2018-2019学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二(下)期末数学试卷(理科)含详细解答
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1、2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)复数的共轭复数 ( ) A1+i B1i C1+i D1i 2 (5 分)有一段演绎推理是这样的: “指数函数都是增函数;已知 y()x是指数函数; 则 y()x是增函数”的结论显然是错误的,这是因为( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误 3 (5 分)两个变量 y 与 x 的回归模
2、型中,分别选择了 4 个不同模型,它们对应的 R21 的值如下,其中拟合效果最好的模型是( ) A模型 1 对应的 R20.48 B模型 3 对应的 R20.15 C模型 2 对应的 R20.96 D模型 4 对应的 R20.30 4 (5 分)设随机变量 服从正态分布 N(3,4) ,若 P(2a3)P(a+2) ,则 a 的值为( ) A B C5 D3 5 (5 分)用数学归纳法证明“1+n(nN*) ”时,由假设 nk(k1, kN“)不等式成立,推证 nk+1 不等式成立时,不等式左边应增加的项数是( ) A2k 1 B2k1 C2k D2k+1 6 (5 分)曲线 y在点(1,1)
3、处的切线方程为( ) Ay2x+1 By2x1 Cy2x3 Dy2x2 7 (5 分)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A24 B48 C60 D72 第 2 页(共 18 页) 8 (5 分)定积分dx( ) A+1 B1 Ce D1 9 (5 分)已知函数 f(x)x2sinx+xcosx,则其导函数 f(x)的图象大致是( ) A B C D 10 (5 分)已知,则 P(AB)等于( ) A B C D 11 (5 分)某大学安排 5 名学生去 3 个公司参加社会实践活动,每个公司至少 1 名同学, 安排方法共有多少种( ) A60 B90
4、C120 D150 12 (5 分)设函数 f(x)是奇函数 f(x) (xR)的导函数,f(1)0,当 x0 时, xf(x)f(x)0,则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A (,1)(0,1) B (1,0)(1,+) C (,1)(1,0) D (0,1)(1,+) 二、填空题(共二、填空题(共 4 道小题,每小题道小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)观察下列等式照此规律,第 n 个等式为 11 2+3+49 3+4+5+6+725 4+5+6+7+8+9+1049 14 (5 分)某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中记录的产量 x(
5、吨)与相应的 第 3 页(共 18 页) 生产能耗 y(吨)的几组对应数据如表所示: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 a 若根据表中数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为 y0.7x+0.35, 则表中 a 的值为 15 (5 分) (+x) (1)6的展开式中 x 的系数是 16 (5 分)某种树苗成活的概率都为,现种植了 1000 棵该树苗,且每棵树苗成活与否 相互无影响,记未成活的棵数记为 X,则 X 的方差为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 70 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤) 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤) 17 (10 分)已知(3x
6、1)7a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7 (1)求 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值; (2)求 a1+a3+a5+a7的值 18 (12 分)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性 别有关,该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查,得到如下 22 列联表: 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 (1)请将上述列联表补充完整; (2)并判断是否有 99%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由; (3)已知在被调查的学
7、生中有 5 名来自甲班,其中 3 名喜欢游泳,现从这 5 名学生中随 机抽取 2 人,求恰好有 1 人喜欢游泳的概率 下面是临界值表仅供参考: P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式:K2的观测值:(其中 na+b+c+d) 19 (12 分)若函数 f(x)ax2+2xlnx 在 x1 处取得极值 第 4 页(共 18 页) (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间及极值 20 (12 分)某学生参加某高校的自主招生考试,须依次
8、参加 A、B、C、D、E 五项考试, 如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未 被淘汰时,一定继续参加后面的考试已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、 C、D 四项考试不合格的概率均为,参加第五项不合格的概率为, (1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X,求 X 的分布列和期望 21 (12 分)设 a0,b0,且求证: (1)a+b2; (2)a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 22 (12 分)已知函数 f(x)x2mlnx,h(x)x2x+a (1)当 a0 时,f(x)h(x)在(1,+)上恒成立,求实数 m 的
9、取值范围; (2)当 m2 时,若函数 k(x)f(x)h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点, 求实数 a 的取值范围 第 5 页(共 18 页) 2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 (下)学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 (下) 期末数学试卷(理科)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)复数的共轭复数 ( )
