高考数学讲义随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3.教师版

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1、 1 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布

2、如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C

3、 mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 知识内容 二项分布 2 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概 率 为 ( )

4、C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作(

5、,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表示

6、这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值的概率为1，

7、在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 x= O y x 3 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是 1

8、 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 （离散

9、 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()() () (1

10、) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积） ，

11、 记做DAB（或DAB） 4 二项分布的概率计算 【例1】 已知随机变量服从二项分布， 1 (4) 3 B，则(2)P等于 【考点】二项分布 【难度】1 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 222 4 118 C ( ) (1) 3327 【答案】 8 27 ； 【例2】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结 束， 假定甲每局比赛获胜的概率均为 2 3 ， 则甲以3:1的比分获胜的概率为 （ ） A 8 27 B 64 81 C 4 9 D 8 9 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】甲3:1获胜，表示只比赛了4局，且第4

12、局为甲获胜， 前面3局中甲胜了两局，乙胜了一局，因此所求概率为 22 3 2128 C ( ) 33327 【答案】A； 【例3】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是 1 2 ，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的 概率 （用数值表示） 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2007 年，湖北高考 【解析】 37 3 1010 1115 (3)C1 22128 P 【答案】 15 128 ； 典例分析 5 【例4】 某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4， 则他能及格的概率为_（保留到小数点后两位小数） 【考点】二项分布 【难度】2 星 【

13、题型】填空 【关键字】无 【 解 析 】 他 能 及 格 则 要 解 对4道 题 中 解 对3道 或4道 ： 解 对3道 的 概 率 为 33 4 ( )C0.40.6P A ，解对4道的概率为 44 4 ( )C 0.4P B ，且A与B互斥， 他能及格的概率为 3344 44 ()C0.40.6C0.40.18P AB 【答案】0.18； 【例5】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为 （精确到0.01） 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2006 年，湖北高考 【解析】设发热人数为X，则(5 0.

14、8)XB， 33244155 555 (3)(3 4 5)C (0.8) (0.2)C (0.8) (0.2)C (0.8)0.94P XP X， 【答案】0.94； 【例6】 从一批由 9 件正品，3 件次品组成的产品中，有放回地抽取 5 次，每次抽一件， 求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字） 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】有放回地抽取 5 件，视为 5 重 Bernoulli 实验 设 A 表示“一次实验中抽到次品”， 31 ( ) 124 P A 记X为抽到的次品数，则 1 (5) 4 XB，于是 223 5 11 (2)C

15、 ( ) (1)0.26 44 P X 【例7】 一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000， 有四台这种型 号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概 率是（ ） A0.1536 B0.1808 C0.5632 D0.9728 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】选择 6 【关键字】无 【解析】所有可能的情况是有 0，1，2 台机床需要有工人照看， 于是 4322 012 444 C0.8C10.80.8C10.80.80.9728 亦可考虑反面的情形求解 【答案】D; 【例8】 设在 4 次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A

16、至少发生一 次的概率等于 65 81 ，求事件A在一次试验中发生的概率 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设所求概率为p，X为A在 4 次试验中发生的次数，则(4)XBp， 依题意 04 4 65 (1)1(0)1C (1) 81 P XP Xp ，解出 1 3 p 【例9】 我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉如 果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l 枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字） 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答

17、案】设X表示击中敌舰的鱼雷数，则(8 0.6)XB，敌舰被击沉的概率为 008117 88 (2)1(0)(1)1 0.60.40.6 0.4 0.99P XP XP XCC 【例10】 某厂生产电子元件， 其产品的次品率为5%， 现从一批产品中的任意连续取出 2 件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】的取值分别为 0、1、2 =0 表示抽取两件均为正品， 02 2 (0)C (1 0.05)0.9025P =1 表示抽取一件正品一件次品， 1 2 (1)C (1 0.05) 0.050.095P =2

18、 表示抽取两件均为次品， 22 2 (2)C (0.05)0.0025P 7 的概率分布列为： 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 (1)0.0950.00250.0975P 【例11】 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的 创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 1 2 若某人 获得两个“支持”， 则给予10万元的创业资助； 若只获得一个“支持”， 则给予5万 元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求： 该公司的资助总额为零的概率； 该公司的资助总额超过15万元的概率 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】解答 【

19、关键字】2009 年，江西高考 【解析】略 【答案】 设A表示资助总额为零这个事件，则 6 11 ( ) 264 P A 设B表示资助总额超过15万元这个事件，则 4256 456 666 1111111 ( )CCC 2222232 P B 【例12】 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统 计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性 付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元 求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； 求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率 【考点】二

