高考数学讲义随机变量及其分布列.版块三.离散型随机变量的期望与方差1.教师版

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1、 1 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布

2、如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C

3、 mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 知识内容 数学期望 2 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概 率 为 ( )

4、C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作(

5、,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表示

6、这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值的概率为1，

7、在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 x= O y x 3 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是 1

8、 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 （离散

9、 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()() () (1

10、) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积） ，

11、 记做DAB（或DAB） 4 【例1】 投掷 1 枚骰子的点数为，则的数学期望为（ ） A3 B3.5 C4 D4.5 【考点】数学期望 【难度】1 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B； 【例2】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向 上的次数为，则的数学期望是（ ） A20 B25 C30 D40 【考点】数学期望 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】C； 【例3】 从1 2 3 4 5 6， ， ，这 6 个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 【考点】数学期望 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【

12、解析】 2 6 135 (1 21 356) C3 【答案】 35 3 ； 【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹， 命中后尚余子弹数目的期望为（ ） A2.44 B3.376 C2.376 D2.4 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】 2 (1)0.40.60.096(2)0.4 0.60.24(3)0.6PPP， 0.0962 0.243 0.62.376E 【答案】C； 典例分析 5 【例5】 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a，得 2 分的概率为b，不得分的概 率为c（a、b、0 1c，） ，已知他投

13、篮一次得分的数学期望为 2（不计其它 得分情况） ，则ab的最大值为（ ） A 1 48 B 1 24 C 1 12 D 1 6 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】2008 年，广东省揭阳市高中毕业班高考调研测试 【解析】由已知得3202abc ，即322ab， 2 11 321 32 6626 ab abab 【答案】D； 【例6】 一家保险公司在投保的 50 万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每年有 15 个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为 200 元，试求每一保 单的保费 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

14、【答案】依题意知，利润的期望值()200E X 元 设x表示保费，则理赔费为(500000) x， 于是()0.9850.015 (500000)200E Xxx 解出7700x 元 即每一保单每年的保费应定在7700元 【例7】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为 1212 ()PP PP，已知该题被甲或 乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求： 12 PP，； 解出该题的人数X的分布列及EX 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设甲、乙两人解出该数学题分别为事件A和B，则 12 ( )( )P APP BP， 所以

15、1()0.8 ()0.3 P A B P A B ，即 12 12 1(1)(1)0.8 0.3 PP PP 解之得 12 0.60.5PP， 6 X的可能取值为0 1 2，(0)0.4 0.50.2P X ， (1)0.6 0.50.4 0.50.5P X ，(2)0.6 0.50.3P X 列出分布列： X 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 所以00.20.5 10.321.1EX 【例8】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示 只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人 都不签约设每人面试合格的概率都是 1 2 ，且面试是否合

16、格互不影响求签约 人数的数学期望 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2008 年，湖南高考 【解析】略 【答案】用 A，B，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知 A，B，C 相互独立，且 1 ( )( )( ) 2 P AP BP C 的可能取值为0 1 2 3， ， (0)()()()PP ABCP ABCP ABC ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P A P B P CP A P B P CP A P B P C 323 1113 ( )( )( ) 2228 (1)()()()PP ABCP ABCP ABC =( ) (

17、) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P A P B P CP A P B P CP A P B P C= 333 1113 ( )( )( ) 2228 1 (2)()( ) ( ) ( ) 8 PP ABCP A P B P C 1 (3)()( ) ( ) ( ) 8 PP ABCP A P B P C 所以，的期望 3311 01231 8888 E 【例9】 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计 结果如下表所示： 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率； 已知每

18、吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和 （单位： 千元） 若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学 期望 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2008 年，辽宁高考 【解析】略 7 【答案】周销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率分别为0.2 0.5，和0.3 的可能值为8 10 12 14 16， ， ， ，且 22 (8)0.20.04(10)0.2 0.50.5 0.20.02(12)0.52 0.2 0.30.37PPP ， 2 (14)0.3 0.50.5 0.30.3(16)0.30.09PP， 的分布列为 8 10

