC P CC 111 332 111 654 3 (3) 20 CCC P CCC ， 1111 3321 1111 6543 1 (4) 20 CCCC P CCCC ； 故的分布列为 1 2 3 4 P 2 1 10 3 20 3 20 1 由数学期望的计算公式可知 13317 12

16、34 21020204 E 【例6】 设S是不等式 2 60xx 的解集，整数mnS， 记使得“0mn成立的有序数组mn，”为事件 A， 试列举 A 包含的基本事件； 设 2 m，求的分布列及其数学期望E 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，福建高考 【解析】略 【答案】 由 2 60xx 得23x ，即| 23Sxx 由于mnmnSZ， ，且0mn， 所以 A 包含的基本事件为：22 ，22，1 1 ，11，00， 由于m的所有不同取值为2，1，0，1，2，3，所以 2 m的所有不同 取值为0，1，4，9，且有 1 0 6 P， 21 1

17、 63 P， 21 4 63 P， 1 9 6 P 故的分布列为 0 1 4 9 P 1 6 1 3 1 3 1 6 所以 111119 0149 63366 E 【例7】 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统 会随机（即等可能）为你打开一个通道若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫； 若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门再次到达智能门时， 系统会随机打开一个你未到过的通道， 直至走出迷宫为止 令表示走出迷宫所需 的时间 求的分布列； 7 求的数学期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词

18、】2010 年，江西高考 【解析】略 【答案】的所有可能取值为1 346， ， ， 1 1 3 P， 1 3 6 P， 1 4 6 P， 1 6 3 P，所以的分布列为： 11117 1346 36632 E （小时） 【例8】 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家 的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否 则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评 审的概率为0.3，各专家独立评审 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；

19、记X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，全国高考 【解析】略 【答案】记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用 则DABC ( )0.5 0.50.25P A ，( )2 0.5 0.50.5P B ，( )0.3P C ( )()P DP ABC( )()P AP B C( )( ) ( )P AP B P C 0.250.50.30.40 (40.4)XB，其分

20、布列为： 4 (0)(1 0.4)0.1296P X ， 13 4 (1)0.4(1 0.4)0.3456P X C， 222 4 (2)0.4(1 0.4)0.3456P X C， 33 4 (3)0.4(1 0.4)0.1536P X C， 1 3 4 6 P 1 3 1 6 1 6 1 3 8 4 (4)0.40.0256P X 期望40.41.6EX 【例9】 如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为 1 T， 2 T， 3 T， 4 T，电流能通过 1 T， 2 T， 3 T的概率都是p，电流能通过 4 T的概率是0.9电流能否通过各元件相互独 立已知 1 T， 2 T， 3

21、T中至少有一个能通过电流的概率为0.999 求p； 求电流能在M与N之间通过的概率； 表示 1 T， 2 T， 3 T， 4 T中能通过电流的元件个数，求的期望 NMT3 T4 T2 T1 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，全国高考 【解析】略 【答案】记 1 A表示事件，电流能通过 1 T，1I ，2，3，4 A表示事件： 1 T， 2 T， 3 T中至少有一个能通过电流， B表示事件：电流能在M与N之间通过 123123 AAAAAAA，相互独立， 3 123123 1P AP AAAP A P AP Ap 又 110.9990.00

22、1P AP A 故 3 (1)0.001p，0.9p 由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立 故(409)B， ， 4 0.93.06E 【例10】 某同学参加 3 门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 4 5 ， 第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq） ，且不同课程是否取 得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0 1 2 3 p 6 125 a d 24 125 9 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； 求p，q的值； 求数学期望E 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关

23、键词】2010 年，北京高考 【解析】略 【答案】事件 i A表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，1,2,3i ， 由题意知 1 4 () 5 P A ， 2 ()P Ap， 3 ()P Aq 由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“0”是对立的，所以 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 6119 1(0)1 125125 P 由题意知 123 16 (0)()(1)(1) 5125 PP A A Apq 123 424 (3)() 5125 PP A A Apq 整理得 6 25 pq ，1pq 由pq，可得 3 5 p ， 2 5 q 由题意知 123123123 (

24、1)()()()aPP A A AP A A AP A A A 411 (1)(1)(1)(1) 555 pqpqp q 37 125 (2)1(0)(1)(3)bPPPP 58 125 0(0)1(1)2(2)3(3)EPPPP 9 5 【例11】 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶 盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1 6 甲、乙、丙三位同学每人购 买了一瓶该饮料 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； 求中奖人数的分布列及数学期望E 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，四川高考 10

