高二理科数学寒假讲义第5讲 概率与统计 第8级.101次求婚有几次能成功教师版

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1、 1 通过上节课的学习，我们已经知道分布列实际是一种函数，确切的说是一种离散型的函数，所谓的分 布列的表格就是列表法表示函数.比如我们可以类似于连续函数做出离散型函数的函数图象.如上一讲 中的例 6，我们知道它的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 于是，我们可以根据分布列画出函数的图象. 考点 1：二点分布 满分晋级 第 5 讲 101 次求婚， 有几次能成功 概率与统计 4 级 离了散了变了 概率与统计概率与统计 5 5 级级 101101 次求婚，有几次求婚，有几 次能成功次能成功 概率与统计 6 级 概率与统计 考点归纳 543

2、21 0 P X 2 1.如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p 1 p 其中01p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布二点分布又称01分布，由于只 有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布 【举例】两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生 婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用二点分布来研究.老师可以以下边的例子讲 解两点分布，让学生从直观上理解二点分布 屋子里关着一只鸟，这只鸟要从窗户飞出去，屋子里有三扇窗户，只有一个是开着的，剩 下两个有玻璃，不过这只鸟的眼神不是特别好，看不清哪个是开着的于是，他会随机的 挑选

3、一个撞过去，那么成功率就是 1 3 .随机变量X为这只鸟从窗户飞出去的结果，成功定 义为1，失败定义为0，则X的分布列满足二点分布 2.二点分布的期望与方差： 若随机变量X服从参数为p的二点分布，则 101E Xppp ； 22 1011D Xpppppp 【教师备案】二点分布严格定义是01分布，不过实际上二点分布的模型可以应用于自然界所有“只有 两种情况”的情况.比如：我们高考考北大，我们可以把考上定义为1，没考上定义为0， 这样就可以写出一个二点分布的分布列我们可以以这个分布列来估计考上北大的可能 性，进而决定我们如何报考这里会有一个比较有意思的问题：在什么情况下我们会比 较纠结呢？直观的

4、看，假设我们考上的概率是40%，考不上的概率是60%，我们就会侧 重于不报考；如果考上的概率60%，考不上的概率是40%的话，我们就会考虑报考.但是 如果我们发现考上的概率是50%的话，就彻底纠结了这个时候其实我们最靠谱的办法 是掷硬币从数学的角度分析，这件事非常简单，我们知道二点分布的方差是 1pp，由均值不等式很容易得出当 1 2 p 的时候，方差最大，也就是结果的波动性最 大.此时我们是最没有办法估计结果的 【例1】 二点分布 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球， 用X表示“取到的白球个数”， 求随机变量X 的分布列及期望与方差 【解析】 由 题 意 知 42 0 645 P X

5、 ， 63 1 645 P X ， 故 随 机 变 量X的 分 布 列 为 2 0 5 P X ， 3 1 5 P X ，概率分布表如下： X 0 1 X 1 0 P 1 3 2 3 经典精讲 知识点睛 3 P 2 5 3 5 3 5 E X ， 236 5525 D X 考点 2：超几何分布 1.超几何分布 一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件()nN，这n件 中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C mn m MN M n N P Xm (0 1ml ， ， ，l为n和M中较小的一个 ) 我们称离散型随机变量X的这种形

6、式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的 超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率 ()P Xm，从而列出X的分布列 2.超几何分布的期望与方差： 若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ；1 1 nMMNn D X NNN 【举例】可以继续延续之前那个鸟的例子，假设现在屋子里有100扇窗户，其中有10扇窗户是打开的， 现在鸟不傻了，不过眼神依然不好.他现在决定尝试20次（否则可能撞的次数太多给撞死了） ， 并且撞过的窗户不再去撞了，记录结果，统计一下有多少次能出去.这就是超几何分布，从模 型角度

7、讲，超几何分布就是“无放回”的抽取.超几何分布的典型例子就是生物学上的标记重捕 法先标记种群内的一部分个体，放回后再次捕捉，统计含有标记的数量，来估计总数，这 实际是利用了超几何分布的期望的直观意义 【教师备案】老师在讲完超几何分布后，就可以让学生做例2，例2主要是让学生写超几何分布的分布 列，关键是让学生从题目上就可以看出是超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式 就可以很快写出分布列；然后老师就可以继续讲超几何分布的期望与方差，对于超几何 的期望和方差，老师可以只介绍期望公式，方差的公式太麻烦了，所以不建议给学生讲 解，而且期望的公式推导过程也不要求，只需让学生记住就行了讲完期望公式后，就

8、 可以让学生做例3，例3主要是套公式，学生会发现，对于超几何分布求期望用公式也非 常快 【例2】 求超几何分布的分布列 一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，从中任取 4 个球， 求其中红球个数的分布列 求其中白球个数的分布列 【追问】从红球的分布列和白球的分布列你能看出X和Y的取值之间有什么关系？ 【解析】 记X表示“取出 4 个球中红球的个数”，则X服从参数为10 4 4， ，的超几何分布 04 46 4 10 CC1 (0) C14 P X ， 13 46 4 10 CC8 (1) C21 P X ， 22 46 4 10 CC3 (2) C7 P X ， 31 46 4 1

