高考数学讲义随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量及其分布列2.教师版

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1、 1 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布

2、如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C

3、 mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 知识内容 离散型随机分布列的计算 2 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概

4、率 为 ( )C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分

5、布， 记作( ,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的

6、作用， 则表示这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值

7、的概率为1， 在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 x= O y x 3 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能

8、的取的值是 1 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动

9、的大小 （离散 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()(

10、) () (1) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交

11、 （或积） ， 记做DAB（或DAB） 4 离散型随机分布列的性质 【例1】 袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，现在在有放回 抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可 能取值的个数是（ ） A5 B9 C10 D25 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】号码之和可能为 2，3，4，5，6，7，8，9，10，共 9 种 【答案】B； 【例2】 下列表中能成为随机变量的分布列的是 A 1 0 1 P 03 04 04 B 1 2 3 P 04 07 01 C 1 0 1 P 03 04 03

12、D 1 2 3 P 03 04 04 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】1 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】A，D 不满足分布列的基本性质，B 不满足分布列的基本性质 【答案】C； 【例3】 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 典例分析 5 P 02 01 01 03 03 求21X 的分布列；1X 的分布列 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】容易知道 21X 1 3 5 7 9 P 02 01 01 03 03 1X 0 1 2 3 P 01 03 03 03 【例4】 已知随机变量X的分布列为：

13、X 2 1 0 1 2 3 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 分别求出随机变量 2 12 1 , 2 YX YX的分布列 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】容易知道 1 1 2 YX 1 1 2 0 1 2 1 3 2 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 2 2 YX 0 1 4 9 P 1 3 1 3 1 4 1 12 6 【例5】 袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出 的3个球中红球个数X的概率分布 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【

14、题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】X的所有可能的取值为：0 1 2， 当0X 时， 3 10 3 12 C6 0 C11 P X ；当1X 时， 12 210 3 12 C C9 1 C22 P X ； 当2X 时， 21 210 3 12 C C1 2 C22 P X X 0 1 2 P 6 11 9 22 1 22 【例6】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，能答对其中的 6 道题， 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，求答对试题数的概率分 布 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】

15、答对试题数的可能取值为：0，1，2，3 四种情况 3 4 3 10 C1 (0) C30 P； 12 64 3 10 C C3 (1) C10 P； 21 64 3 10 C C1 (2) C2 P； 3 6 3 10 C1 (3) C6 P 所以答对试题数的概率分布列为 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 【例7】 盒中的零件有 9 个正品和 3 个次品， 每次取一个零件， 如果取出的次品不放回， 求在取得正品前已取出的次品数的概率分布 7 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】的可能取值为 0，1，2，3 这四个

16、数，而k表示： 共取了1k 次零件，前k次取得的都是次品，第1k 次才是正品，其中 0, 1, 2, 3k 当0时，即第一次取得正品，试验终止，此时， 1 9 1 12 C3 (0) C4 P； 当1时，即第一次取得次品，第二次取得正品， 11 39 11 1211 CC9 (1) CC44 P； 同理可得 111 392 111 121110 CCC9 (2) CCC220 P； 111 321 111 121110 CCC1 (3) CCC220 P 故的分布列为 0 1 2 3 P 3 4 9 44 9 220 1 220 【例8】 有六节电池，其中有 2 只没电，4 只有电，每次随机抽

17、取一个测试，不放回， 直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】容易知道2, 3, 4, 5 2表示前 2 只测试均为次品， 2 2 2 6 A1 (2) A15 P 3表示前两次中一好一坏，第三次为坏， 112 242 3 6 2 (3) 15 C C A P A 4表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏， 1234 2434 44 66 114 (4) 15515 C C AA P AA 5表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好 134134 24

18、4244 55 66 8 (5) 15 C C AC C A P AA 分布列为 8 2 3 4 5 P 1 15 2 15 4 15 8 15 【例9】 在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求： 不放回抽样时，抽到次品数的分布列； 放回抽样时，抽到次品数的分布列 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】随机变量可以取 0，1，2，也可以取 0，1，2，3， 放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体 问题具体分析 3 8 3 10 7 0 15 C P C ， 12 28 3 10