19、12 14 16 p 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 8 0.04 10 0.2 12 0.3714 0.3 16 0.0912.4E （千元） 【例10】 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参 加科目B的考试已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格 方可获得证书 现某人参加这项考试， 科目A每次考试成绩合格的概率均为 2 3 ， 科目B每次考试成绩合格的概率均为 1 2 假设各次考试成绩合格与否均互不影 响在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数 为，求的数学期望E 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解

20、答 【关键字】2008 年，福建高考 【解析】略 【答案】设“科目A第一次考试合格”为事件 1 A，“科目A补考合格”为事件 2 A； “科目B第一次考试合格”为事件 1 B，“科目B补考合格”为事件 2 B 由已知得，可能取值2 3 4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 1112 (2)()()PP A BP A A 2111114 3233399 ； 112112122 (3)()()()PP A BBP A BBP AAB 2112111211114 3223223326699 ； 12221212 (4)()()PP A ABBP A ABB 12111211111 , 3322

21、332218189 故该考生参加考试次数的数学期望为 4418 234 9993 E 【例11】 某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖， 飞镖落在靶外 （环数记为 0） 的概率为0.1， 飞镖落在靶内的各个点是椭机的已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为 30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示设这位同学投 掷一次一次得到的环数这个随机变量X，求X的分布列及数学期望 8 10 9 8 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2009 年，广州高考 【解析】略 【答案】由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比， 而与它们的质量和形状无关 由圆的半

22、径值可得到三个同心圆的半径之比为3 2 1，面积比为9 4 1 所以8环区域、9环区域、10 环区域的面积比为5 3 1 则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k，3k，k 根据离散型随机变量分布列的性质有0.1 531kkk 解得0.1k ； 得到离散型随机变量X的分布列为 X 0 8 9 10 P 0.1 0.5 0.3 0.1 00.180.590.3100.17.7EX 【例12】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利

23、 润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润 求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率( )P A； 求的分布列及期望E 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2007 年，全国高考 【解析】略 【答案】 由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款” 知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” 2 ( )(10.4)0.216P A ， ( )1( )10.2160.784P AP A 的可能取值为200元，250元，300元 (200)(1)0.4PP， (250)(2)(3)0.20.2

24、0.4PPP， (300)1(200)(250)1 0.40.40.2PPP 的分布列为 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 9 200 0.4250 0.4300 0.2E240（元） 【例13】 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞 的有5人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且 7 (0) 10 P 求文娱队的人数； 写出的概率分布列并计算期望 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7) x人， 那么只会一项的人数是(72 ) x人 7

25、(0)1(0) 10 PP ， 3 (0) 10 P即 2 7 2 2 7 C3 C10 x x 化简： (72 )(62 )3 (7)(6)10 xx xx 解得2x 故文娱队共有5人 的可能取值为0 1 2， 2 5 11 (2) C10 P， 11 23 2 5 C C3 (1) C5 P 的概率分布列为： 0 1 2 P 3 10 3 5 1 10 于是期望为 3314 012 105105 E （ 22 5 E ） 【例14】 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话已知某一时刻电话A、B占线的 概率为0.5，电话C、D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影 响假设该时刻有

26、X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的期望 【考点】数学期望 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 22 (0)0.50.60.09P X ； 12212 22 (1)C0.50.6C0.50.4 0.60.3P X ； 122112122 2222 (2)C0.50.6C C0.50.4 0.6C0.50.40.37P X ； 2121222 2222 (3)C C0.50.4 0.6C C0.50.40.2P X ； 22 (4)0.50.40.04P X 于是得到随机变量X的概率分布列为： 10 X 0 1 2 3 4 P 0.09 0.3 0.37 0

27、.2 0.04 所以()0 0.09 1 0.32 0.373 0.24 0.041.8E X 【例15】 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4 0.5 0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市 时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值求X的分布及数学期望 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】分别记“客人游览甲、乙、丙景点”，为事件 1 A， 2 A， 3 A 由已知 1 A， 2 A， 3 A相互独立， 1 ()0.4P A ， 2 ()0.5P A， 3 ()0.6P A 客人游览