9、0 CC4 (3) C35 P X ， 40 46 4 10 CC1 (4) C210 P X 经典精讲 知识点睛 4 X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 记Y表示“取出 4 个球中白球的个数”，则Y服从参数为10 6 4， ，的超几何分布 40 46 4 10 CC1 (0) C210 P Y ， 31 46 4 10 CC4 (1) C35 P Y ， 22 46 4 10 CC3 (2) C7 P Y ， 13 46 4 10 CC8 (3) C21 P Y ， 04 46 4 10 CC1 (4) C14 P Y ， Y的分布列

10、为： Y 0 1 2 3 4 P 1 210 4 35 3 7 8 21 1 14 【追问】4XY，故(0)(4)(1)(3)P XP YP XP Y， 提高班学案提高班学案 1 【铺1】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试 都从备选题中随机抽出5题进行测试，求他答对题数的期望 【解析】 设答对的试题数为，则服从参数为10 6 5， ，的超几何分布，因此 由公式知他答对题数的期望为 56 3 10 E 【例3】 求超几何分布的期望 一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个、黑球3个，现在从中随机摸出3个球 求摸到红球个数的概率分布列和数学期望； 求

11、摸到黑球个数的概率分布列和数学期望 【解析】 摸到红球的个数为离散型随机变量， 且服从8N ，5M ，3n 的超几何分布，可 能取值为0 1 23， ，于是有 3 53 3 8 C C C mm Pm 03 53 3 8 C C1 0 C56 P， 12 53 3 8 C C15 1 C56 P， 21 53 3 8 C C15 2 C28 P， 30 53 3 8 C C5 3 C28 P 所以摸到红球个数的分布列为 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 5 315 88 E 摸到黑球的个数为离散型随机变量，且服从8N ，3M ，3n 的超几何分布，可 能取值为0

12、1 23， ，于是有 3 35 3 8 C C C mm Pm 03 35 3 8 C C5 0 C28 P， 12 35 3 8 C C15 1 C28 P， 21 35 3 8 C C15 2 C56 P， 30 35 3 8 C C1 3 C56 P 所以摸到黑球个数的分布列为 5 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 3 39 88 E 【点评】 解题的关键是能够判断所给问题属于超几何分布模型 尖子班学案尖子班学案 1 【拓【拓2】 盒中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球个数的期望和方差 【解析】 设取出白球个数为，则服从参数为5 3

13、 2，的超几何分布，的可能取值为0 1 2， 因此， 32 1.2 5 E ， 222133 01.21 1.221.20.36 10510 D 目标班学案目标班学案 1 【拓【拓3】 某人可从一个内有2张100元，3张50元的袋子里任取2张，求他获得钱数的期望值 【解析】 方法一： 设他取得 100 元的张数为X，则X服从参数为5 2 2， ，的超几何分布 021120 232323 222 555 C CC CC C361 (0)(1)(2) C10C10C10 P XP XP X， 0 1 2X ，时他所获得的钱数分别为100 150 200， 因此他获得钱数的期望值为： 100(0)

14、150(1)200(2)140P XP XP X元 方法二： 设他取得100元的张数为X，则X服从参数为5 2 2， ，的超几何分布 由公式知 224 55 E X 因此他获得钱数的期望值为： 44 100502140 55 元 考点 3：二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率p相同在相同的条件下， 重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验 n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( )C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生

15、的概率为1qp ，那么在n次独立重复试验中，事 件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0,1, 2,kn 于是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作( ,)XB n p 知识点睛 6 3二项分布的期望与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，()D Xnpq(1)qp 【教师备案】学生没学过二项式定理，所以期望和方差的推导了解即可 【教师备案】设离散型随机变量X服从

16、参数为n和p的二项分布，由X的分布列 ()Ck kn k n P Xkp q ，0k ，1，2，n和数学期望的定义式得到 001112220 ()0 C1 C2 CCC nnnkkn knn nnnnn E Xp qp qp qkp qnp q 00111211(1) (1)110 1111 (CCCC) nnkknknn nnnn npp qp qpqpq 1 ()nnp pqnp ， 所以()E Xnp 22 0202 C(1)CC(1)C nnnn iin iiin iiin iiin i nnnn iiii E Xip qi ip qip qi ip qE X 222(2) (2) 2

17、 2 (1)C n iini n i n nppqE X 2 2(2) 2 0 (1)C n jjnj n j n npp qE X 2222 (1)()(1)(1) n n nppqE Xn npE Xn npnp ， 22222 ()(1)()D XE XE Xn npnpnpnpnpnpq 故D Xnpq 【举例】老师可以以二点分布知识点睛中的【举例】继续引申，从而让学生更直观的理解二项分布. 现在假设这只鸟比较傻，每次都记不住上次的结果，那么这只鸟就可能需要不停的重复 进行撞玻璃的操作，每次的成功率都是 1 3 .这种独立重复试验就可以用二项分布的模型来 研究从直观意义上来讲，二项分布