19、 7 1 15 CC P C ， 12 82 3 10 1 2 15 CC P C 所以的分布列为 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 3 8 0.80.20,1, 2, 3 kkk PkCk ，所以的分布列为 0 1 2 3 P 03 8 0.8C 121 8 0.80.2C 212 8 0.8 0.2C 33 8 0.2C 【例10】 设随机变量所有可能取值为1 2 3 4， ， 且已知概率()Pk与k成正比， 求 的分布 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 9 【答案】()Pkak（a为常数） ，由分布列的性质有2341aaa

20、a，解得 1 10 a 因此的分布为() 10 k Pk 【例11】 某一随机变量的概率分布如下表，且21.2mn，则 2 n m 的值为（ ） A0.2 B0.2 C0.1 D0.1 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】2010 年，四川省乐山市第一次调研考试 【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得0.21mn； 又21.2mn，可得0.2 2 n m 【答案】B； 【例12】 设随机变量的分布列为 1 (),1, 2, 3 3 i Piai ，则a的值为（ ） A 1 B 9 13 C 11 13 D 27 13 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度

21、】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】由离散型随机变量分布列的性质，有 1, 2 , 3 127 1 313 i i aa 【答案】D； 【例13】 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q的值 -1 0 1 P 1 2 12q 2 q 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 10 【解析】因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率 之和等于 1，所以 2 2 1 121 2 0121 1 qq q q 解得 2 2 1q 【答案】 2 1 2 ； 【例14】 随机变量的概率分布规律为

22、1 a Pn n n 1, 2, 3, 4n， 其中a是常数， 则 15 22 P 的值为（ ） A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】略 【答案】D； 【例15】 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的 一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则 15 33 P （ ） A 1 7 B 2 7 C 3 7 D 4 7 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】设二级品有k个，一级品有2k个，三级品有 2 k 个，总

23、数为 7 2 k 个 分布列为 154 ()(1) 337 PP 【答案】D； 11 【例16】 某一射手射击所得的环数 的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 002 004 006 009 028 029 022 求此射手“射击一次命中环数7”的概率_ 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】根据射手射击所得的环数 的分布列，有 70.09P，80.28P，90.29P，100.22P 所求的概率为70.090.280.290.220.88P 【答案】0.88； 【例17】 设随机变量 X 的分布列是 求1P X ；13PX 【考点】离

24、散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】 1 1 3 P X ； 112 13 263 PX 【例18】 随 机 变 量X的 分 布 列()(1234 ) (1) p P Xkk k k ， ，p为 常 数 ， 则 15 22 PX （ ） A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】X的分布列为 X 1 2 3 P 1/3 1/2 1/6 X 1 2 3 4 12 1111111 11 1 22 33 44 52233445 pppp p ， 5 4 p 15

25、5115 1(2) 2241 2236 PXP XP X 【答案】D； 【例19】 设随机变量X的概率分布列为()1 26 2k c P Xkk， ， ，其中c为常数，则 (2)P X 的值为（ ） A 3 4 B 16 21 C 63 64 D 64 63 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 6 26 11 1 22 63 (1)(2)(6)1 1 22264 1 2 ccc P XP XP Xcc ， 故 64 63 c ； 336416 (2)(1)(2) 24446321 cc P XP XP Xc 【答案】B； 【例20】 设随机变量

26、X的分布列为1 2 3 k P Xkkn ， ， ， ，求的取值 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】由分布列的性质知0及 23 1，不难看出01 23 1 1 ，解出 1 2 【例21】 已知(1 2) (1) k pk k k ， ，为离散型随机变量的概率分布，求的取值 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 P 12 p 23 p 34 p 45 p 13 【解析】略 【答案】由分布列的性质知0及 11 11 1() (1)1 kk k kkk ，所以1 【例22】 若()1P Xna ，()

27、1mP Xb ， 其中mn， 则()P mXn等于 （ ） A(1)(1)ab B1(1)ab C1()ab D1(1)ba 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】()1()()1 1() 1()mP mXnP XnP XmP XnP X 1()ab 【答案】C； 【例23】 甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为 0.4，乙投中的概率为0.6，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投篮的次 数为X，若甲先投，则P Xk_ 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 11 (0.