20、项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A表示事件：“3 位顾客中无人采用一次性付款” 3 ( )(10.6)0.064P A ，( )1( )10.0640.936P AP A 记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650 元” 0 B表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款” 1 B表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款” 8 则 01 BBB 3 0 ()0.60.216P B， 12 13 ()0.60.40.432P BC 01 ( )()P BP

21、 BB 01 ()()P BP B0.2160.4320.648 【例13】 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券 一张，每张奖券中奖的概率为 1 5 ，若中奖，则家具城返还顾客现金200元某 顾客消费了3400元，得到 3 张奖券 求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率； 求家具城至少返还该顾客现金200元的概率 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】家具城恰好返还给该顾客现金200元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中 奖所求概率为 12 3 1448 C ( ) ( ) 55125 p 设家具城至少返还给该顾

22、客现金200元为事件A，这位顾客的三张奖券有且 只有一张中奖为事件 1 A，这位顾客有且只有两张中奖为事件 2 A，这位顾客有且 只有三张中奖为事件 3 A，则 123 AAAA，且 123 AAA， ，是互斥事件 123 ( )()()()P AP AP AP A 122233 333 14141 C ( ) ( )C ( )( )C ( ) 55555 48121 125125125 61 125 也可以用间接法求： 3 461 ( )1( )1( ) 5125 P AP A 【例14】 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的 成活率分别为 5 6 和 4

23、5 ，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中： 至少有 1 株成活的概率； 两种大树各成活 1 株的概率 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2009 年，重庆高考 【解析】略 【答案】设 k A表示第k株甲种大树成活，1k ，2 l B表示第l株乙种大树成活，1l ， 2则 1 A， 2 A， 1 B， 2 B独立，且 12 5 ()() 6 P AP A， 12 4 ()() 5 P BP B 至少有 1 株成活的概率为 9 1212 1P AABB 1212 1()()()()P AP AP BP B 22 11899 1 65900 由独立重复试验中事件

24、发生的概率公式知，所求概率为 11 22 5141108804 CC 6655362590045 P 【例15】 一个口袋中装有n个红球（5n且*nN）和5个白球，一次摸奖从中摸两个 球，两个球颜色不同则为中奖 试用n表示一次摸奖中奖的概率p； 若5n ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P当n取多少时，P最 大？ 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 一次摸奖从5n 个球中任选两个， 有 2 5 Cn种， 其中两球不同色有 11 5 C C5 n n种， 一次摸奖中奖的概率 2 5

25、510 C(4)(5) n nn p nn 若5n ，一次摸奖中奖的概率 5 9 p ，三次摸奖是独立重复试验， 三 次 摸 奖 （ 每 次 摸 奖 后 放 回 ） 恰 有 一 次 中 奖 的 概 率 是 12 33 80 (1)C(1) 243 Ppp 设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖 的概率为 1232 33 (1)C(1)363 (01)PPpppppp 求导得 2 91233(1)(31)Ppppp 不难知道在 1 (0) 3 ，上P为增函数，在 1 (1) 3 ，上P为减函数，当 1 3 p 时P取得最 大值 由 101 (4)(5)3 n nn ，

26、解得20n 【例16】 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是 1 3 ，从B中摸出一个红球的概率为p 从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止 求恰好摸 5 次停止的概率； 记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布 若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸出一 10 个红球的概率是 2 5 ，求p的值 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】2005 年，浙江高考 【解析】略 【答案】恰好摸 5 次停止，则第 5 次摸到的是红球，前面 4 次独立重复试验摸到两次 红球，

27、所求概率为： 222 4 1218 C ( ) ( ) 33381 随 机 变 量的 取 值 为0 1 2 3， ， 由n次 独 立 重 复 试 验 概 率 公 式 ( )C(1) kkn k nn P kpp ，得 05 5 132 (0)C(1) 3243 P， 14 5 1180 (1)C(1) 33243 P， 223 5 1180 (2)C( )(1) 33243 P， 3280217 (3)1 24381 P 设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球，且A中红球数为 1 3 m，B中红 球数为2mp，由 1 2 2 3 35 mmp m ，解得 13 30 p 【例17】 设飞机A

28、有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机 没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数 1 t pe ，其中t为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机 A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障） 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】当A的两个发动机都有故障时，才不能安全飞行，A安全的概率 A P为 222 2 1 C1 A Ppp 当B的三或四个发动机有故障时，才不能安全飞行，B安全的概率为： 443343 44 1 CC(1)1 34 B Pppppp ， 4322 34(1)(31) AB