25、【解析】略 【答案】显然甲、乙、丙三位同学是否中奖独立， 所以甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是： 1 5 525 6 6 6216 0 1 2 3 P 125 216 75 216 15 216 1 216 125751511 0123 2162162162162 E 【例12】 某射手每次射击击中目标的概率是 2 3 ，且各次射击的结果互不影响 假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率 假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标另外 2 次未击中目标的概率； 假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续

26、击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击 中，则额外加 3 分，记为射手射击 3 次后的总的分数，求的分布列 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，天津高考 【解析】略 【答案】设X为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 2 5 3 XB ， 在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率 22 2 5 2240 (2)1 33243 P X C 设“第i次射击击中目标”为事件(12345) i A i ， ， ， ，；“射手在 5 次射击中， 有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件A，则 12345123

27、4512345 ( )()()()P AP A A A A AP A A A A AP A A A A A 32323 2112112 3333333 8 81 由题意可知，的所有可能取值为 0，1，2，3，6 3 123 11 (0)() 327 PP A A A 123123123 (1)()()()PP A A AP A A AP A A A 22 21121122 33333339 123 2124 (2)() 33327 PP A A A 11 123123 (3)()()PP A A AP A A A 22 21118 333327 123 (6)()PP A A A 3 28 3

28、27 所以的分布列是 0 1 2 3 6 P 1 27 2 9 4 27 8 27 8 27 【例13】 如图，一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B或C，已知小球从每 个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设 为 1，2，3 等奖 已知获得 1，2，3 等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量为获 得(123)k k ， ，等奖的折扣率，求随机变量的分布列及数学期望.E 若有 3 人次（投入 1 球为 1 人次）参加促销活动，记随机变量为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求(2)P (第19题图) C

29、A B M 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，浙江高考 【解析】略 【答案】由题意得的分布列为 50% 70% 90% P 3 16 3 8 7 16 则 3373 50%70%90%. 168164 E 由知，获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 339 . 16816 由题意得 9 3 16 B ， 则 2 2 1 991701 (2)1 16164096 PC 【例14】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排 在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，6） ， 求： 12 甲

30、、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； 甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，重庆高考 【解析】略 【答案】设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个奇数均”， 则A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 2 3 2 6 C14 ( )111 C55 P AP A 的所有可能值为0，1，2，3，4，且 2 6 51 0 C3 P， 2 6 44 1 C15 P， 2 6 31 2 C5 P， 2 6 22 3 C15 P， 2 6 11 4 C15 P 从而知有分布列 0

31、 1 2 3 4 P 1 3 4 15 1 5 2 15 1 15 所以， 141214 01234 315515153 E 【例15】 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100元可转 动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位 置 若指针停在A区域返券60元； 停在B区域返券30元； 停在C区域不返券 例 如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和 若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； 若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元） 求随机变量X的分布列和数学期望 【

32、考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，北京海淀 1 模 【解析】略 【答案】设指针落在A、B、C区域分别记为事件A、B、C 则 1 ( ) 6 P A ， 1 ( ) 3 P B ， 1 ( ) 2 P C 若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域 13 111 ( )( ) 632 PP AP B 即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是 1 2 由题意得，该顾客可转动转盘2次 随机变量X的可能值为0，30，60，90，120 111 (0) 224 P X ； 111 (30)2 233 P X ； 11115 (60)2 2

33、63318 P X ； 111 (90)2 369 P X ； 111 (120) 6636 P X ； 所以，随机变量X的分布列为： P 0 30 60 90 120 X 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 其数学期望 11511 030609012040 4318936 EX 【例16】 如图，两个圆形转盘,A B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的 1 2 和 1 4 某“幸运转 盘积分活动”规定， 当指针指到,A B转盘阴影部分时， 分别赢得积分1000分和2000 分先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时 活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动 记

34、先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值分别是多少？ 如果你参加此活动， 为了赢得更多的积分， 你将选择先转哪个转盘？请说明理由 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，北京石景山一模 【解析】略 【答案】X的取值分别是：0 分，1000 分，3000 分 由已知得，转动A盘得到积分的概率为 1 2 ，转动B盘得到积分的概率为 1 4 设先转A盘所得的积分为X分，先转B盘所得的积分为Y分则有 14 11 (0)1 22 P X ， 113 (1000)(1) 248 P X ， 111 (3000) 248 P X 1316000 010

35、003000 2888 EX 同理： 3 (0) 4 P Y ， 1 (2000) 8 P Y ， 1 (3000) 8 P Y 3115000 020003000 4888 EY 故先转A盘时，赢得积分平均水平较高 0.03 (8070) 6018 【例17】 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行 4 轮考核，每轮设有一个问题，能正确 回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四 轮问题的概率分别为 5 6 、 4 5 、 3 4 、 1 3 ，且各轮问题能否正确回答互不影响 求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； 求该选手至多进入第三轮考核的概率； 该选手在选拔过程中