28、6 0.4)0.4(1 0.4) 0.60.76 (0.24) kk 【答案】 1 0.76 (0.24)k； 【例24】 某12人的兴趣小组中，有5名三好生，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示 这6人中三好生的人数，则(3)P X _ 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】选出的6人中恰有3名三好生的选法共有 33 57 C C种，故 33 57 6 12 C C25 (3) C66 P X 【答案】 25 66 ； 【例25】 设随机变量的分布列如下： X 1 2 3 n P k 2k 4k 1 2nk 14 求常数k的值 【考点】离散型随机分

29、布列的性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】由离散型随机变量的分布列性质，得 1 2421 n kkkk ， 即 1 (1 242)1 n k ，1 2 1 12 n k ， 1 21 n k 【例26】 设随机变量X等可能的取值1 2 3n， ， ，如果(4)0.3P X ，那么（ ） A3n B4n C9n D10n 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 3 (4)(1)(2)(3)0.310P XP XP XP Xn n 【答案】D； 【例27】 设随机变量X的概率分布列为 2 ()1 2 3 3 i P X

30、iai ， ，则a的值是（ ） A 17 38 B 27 38 C17 19 D 27 19 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 23 22238 (1)(2)(3)1 33327 P XP XP Xaa 27 38 a 【答案】B； 【例28】 已知随机变量X的分布列为()(1 2 3) 2 i P Xii a ， ，则(2)P X 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】由题设 12311 1 2223aaaa ，即有 211 (2) 23 P X aa 15 【答案】 1 3 ； 【例29】 设

31、随机变量X的概率分布是() 5k a P Xk，a为常数，1 2 3k ， ， 则a （ ） A 25 31 B 31 25 C 125 31 D 31 125 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】由随机变量的分布列的性质知： 23 1 555 aaa ，解得 125 31 a 【答案】C； 离散型随机分布列的计算 【例30】 在第1 3 6 8 16， ，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽 车） ，有一位乘客等候第6路或第16路汽车假定当时各路汽车首先到站的可 能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于 【考

32、点】离散型随机分布列的计算 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】略 【答案】 2 5 ； 【例31】 在15个村庄中有6个村庄交通不便， 现从中任意选取10个村庄， 其中有X个村 庄交通不便，下列概率中等于 46 69 10 15 C C C 的是（ ） A(4)P X B(4)P X C(6)P X D(6)P X 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】X服从参数为(15 6 10)， ，的超几何分布 【答案】A； 【例32】 已知随机量X服从正态分布3 1N，且240.6826PX，则4P X （ ） 16 A0.1588 B0

33、.1587 C0.1586 D0.1585 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】2010 年，广东高考 【解析】当 3,1XN 时，有 3 0, 1 1 X N ，即 30.6826PX -11 ， 1 30.68260.3413 2 PX 01 ， 于是 43 10.50.34130.1587P XP X 【答案】B； 【例33】 某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽 取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中 2 题 的便可提高通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成，2 题不能完成；

34、 考生乙每题正确完成的概率都是， 且每题正确完成与否互不影响 分别写出甲、 乙两考生正确完成题数的概率分布列 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，安徽省淮南市 2010 届高三第一次模拟考试 【解析】略 【答案】设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为, 则取值分别为 1，2，3；取值分别为 0，1，2，3 12 42 3 6 1 (1) 5 C C P C ， 21 42 3 6 3 (2) 5 C C P C ， 30 42 3 6 1 (3) 5 C C P C 考生甲正确完成题数的概率分布列为 【例34】 一盒中放有大小相同的红色、绿色

35、、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数 的两倍，黄球个数是绿球个数的一半现从该盒中随机取出一个球，若取出红 球得 1 分，取出黄球得 0 分，取出绿球得1分，试写出从该盒中取出一球所得 分数X的分布列，并求出所得分数不为 0 的概率 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 1 2 3 p 5 1 5 3 5 1 17 【解析】略 【答案】欲写出X的分布列，要先求出X的所有取值，以及X取每一值时的概率 设黄球的个数为n，由题意知 绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n 44 (1) 77 n P X n ， 1 (0) 77 n P X n ， 22

36、 (1) 77 n P X n 所以从该盒中随机取出一球所得分数X的分布列为 X 1 0 1 P 4 7 1 7 2 7 所得分数不为 0 的概率 6 (0)(1)(1) 7 P XP XP X 【例35】 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路，每个旅游团任选其中一条求选择 甲线路旅游团数的分布列 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，广东省广州执信中学中山纪念中学深圳外国语学校三校期末联考 【解析】略 【答案】求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率， 再按定义求分布列 设选择甲线路旅游团数为，则0,1, 2, 3 3 3 327

