2018-2019学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期末数学试卷(含详细解答)
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1、2018-2019 学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期末数学试卷一、填空题: (本小题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 70 分,将答案填在答题表中)分,将答案填在答题表中) 1 (5 分)复数 1+3i 的模为 2 (5 分)命题“xR,x2+x+10”的否定是 3 (5 分)用反证法证明“不是有理数”时第一步应该假设“ ” 4 (5 分)如果 p:x2,q:x2,那么 p 是 q 的 条件 5 (5 分)若 k1,k2,k8的方差为 3,则 2(k13) ,2(k23) ,2(k83)的方 差为 (参考公式) 6 (5 分)一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中
2、3 只白球,2 只黑球,从中一次摸出 2 只球,摸出的 2 只球都是白球的概率是 7 (5 分)已知双曲线上一点 P 到一个焦点的距离为 4,则点 P 到此焦点相应准 线的距离为 8 (5 分)某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额,采取如下 方法:从某本 50 张的发票存根中随机抽取 1 张,如 15 号,然后按顺序往后将 65 号、115 号、165 号发票上的销售额组成 1 个调查样本这种抽取样本的方法是 (填 序号) 抽签法系统抽样分层抽样随机数表法 9 (5 分)已知点 P 在抛物线 x24y 上运动,F 为抛物线的焦点,点 A 的坐标为(2,3) , 求 P
3、A+PF 的最小值 10 (5 分)取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率是 11 (5 分)过点 O(0,0)作曲线 yex的切线,切线方程为 12 (5 分)过点 M(1,1)作斜率为的直线与椭圆 C:(ab0)相交于 A,B 两点,若,则椭圆 C 的离心率为 第 2 页(共 19 页) 13 (5 分)已知函数 f(x)对于任意实数 t,方程 f(x)tx 总有实数 解,则实数 a 组成的集合是 14 (5 分)我们知道,平面上 n 条直线最多可将平面分成 1+个部分,推理过程如 下: 记 n 条直线最多把平面分成 rn个部分, 可以得到
4、 r121+1, r24r1+2, r37r2+3, r411r3+4,r516r4+5, 第 n 条直线与前面的 n1 条直线都相交,产生 n1 个交点,这 n1 个交点把这条直线 分成 n 段,且每一段将原有的平面部分分成两个部分,因此增加了 n 个部分,所以 rn rn1+n 可得平面上 n 条直线最多可将平面分成 1+个部分 类比可得,空间内 6 个平面最多可将空间分成 个部分 (填数字) 二解答题: (本大题共二解答题: (本大题共 6 小题,满分小题,满分 90 分,解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15 (14 分)已知命题 P
5、: “存在 xR,x22x+m0” ,命题 q: “曲线表示焦 点在 y 轴上的椭圆” ,命题 r:tmt+1 (1)若“p 且 q”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若q 是r 的充分不必要条件,求 t 的取值范围 16 (14 分) (1)已知复数 z 满足|z|,z2的虚部为 2,z 所对应的点在第一象限,求复 数 z; (2)已知 z1,z2是两个虚数,并且 z1+z2与 z1z2均为实数,求证:z1,z2是共轭复数 17 (14 分)某公司计划购买一种机器,该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件, 如果在购买机器的同时购买这种零件作为备件,每个 200 元:如果在机器使用期间
6、单独 购买,则每个 500 元 第 3 页(共 19 页) (1)若该公司购买了 1 台这种机器,并在购买机器的同时购买了 18 个易损零件记 x 表示这台机器在三年使用期内更换的易损零件数, y 表示这台机器在购买易损零件上所需 的费用(单位:元) ,求 y 与 x 的函数解析式: (2)为决策在购买机器的同时购买几个易损零件,该公司从 100 家不同公司各抽取了 1 台这种机器进行调查 收集整理了这 100 台机器在过去三年使用期内更换的易损零件数, 得如图柱状图假设这100台机器在购机的同时每台都购买了19个易损零件, 请计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 (各台机器购