36、回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期 望 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，北京西城 1 模 【解析】略 【答案】设事件(1, 2, 3, 4) i A i 表示“该选手能正确回答第i轮问题”， 由已知 1234 5431 (),(),(),() 6543 P AP AP AP A， 设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”， 则33 1212 ( )()() () ()P BP A A AP A P A P A 5431 1 6546 设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则123 112 ( )()P CP AA A

37、A A A 123 112 1515431 ()()()(1) 6656542 P AP A AP A A A； X的可能取值为 1，2，3，4， 1 1 (1)() 6 P XP A， 2 1 541 (2)()(1) 656 P XP A A， 3 12 5431 (3)()(1) 6546 P XP A A A， 123 5431 (4)() 6542 P XP A A A， 所以，X的分布列为 X 1 2 3 4 15 P 1 6 1 6 1 6 1 2 1111 ()12343 6662 E X 【例18】 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中， 两人一对一比赛规则如下： 若某人某次投

38、 篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮现由甲、乙两人进行一对一投篮 比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是 11 , 32 两人投篮 3 次，且第一次由甲开 始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响 求 3 次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率； 若投篮命中一次得 1 分，否则得 0 分，用表示甲的总得分，求的分布列和数 学期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，北京朝阳 1 模 【解析】略 【答案】记“3 次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A 由题意，得 122 ( ) 339 P A 答：3 次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是 2

39、9 由题意的可能有取值为 0，1，2，3，则 212125 (0) 323239 P， 211121 (1) 323333 P 1122 (2) 33327 P， 1111 (3) 33327 P 所以的分布列为 0 1 2 3 P 5 9 1 3 2 27 1 27 的数学期望 512116 0123 93272727 E 【例19】 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响已知师 父加工一个零件是精品的概率为 2 3 ，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为 1. 9 求徒弟加工2个零件都是精品的概率； 求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率； 设师徒二人加工出的4

40、个零件中精品个数为，求的分布列与均值E 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 16 【关键词】2010 年，北京丰台 1 模 【解析】略 【答案】设徒弟加工1个零件是精品的概率为 1 p，则 2 1 221 339 p，得 2 1 1 4 p ， 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是 1 4 设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p， 由知， 1 1 2 p ，师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下： 0 1 2 P 1 9 4 9 4 9 徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下： 0 1 2 P 1 4 2 4 1 4 所以 2 1241117 9494943

41、6 p 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 36 6 36 13 36 12 36 4 36 的期望为 16131247 01234 36363636363 【例20】 某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销 售收入30万元，每提前一天送到，或多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1 万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择 公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示 记 汽 车 走 公 路 1 时公司获得的毛利润为（万元） ，求的分布列和数学期望E； 假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利

42、润更多？ （注：毛利润销售收入运费） 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，北京宣武 1 模 【解析】略 统计信息 汽车行驶 路线 不堵车的情况 下到达所需时 间（天） 堵车的情况下 到达所需时间 （天） 堵车的概率 运 费 （ 万 元） 公路 1 2 3 1 10 1.6 公路 2 1 4 1 2 0.8 17 【答案】汽车走公路 1 时不堵车时获得的毛利润30 1.628.4万元 堵车时公司获得的毛利润30 1.6 127.4 万元 汽车走公路 1 时获得的毛利润的分布列为 28.4 27.4 P 9 10 1 10 91 28.427.

43、428.3 1010 E万元 设汽车走公路 2 时获得的毛利润为万元 不堵车时获得的毛利润300.8 130.2 万元 堵车时的毛利润300.8227.2万元 汽车走公路 2 时获得的毛利润的分布列为 30.2 27.2 P 1 2 1 2 11 30.227.228.7 22 E万元 EE 选择公路 2 可能获利更多 【例21】 袋中装有标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出 的可能性都相等 求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； 用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【难度】3 星 【题型】

44、解答 【关键词】2010 年，北京东城 2 模 【解析】略 【答案】“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A， 则 3111 4333 3 12 CCCC27 ( ) C55 P A 由题意，X所有可能的取值为：1,2,3,4 3 12 11 (1) C220 P X ； 21213 33333 3 12 CCCCC19 (2) C220 P X ； 21123 63633 3 12 CCCCC6416 (3) C22055 P X ； 21123 93933 3 12 CCCCC13634 (4) C22055 P X 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 18 P 1 220 19 220 16 55 34 35 随机变量X的均值为 1191634155 12