10、A1+i B1i C1+i D1i 【分析】根据所给的复数的表示形式,进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的 共轭复数,整理出最简形式,把虚部的符号变成相反的符号得到结果 【解答】解:1+i 1i 故选:D 【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念,本题解题的关键是整理出 复数的代数形式的最简形式,本题是一个基础题 2 (5 分)有一段演绎推理是这样的: “指数函数都是增函数;已知 y()x是指数函数; 则 y()x是增函数”的结论显然是错误的,这是因为( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误 【分析】根据题意,由指数函数的性质分析可得该演绎推理的大前提
11、指数函数都是增函 数是错误的,分析选项即可得答案 【解答】解:根据题意,指数函数 yax(a0 且 a1)是 R 上的增函数, 这个说法是错误的,要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性, 大前提是错误的, 得到的结论是错误的, 故选:A 【点评】本题考查演绎推理的基本方法,解题的关键是理解演绎推理的三段论原理,在 大前提和小前提中,若有一个说法是错误的,则得到的结论就是错误的 第 6 页(共 18 页) 3 (5 分)两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们对应的 R21 的值如下,其中拟合效果最好的模型是( ) A模型 1 对应的 R20.48 B模
12、型 3 对应的 R20.15 C模型 2 对应的 R20.96 D模型 4 对应的 R20.30 【分析】根据回归分析中相关指数 R2越接近于 1,拟合效果越好,即可得出答案 【解答】解:回归分析中,相关指数 R2越接近于 1,拟合效果越好; 越接近 0,拟合效果越差, 由模型 2 对应的 R2最大,其拟合效果最好 故选:C 【点评】本题考查了利用相关指数判断模型拟合效果的应用问题,是基础题 4 (5 分)设随机变量 服从正态分布 N(3,4) ,若 P(2a3)P(a+2) ,则 a 的值为( ) A B C5 D3 【分析】根据随机变量符合正态分布,又知正态曲线关于 x3 对称,得到两个概
13、率相等 的区间关于 x3 对称,得到关于 a 的方程,解方程即可 【解答】解:随机变量 服从正态分布 N(3,4) , P(2a3)P(a+2) , 2a3 与 a+2 关于 x3 对称, 2a3+a+26, 3a7, a, 故选:A 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题主要考查曲线关于 x 3 对称,考查关于直线对称的点的特点,本题是一个基础题,若出现是一个得分题目 5 (5 分)用数学归纳法证明“1+n(nN*) ”时,由假设 nk(k1, kN“)不等式成立,推证 nk+1 不等式成立时,不等式左边应增加的项数是( ) 第 7 页(共 18 页) A2k 1 B2k
14、1 C2k D2k+1 【分析】分别写出 nk 时的不等式,以及 nk+1 时,要证的不等式的左边与 nk 时, 不等式左边的关系,可得所求结论 【解答】解:nk(k1,kN“)不等式成立, 即有 1+k, 当 nk+1 时,即证 1+k+1, 由此可得左边与 nk 时的不等式左边增加了+, 共 2k+112k+12k项, 故选:C 【点评】本题考查数学归纳法的运用,注意由 nk 命题成立,推得 nk+1,命题也成立 时,必须运用假设,注意区别,考查推理能力,属于基础题 6 (5 分)曲线 y在点(1,1)处的切线方程为( ) Ay2x+1 By2x1 Cy2x3 Dy2x2 【分析】欲求在点
15、(1,1)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导 数求出在 x1 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题 解决 【解答】解:y, y, 所以 ky|x12,得切线的斜率为 2,所以 k2; 所以曲线 yf(x)在点(1,1)处的切线方程为: y+12(x+1) ,即 y2x+1 故选:A 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识,考查运算求解能力属于基础题 7 (5 分)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A24 B48 C60 D72 【分析】用 1、2、3、4、5
16、组成无重复数字的五位奇数,可以看作是填 5 个空,要求个 位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从 3 个奇数中任选 1 个填入,其它 4 个数在 4 第 8 页(共 18 页) 个位置上全排列即可 【解答】解:要组成无重复数字的五位奇数,则个位只能排 1,3,5 中的一个数,共有 3 种排法, 然后还剩 4 个数,剩余的 4 个数可以在十位到万位 4 个位置上全排列,共有24 种排 法 由分步乘法计数原理得,由 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数中奇数有 324 72 个 故选:D 【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题,此题是有条件限制排列,解答的关 键是做到合理的分布,是基
17、础题 8 (5 分)定积分dx( ) A+1 B1 Ce D1 【分析】利用微积分基本定理即可求得答案 【解答】解:dxlnxlneln11, 故选:B 【点评】本题考查微积分基本定理,属基础题,准确记忆该定理内容是解决问题的关键 9 (5 分)已知函数 f(x)x2sinx+xcosx,则其导函数 f(x)的图象大致是( ) A B C D 【分析】先求导,再根据函数的奇偶性排除 A,C,再根据函数值得变化趋势得到答案 【解答】解:f(x)x2sinx+xcosx, 第 9 页(共 18 页) f(x)x2cosx+cosx, f(x)(x)2cos(x)+cos(x)x2cosx+cosx
18、f(x) , 其导函数 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,故排除 A,B, 当 x+时,f(x)+,故排除 D, 故选:C 【点评】本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别,属于中档题 10 (5 分)已知,则 P(AB)等于( ) A B C D 【分析】根据条件概率公式得 P(AB)P(A)P(B|A) ,结合题中 的数据代入即可求得本题的答案 【解答】解:,且 P(AB)P(A)P(B|A) 故选:C 【点评】本题给出事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,在已知事件 A 发生的概率情 况下求事件 AB 发生的概率着重考查了条件概率的公式及其应用的知识,属于基础题 11 (5
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