37、0 464 P ， 12 3 3 C327 1 464 P 1 3 3 39 2 464 C P ， 3 3 3 C1 3 464 P 的分布列为： 【例36】 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD， ， ，四个不同的岗位服务，每 个岗位至少有一名志愿者 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； 设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】4 星 【题型】解答 0 1 2 3 P 64 27 64 27 64 9 64 1 18 【关键词】2008 年，北京高考理科 【解析】略 【答案】 记甲、

38、乙两人同时参加A岗位服务为事件 A E，那么 3 3 24 54 1 () 40 A A P E C A ， 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是 1 40 记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么 4 4 24 54 1 ( ) 10 A P E C A ， 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 9 ( )1( ) 10 P EP E 随机变量可能取的值为12，事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务， 则 23 53 34 54 1 (2) 4 C A P C A 所以 3 (1)1(2) 4 PP ，的分布列是 1 3 P 3 4 1 4 【例37】 某食品厂为了检查一条自动包

39、装流水线的生产情况， 随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，重量的分组区间为490495， 495 500， ，510 515， 由此得到样本的频率分布直方图， 如图 4 所示 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量 在上述抽取的40件产品中任取2件， 设Y为重量超过505克的产品数量， 求Y的 分布列； 从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，广东高考 【解析】略 【答案】 重量超过505克的产品数量是： 500.05 50.01 540

40、0.3 12 Y的分布列为： Y 0 1 2 P 2 28 2 40 C C 11 2812 2 40 CC C 2 12 2 40 C C 设所取的5件产品中，重量超过505克的产品件数为随机变量Y， 3 5 10 y B ，从而 23 2 5 373087 2C 101010000 P Y 19 即恰有2件产品的重量超过505克的概率为 3087 10000 【例38】 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记国徽面（记为正面）朝上的次数 为随机变量X；乙用一枚硬币掷2次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随 机变量Y 求随机变量X与Y的分布列； 求甲得到的正面朝上的次数不少于1的概率 求甲

41、与乙得到的正面朝上的次数之和为3的概率； 求甲得到的正面朝上的次数大于乙的概率 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】甲掷硬币的所有结果为：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正， 反正反，反反正，反反反；其中每一种结果出现都是等可能的， 故 1 (3) 8 P X ， 3 (2)(1) 8 P XP X； 1 (0) 8 P X ， 故X的分布列为： X 3 2 1 0 P 1 8 3 8 3 8 1 8 同理可得Y的分布列为： Y 2 1 0 P 1 4 1 2 1 4 7 (1)(1)(2)(3) 8 P XP XP XP X；

42、（或 7 (1)1(0) 8 P XP X ） 3XY：当3X 时，0Y ，考虑分步原理有： 1 111 8432 P ； 当2X 时，1Y ，有 2 313 8216 P ； 当1X 时，2Y ，有 3 313 8432 P 故 123 1133 (3) 32163216 P XYPPP 甲获胜，则XY； 当3X 时，2 1 0Y ，其概率为 11111 84248 ； 当2X 时，1 0Y ，其概率为 3119 82432 ； 当1X 时，0Y ，其概率为 313 8432 20 所以甲获胜的概率为 1931 832322 【例39】 一袋中装有编号为1 2 3 4 5 6， ， ，的6个

43、大小相同的球，现从中随机取出3个 球，以X表示取出的最大号码 求X的概率分布；求4X 的概率 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】 X的可能取值为3 4 5 6， ，从而有： 2 2 3 6 C1 (3) C20 P X ， 2 3 3 6 C3 (4) C20 P X ， 2 4 3 6 C3 (5) C10 P X ， 2 5 3 6 C1 (6) C2 P X 故X的概率分布为 X 3 4 5 6 P 20 1 20 3 10 3 2 1 314 (4)(5)(6) 1025 P XP XP X 【例40】 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 1 7 ，现有甲、 乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回， 直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能 的，用X表示取球终止所需要的取球次数 求袋中所有的白球的个数； 求随机变量X的概率分布； 求甲取到白球的概率 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 21 【答案】 设袋中原有n个白球，由题意知 2 2