7、买的易损零件不能调剂使用) 18 (16 分)学校内有一块矩形空地 ABCD,空地的一角有一个池塘(图中阴影部分) ,池 塘边缘线 OM 上每一点到点 D 的距离都等于它到边 AB 的距离现要在这块空地上规划 一座图书馆,为保留这个池塘,图书馆底面设计成五边形 ABCEF(如图) ,其中 EF 边与 池塘边缘线 OM 相切于点 P(P 为池塘边缘线 OM 上的动点) ,AB 长度 40 米,BC 长度 20 米 (1)如图建立直角坐标系,求边缘线 OM 的方程; (2) 当 AF 长度为多少米的时候图书馆单层的面积最大(即五边形 ABCEF 面积最大) ? 19 (16 分)将圆 x2+y21
8、6 上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,得到曲线 C 的方程为 (1)写出求曲线 C 的方程的过程; 第 4 页(共 19 页) (2)动直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点,与两定直线 x2y0 和 x+2y0 分别 交于 PQ 两点; 当直线垂直于 x 轴时,求OPQ 的面积; OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值:若不存在,说明理由 20 (16 分)已知函数 f(x)x33x2+(2a)x,aR (1)若 a1,求函数 f(x)的单调增区间 (2)若函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,t1,t2,其中 t1t2 (i)若 t23t1,求 a 的值: (
9、ii)若对任意的 xt1,t2,都有 f(x)16a 成立,求 a 的取值范围 第 5 页(共 19 页) 2018-2019 学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期末数学试卷学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题: (本小题一、填空题: (本小题共共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 70 分,将答案填在答题表中)分,将答案填在答题表中) 1 (5 分)复数 1+3i 的模为 【分析】利用复数模的计算公式即可得出 【解答】解:复数 1+3i 的模, 故答案为: 【点评】本题考查了复数模的计算公式,考查了推理能力与计算能力
10、,属于基础题 2 (5 分)命题“xR,x2+x+10”的否定是 xR,x2+x+10 【分析】欲写出命题的否定,必须同时改变两个地方: “” ;: “”即可,据此 分析选项可得答案 【解答】解:命题“xR,x2+x+10“的否定是: xR,x2+x+10 故答案为:xR,x2+x+10 【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“”的否定 用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是” ,而不是“都 不是” 特称命题的否定是全称命题, “存在”对应“任意” 3 (5 分)用反证法证明“不是有理数”时第一步应该假设“ 假设是有理数 ” 【分析】根据反证法的
11、步骤进行求解即可 【解答】解:反证法的第一步是假设结论不成立, 即假设是有理数, 故答案为:假设是有理数 【点评】本题主要考查反证法的应用,结合反证法的步骤是解决本题的关键 4 (5 分)如果 p:x2,q:x2,那么 p 是 q 的 充分不必要 条件 【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可 【解答】解:因为 p:x2,q:x2;但是 x2;不能说是 x2; 所以么 p 是 q 的充分不必要条件 第 6 页(共 19 页) 故答案为:充分不必要 【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查基本知识的应用 5 (5 分)若 k1,k2,k8的方差为 3,则 2(k13) ,2(k
12、23) ,2(k83)的方 差为 12 (参考公式) 【分析】已知一组数据的方差,求在这一组上同时乘以 2,再减去 6 的方差,根据在一组 数据上都乘以一个数,则方差的变化是乘以一个数据的平方得到结果,在这组数据上减 去 6,方差不变 【解答】解:k1,k2,k8的方差为 3, 2k1,2k2,2k8的方差是 22312, 2k16,2k26,2k86 的方差是 12, 故答案为:12 【点评】本题考查平均数和方差的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,平均数也 乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变 6 (5 分)一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中
13、3 只白球,2 只黑球,从中一次摸出 2 只球,摸出的 2 只球都是白球的概率是 【分析】从中一次摸出 2 只球,基本事件总数 n10,摸出的 2 只球都是白球包含 的基本事件个数 m,由此能求出从中一次摸出 2 只球,摸出的 2 只球都是白球的 概率 【解答】解:一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黑球, 从中一次摸出 2 只球, 基本事件总数 n10, 摸出的 2 只球都是白球包含的基本事件个数 m, 从中一次摸出 2 只球,摸出的 2 只球都是白球的概率: p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础 第 7 页(共