29、PPpppppp 01p， 2 100pp ， 当0 AB PP即 1 3 p 时， 1313 1ln 322 tt eet ，此时A比较安全； 当0 AB PP即 1 3 p 时， 13 ln 2 t ，此时A与B一样安全； 11 当0 AB PP即 1 0 3 p时， 13 ln 2 t ，此时B比较安全 【例18】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P，且各发动机互不影 响如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行问对于多大 的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？ 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 分析：4台发

30、动机中要有2台 （或3、4台） 正常运行， 而这2台可以是任意的 故 属n次独立重复试验问题2台发动机的情形同理建立不等式求解 解：四发动机飞机成功飞行的概率为 22233144 444 C(1)C(1)CPPPPP 2234 6(1)4(1)PPPPP 二发动机飞机成功飞行的概率为 1222 22 C(1)C2 (1)PPPPPP 要 使 四 发 动 机 飞 机 比 二 发 动 机 飞 机 安 全 ， 只 要 22342 6(1)4(1)2 (1)PPPPPPPP 2 (1) (32)0P PP，解得 2 1 3 P 答：当发动机不出故障的概率大于 2 3 时，四发动机飞机比二发动机飞机安全

31、 注：计算飞机成功飞行的概率时可从反面考虑：四发动机为 004113 44 1 C(1)C(1)PPPP，二发动机为 002 2 1 C(1)PP，这样更简单 【例19】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交 通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 1 3 设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列； 设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 1 (6) 3 B，的分布列为 6 6 12 ()C ( ) ( )(0 1

32、6) 33 kkk Pkk ， ， 由于表示该学生首次停车时经过的路口数，取值为0 1 2 3 4 5， ， ， 其中 k表 示 前k个 路 口 没 遇 红 灯 ， 但 在1k 个 路 口 遇 红 灯 ， 故 21 ()( ) ( )(0 15) 33 k Pkk， ， 而6表示一路上没遇红灯， 6 2 (6)( ) 3 P； 12 6 2665 (1)1(0)1( )0.9122 3729 PP 【例20】 一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正 面向上恰为2次的概率相同 令既约分数 i j 为硬币在5次抛掷中有3次正面向上 的概率，求ij 【考点】二项分布

33、【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设正面向上的概率为P，依题意： 43 122 55 C1C1PPPP12PP ，解 得： 1 3 P ， 硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为 32 2 333 55 1140 C1C1 33243 PP ， 故283ij 【例21】 某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第 2 位） 5 次预报中恰有2次准确的概率； 5次预报中至少有2次准确的概率； 5 次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率； 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2007 年，江苏高考 【解析】略 【答案

34、】设X为 5 次预报中预测准确的次数，则(5 0.8)XB， 23 2 5 (2)0.810.8100.640.0080.05P XC 14 5 (2)1(0)(1)10.8(1 0.8)1 0.00640.99P XP XP XC 设Y为 4 次预报中预测准确的次数，则(4 0.8)YB，所求概率为 13 4 (1) 0.80.8(1 0.8)0.80.02P YC 【例22】 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18 19 20， ，层可以停靠若该电梯在 底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 1 3 ，求至 少有两位乘客在 20 层下的概率 【考点】二项分布 1

35、3 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】5 位乘客在某一层楼下可看作 5 次独立重复试验，用X表示在第 20 层下的人 数，则 1 (5) 3 XB，至少有两位乘客在 20 层下的概率为： 0514 55 111131 (2)1(0)(1)1C (1)C(1) 333243 P XP XP X 【例23】 10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得 ()k kn次红球的概率 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设 A 表示“取出一球为红球”的事件，易知 1 ( )0.1 10 P A 由题意第n

36、次取得的是红球，设X为前面1n次取得红球的次数，则 (1 0.1)XB n ， 于是 11 1 (1)C(0.1)(1 0.1) kkn k n P Xk 题目要求的概率为 1 1 (1) 0.1C(0.1) (0.9) kkn k n P Xk 【例24】 某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工设各台设备发生的故障是 相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01试求： 若由一个人负责维修 20 台，求设备发生故障而不能及时维修的概率； 若由 3 个人共同负责维修 80 台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率， 并进行比较说明哪种效率高 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】

37、解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设X表示 20 台设备中发生故障的设备的数目，则(20 0.01)XB，不能及 时维修的概率为 020119 2020 (2)1(0)(1)1 C (1 0.01)C(0.01) (1 0.01)0.01686P XP XP X 设Y表示 80 台设备中发生故障的设备的数目，则(80 0.01)YB，不能及时 维修的概率为 (4)1(0)(1)(2)(3)P YP YP YP YP Y 08017922783377 80808080 1 C (1 0.01)C (0.01)(1 0.01)C (0.01) (1 0.01)C (0.01) (1 0.01