28、的景点数的可能取值为0 1 2 3， ， 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3 2 1 0， ，所以X的可能取值为 1 3， 123123123123 (3)()()()()()()()()P XP AAAP AAAP AP AP AP AP AP A 20.40.50.60.24，(1)1 0.240.76P X 数学期望为()1 0.763 0.241.48E X 【例16】 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考 核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别 为 4 5 、 3 5 、 2 5 ，且各轮问题能否正确回答互不影响 求

29、该选手被淘汰的概率； 该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望 （注：本小题结果可用分数表示） 【考点】数学期望 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】2007 年，陕西高考 【解析】略 【答案】方法一： 记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(123) i A i ， ， 则 1 4 () 5 P A ， 2 3 () 5 P A， 3 2 () 5 P A， 该选手被淘汰的概率 112223112123 ()()() ()() () ()PP AA AA A AP AP A P AP A P A P A 142433101 555555125 的可能值为123，

30、 ， 1 1 (1)() 5 PP A， 1212 428 (2)()() () 5525 PP A AP A P A， 11 1212 4312 (3)()() () 5525 PP A AP A P A 的分布列为 1 2 3 P 1 5 8 25 12 25 181257 123 5252525 E 方法二： 记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(1, 2, 3) i A i ， 则 1 4 () 5 P A ， 2 3 () 5 P A， 3 2 () 5 P A 该选手被淘汰的概率 123123 1()1() () ()PP A A AP A P A P A 432101 1

31、555125 同解法一 【例17】 在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试 过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响 求甲、乙、丙三人均达标的概率； 求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率； 设X表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X的概率分布及 数学期望EX 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】分别记“甲达标”，“乙达标”，“丙达标”为事件 123 ,AAA 由已知 123 ,AAA相互独立， 1 ()0.4P A ， 2 ()0.5P A， 3 ()0.8P A 3个人均达标的概率为 123 (

32、)P AAA 123 ()()()P AP AP A0.40.50.80.16 至少一人达标的概率为 123 1()P AAA 123 1()()()P AP AP A 1 (1 0.4)(1 0.5)(1 0.8)0.94 测试结束后达标人数的可能取值为0, 1, 2, 3，相应地， 没达标人数的可能取值为3, 2, 1, 0， 所以X的可能取值为1, 3 123123 (3)()()P XP A AAP A AA 123123 () () ()() () ()P AAAP AAA 0.4 0.5 0.8(1 0.4)(1 0.5)(1 0.8)0.22 (1)P X 12313223112

33、3213312 ()()()()()()P A AAP A AAP AAAP A AAP AA AP AA A 0.4 0.5 (1 0.8)0.4 0.8 (1 0.5)0.5 0.8 (1 0.4) 0.4 (1 0.5) (1 0.8)0.5 (1 0.4) (1 0.8)0.8 (1 0.4) (1 0.5)=0.78 （也可由(1)1(3)0.78P XP X ） 从而X的概率分布为 X 1 3 12 3 0.221 0.780.660.781.44EX 【例18】 在 1，2，3，9 这9个自然数中，任取3个数 求这3个数中恰有1个是偶数的概率； 设为这3个数中两数相邻的组数（例如

34、：若取出的数为 1，2，3，则有两组相 邻的数 1，2 和 2，3，此时的值是 2） 求随机变量的分布列及其数学期望E 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2009 年，浙江高考 【解析】略 【答案】 记“这 3 个数中恰有一个是偶数”为事件A，则 12 45 3 9 C C10 ( ) C21 P A 随机变量的取值为 0，1，2 3 9 71 (2) C12 P， 3 9 62561 (1) C2 P ， 5 (0)1(1)(2) 12 PPP 的分布列是 0 1 2 P 5 12 1 2 1 12 所以的数学期望 5112 012 122123 E 【例19】 甲、

35、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示 只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人 都不签约设甲面试合格的概率为 1 2 ，乙、丙面试合格的概率都是 1 3 ，且面试 是否合格互不影响求： 至少有1人面试合格的概率； 签约人数X的分布列和数学期望 【考点】数学期望 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】2009 年，广东揭阳 【解析】略 【答案】用ABC， ，分别表示事件甲、乙、丙面试合格 由题意知ABC， ，相互独立，且 1 ( ) 2 P A ， 1 3 P BP C 至少有1人面试合格的概率是 P 0.78 0.22 13 1227 1