14、 19 页) 题 7 (5 分)已知双曲线上一点 P 到一个焦点的距离为 4,则点 P 到此焦点相应准 线的距离为 3+2 【分析】设点 P 到另一焦点的距离为 x,由双曲线的定义可得|x3|2a2,解之可 得 【解答】解:由双曲线的可知: a,b,c3,一个焦点坐标(0,3) ,另一个焦点坐标(0,3) , 设点 P 到另一焦点的距离为 x, (x0) 由双曲线的定义可得|x3|2a2, 解得 x3+2,或 x32(舍去) , 故答案为:3+2 【点评】本题考查双曲线的定义,属基本知识的考查 8 (5 分)某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额,采取如下 方法:从某本
15、 50 张的发票存根中随机抽取 1 张,如 15 号,然后按顺序往后将 65 号、115 号、165 号发票上的销售额组成 1 个调查样本这种抽取样本的方法是 (填 序号) 抽签法系统抽样分层抽样随机数表法 【分析】利用系统抽样的定义和性质直接求解 【解答】解:某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额,采取 如下方法: 从某本 50 张的发票存根中随机抽取 1 张,如 15 号, 然后按顺序往后将 65 号、115 号、165 号发票上的销售额组成 1 个调查样本 这种抽取样本的方法是系统抽样 故答案为: 【点评】本题考查抽样方法的判断,考查系统抽样的定义和性质等基础知识
16、,考查运算 求解能力,是基础题 9 (5 分)已知点 P 在抛物线 x24y 上运动,F 为抛物线的焦点,点 A 的坐标为(2,3) , 第 8 页(共 19 页) 求 PA+PF 的最小值 4 【分析】根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程,利用抛物线的定义可得 |PA|+|PF|PA|+|PM|AM|,故|AM|(A 到准线的距离)为所求 【解答】解:抛物线标准方程 x24y,p2,焦点 F(0,1) ,准线方程为 y1 设 p 到准线的距离为 d,则 PFd, 所以求 PA+PF 的最小值就是求 PA+d 的最小值 显然,直接过 A 做 y1 的垂线 AQ,当 P 是 AQ 与抛物
17、线的交点时,PA+d 有最小值 最小值为 AQ3(1)4 故答案为 4 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,得到|PA|+|PF| |PA|+|PM|AM|,是解题的关键 10 (5 分)取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率是 【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型,将长度为 3m 的绳子分成相等的三段, 在中间一段任意位置剪断符合要求,从而找出中间 1m 处的两个界点,再求出其比值 【解答】解:记“两段的长都不小于 1m”为事件 A, 则只能在中间 1m 的绳子上剪断,剪得两段的长都不小于 1m, 所以事件 A
18、发生的概率 故答案为: 【点评】本题主要考查概率中的几何概型,它的结果要通过长度、面积或体积之比来得 到 11 (5 分)过点 O(0,0)作曲线 yex的切线,切线方程为 yex 【分析】设出切点坐标,求出原函数的导函数,得到函数在 xm 时的导数值,即切线的 斜率,然后由直线方程的点斜式得切线方程,代入已知点的坐标后求出切点的坐标,则 切线方程可求 【解答】解:由线 yex,得 yex, 设切点为(m,em) , 则 yem, 第 9 页(共 19 页) 切线方程为 y0em(x0) , 切线过点(0,0) , em 解得:m1 切线方程为 yex 故答案为:yex 【点评】本题考查了利用
19、导数研究过曲线上某点的切线方程,过曲线上某点处的切线的 斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题 12 (5 分)过点 M(1,1)作斜率为的直线与椭圆 C:(ab0)相交于 A,B 两点,若,则椭圆 C 的离心率为 【分析】利用点差法,结合 M 是线段 AB 的中点,斜率为,即可求出椭圆 C 的离心 率 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则, M 是线段 AB 的中点, 1,1, 直线 AB 的方程是 y(x1)+1, y1y2(x1x2) , 过点 M(1,1)作斜率为的直线与椭圆 C:(ab0)相交于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点, 两式相减可得,即, a
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