38、) 14 0.00866 比较的结果知的效率较高 【例25】 A B，是治疗同一种疾病的两种药， 用若干试验组进行对比试验 每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效若在一个 试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为 甲类组设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 2 3 ，服用 B 有效的概率为 1 2 观 察 3 个试验组，求至少有 1 个甲类组的概率 （结果保留四位有效数字） 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设 i A表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有i

39、只”，0 1 2i ， i B表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小鼠有i只”，0 1 2i ， 依 题 意 有 ： 1 12 1 24 ()C 3 39 P A ， 2 2 24 () 3 39 P A， 0 1 11 () 2 24 P B， 1 12 1 11 ()C 2 22 P B 于是试验组是甲类组的概率为： 010212 1414144 ()()() 4949299 pPBAPBAPBA 设X表示 3 个试验组中甲类组的个数，则 4 (3) 9 XB， 03 3 4604 (1)1(0)1C (1)0.8285 9729 P XP X 【例26】 已知甲投篮的命中率是0.9，

40、 乙投篮的命中率是0.8， 两人每次投篮都不受影响， 求投篮 3 次甲胜乙的概率 （保留两位有效数字） 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 设甲、 乙投篮 3 次命中的次数分别为X，Y， 则 ( 3 0 . 9 ) ( 3 0 . 8 )XBYB， 所 求概率为 () (3)(2)(1)(0) ()P XYP XP XP XP XP XY (3) ()(2) ()(1) ()(0) ()P XP XYP XP XYP XP XYP XP XY (3) (0)(1)(2)(2) (0)(1)(1) (0)P XP YP YP YP XP YP YP

41、 XP Y 33003112221 3333 C (0.9) C (0.8) (0.2)C (0.8) (0.2)C (0.8) (0.2) 15 22003112112003 33333 C (0.9) (0.1)C (0.8) (0.2)C (0.8) (0.2) C (0.9) (0.1) C (0.8) (0.2) 0.38 【例27】 若甲、乙投篮的命中率都是0.5p ，求投篮n次甲胜乙的概率 （1nnN， ） 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】方法一：同样设甲、乙投篮n次命中的次数分别为X，Y，则()X YB n p， 按照例题中的思

42、路有： 1 00 ()()() nk ki P XYP XkP Yi 不难知道所求概率也可以“Y”为主： 01 ()()() nn ki k P YXP YkP Xi XY，的概率分布是相同的，()()C(1)(0) kkn k n P XkP Ykppkn 相加得： 00 2 ()()()()1() nn ki kk P XYP XkP XiP XkP Xk 2 0 1 () n k P Xk 2 0 1C(1) n kkn k n k pp 22 0 1(C ) n nk n k p 2 2 1 C(0.5) nn np p 故 2 2 11 ()C(0.5) 22 nn n P XYpp

43、 方法二：由对称性知()()P XYP YX，于是有 0 2 ()()()1()1() () n k P XYP XYP XYP XYP Xk P Yk 2 0 1 () n k P Xk 2 2 1 C(0.5) nn np p 【例28】 省工商局于某年 3 月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显 示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选 用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求： 甲喝2瓶合格的x饮料的概率； 甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01） 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

44、 【答案】记“第一瓶x饮料合格”为事件 1 A，“第二瓶x饮料合格”为事件 2 A， 1 A与 2 A是 16 相互独立事件，“甲喝2瓶x饮料都合格就是事件 12 AA，同时发生，根据相互独 立事件的概率乘法公式得： 1212 ()()()0.64P AAP AP A 记“一人喝合格的2瓶x饮料”为事件A，三人喝6瓶x饮料且限定每人2瓶相 当于3次独立重复试验 根据n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式，3人喝6瓶x饮料只有1 人喝2瓶不合格的概率： 223 22 33 (2)C0.64(1 0.64)3 0.640.360.44P 【例29】 在一次考试中出了六道是非题，正确的记“”号，不正确的记“”号若某考生 随手记上六个符号，试求：全部是正确的概率； 正确解答不少于 4 道的概率； 至少答对2道题的概率 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】由已知可知每个题解答正确的概率为 1 2 ，并且每次解答是相互独立事件 全部正确的概率是 6 6 66 11 (6)C 264 P “正确解答不少于4道”即“有4道题、5道题或6