36、11 2339 P ABCP A P B P C X的可能取值为0，1，2，3 0P XP ABCP ABCP ABC ( ) ( )P A P B P CP A P B P CP A P B P C 1121211224. 2332332339 1P XP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 1211121224. 2332332339 1111 2 23318 P XP ABCP A P B P C 1111 3 23318 P XP ABCP A P B P C X的分布列是 X 0 1 2 3 P X 4 9 4 9 1 18

37、 1 18 X的期望 441113 0123 99181818 EX 【例20】 某公司“咨询热线”电话共有 8 路外线，经长期统计发现，在 8 点到 10 点这段 时间内，外线电话同时打入情况如下表所示： 电话同时打入个数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 概率P 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 0 0 若这段时间内，公司只安排了 2 位接线员（一个接线员一次只能接一个电话） 求至少一种电话不能一次接通的概率； 在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间（8 点至 10 点）内至 少一路电话不能一次接通， 那么公司的形象将受到损害， 现用该事件

38、的概率表示公 司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度” 求一周五个工作日的这段时间（8 点至 10 点）内，电话同时打入数的期望 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】已安排 2 位接线员，从 3 路开始不能一次接通， 因此至少一路电话不能一次被接通的概率为： 1 0.140.080.020.010.25p 3324455 555 1313153 C ( ) ( )C ( ) ( )C ( )0.104 44444512 ； 1 0.352 0.273 0.144 0.085 0.0026 0.01 1.79E 14 【例21】 某先生居

39、住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车 事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的 概率，如图 （ 例如：ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概 率为 1 10 ，路段CD发生堵车事件的概率为 1 15 ） 记路线ACFB中遇到 堵车次数为随机变量X，求X的数学期望()E X 3 20 1 12 1 15 1 10 FE DC B A 【考点】数学期望 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】记路段MN发生堵车事件为MN， 路线ACFB中遇到堵车次数X可取值为0 1 2 3， ， 131561 (0)()(1)(1)

40、(1) 102012800 P XP AC CF FB， (1)()()()P XP AC CF FBP AC CF FBP AC CF FB 1171193119171637 1020121020121020122400 ； (2)()()()P XP AC CF FBP AC CF FBP AC CF FB 13119171193177 1020121020121020122400 ； 1311 (3)() 102012800 P XP AC CF FB； 路线ACFB中遇到堵车次数的数学期望为： 5616377711 ()0123 800240024008003 E X 【例22】 口袋

41、里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回 摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次 摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互 独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数的分 布列及数学期望 【考点】数学期望 【难度】3 星 15 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B， 则 412 ( )( )( )( ) 4833 P AP BP AP B ，且A、B相互独立 依题意，的可能取值为0 1 2 3， ，其中 3 21214

42、 (0)()() 33327 PP A BP A B A ， 2 122110 (1)()() 333327 PP A AP A B A ， 2 122 (2)() 3327 PP A A A ， 3 11 (3)() 327 PP A A A ， 0 1 2 3 P 14 27 10 27 2 27 1 27 14102117 0123 2727272727 E 【例23】 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中 每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸 出两个红球可获得奖金50元现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两 次，令X

43、表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额求： X的概率分布；X的期望 【考点】数学期望 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 X的所有可能取值为0，10，20，50，60 3 9729 (0) 101000 P X ， 2 1 2 19919243 (10)C 10101010101000 P X ， 1 2 11918 (20)C 1010101000 P X ， 2 919 (50) 10101000 P X ， 3 11 (60) 101000 P X 故X的概率分布为 X 0 10 20 50 60 P 729 1000 243 1000 18 1000 9 1000 1 1000 7292431891 ()0102050603.3 10001000100010001000 E X 16 【例24】 如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的A点和 1 C点处，每只 小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向每个方向移动，但不能按原 路线返回如：甲在A时可沿AB，AD， 1 AA三个方向移动，概率都是 1 3 ，到 达B点时，可沿BC， 1 BB两个方向移动，概率都是 1 2 已知小蚂蚁每秒钟