18、可以看做是多个二点分布重复出现的结果.从模型角 度讲，二项分布实际是“有放回”抽取的模型.对于二项分布的期望和方差，我们一样可以 有直观意义.二项分布的期望指的是平均成功次数，而方差是随着次数的增多而增加，相 比于二点分布，在同样的试验次数下，二项分布也是在 1 2 p 时方差最大，也就是结果最 不稳定 【教师备案】老师在讲完二项分布后，就可以让学生做例4，例4主要是让学生写二项分布的分布列， 关键是让学生从题目上就可以看出是二项分布，然后根据二项分布的概率公式就可以很 快写出二项分布列；然后老师就可以继续讲二项分布的期望与方差，讲完期望与方差公 式后，就可以让学生做例5，例5主要是套公式，学

19、生会发现，对于二项分布求期望和方 差用公式非常快，这时就不需要用上一讲讲的期望和方差最原始的公式了 提高班学案提高班学案 2 【铺1】 某一学校心理咨询中心服务电话接通率为 3 4 ，某班 3 名同学商定明天分别就同一问题询问 该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列 【解析】 3 个人各做一次试验，看成三次独立重复实验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数， 故符合二项分布由题意可知： 3 3 4 B ， 所以 3 3 31 ()C 44 kk k Pk ，0k ，1，2，3 的分布列为 0 1 2 3 经典精讲 7 P 1 64 9 64 27 64 27 64 【例4】

20、 求二项分布的分布列 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯 的事件是相互独立的，并且概率都是 1 3 设为这名学生在途中遇到的红灯次数，求的分 布列 【解析】 将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是 1 3 ，且每次试验结果相互独立， 故 1 6 3 B ，所以的分布为 6 6 12 ()C(0 126) 33 kk k Pkk ， ， ， ， 0 1 2 3 4 5 6 P 64 729 64 243 80 243 160 729 20 243 4 243 1 729 提高班学案提高班学案 3 【铺1】 设 B np，且 2.4E，

21、1.44D，试求np，的值 【解析】 因为 B np，所以 Enp， 1Dnpqnpp 由题意可得方程组 2.4 11.44 np npp ，解得 0.4 6. p n ， 【例5】 求二项分布的期望 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人 员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参 加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互 之间没有影响 任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； 任选 3 名下岗人员，记为 3 人中参加过培训的人数，求的分布列和期望 【解析】 任选

22、1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B， 由题设知，事件A与B相互独立，且( )0.6P A ，( )0.75P B 任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是： 1 ()( )( )0.4 0.250.1PP A BP AP B 所以该人参加过培训的概率是 21 110.10.9PP 因为每个人的选择是相互独立的，所以3 人中参加过培训的人数服从二项分布(3 0.9)B， 3 3 ()C0.90.1 kkk Pk ，0 1 2 3k ， ， 3 (0)0.10.001P； 2 (1)3 0.9 0.10.027P ； 2 (2)3 0.90.

23、10.243P ； 3 (3)0.90.729P； 故的分布列为 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 的期望是 3 0.92.7E 尖子班学案尖子班学案 2 【拓【拓2】 某厂一批产品的合格率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算： 抽出的10件产品中平均有多少件正品； 计算抽出的10件产品中正品数的方差和标准差 8 【解析】 用X表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽样，所以X服从二项分布100.98B， 利用二项分布的期望公式得到10 0.989.8E X 平均有9.8件正品； X的方差10 0.98 0.020.196D X ，标准差0.196

24、D X 目标班学案目标班学案 2 【拓【拓3】 一份数学模拟试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正 确的，每题选得正确答案得4分，不做选择或选错不得分，满分100分张强选对任一题的概 率为0.8，求他在这次数学测验中的成绩的期望 【解析】 张强在数学测验中选择了正确答案的选择题的个数服从二项分布25 0.8XB，其数学期 望有简便算法 设张强做对选择题的个数为X，则25 0.8XB， 所以25 0.820E Xnp 因为答对每题得4分，所以张强在这次数学测验中的成绩为4X，其成绩的期望值为 4442080EXE X 【点评】 本题中，利用二项分布的均值公式E X

25、np快速地求出所求的期望值，当n的值越大时，这 一公式更加显得威力无比，因此我们要熟练掌握这一公式，并能灵活地运用它，在运用时， 需要注意的是，只有随机变量X服从二项分布时，才能运用该公式来求均值 考点 4：综合运用 【教师备案】老师在讲完上一讲的离散型随机变量和本讲前边的典型分布以后，学生对离散型随机变 量都有了很明确的认识，所以这时候就可以让学生做一下下边的综合题，让学生再巩固 一下离散型随机变量的分布列、期望和方差 【例6】 综合运用 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 1 2 ，乙每次击中目标的概率为 2 3 记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望 E与方差 D；

26、求乙至多击中目标2次的概率； 求甲恰好比乙多击中目标2次的概率 【解析】 3 0 3 11 0C 28 P ； 3 1 3 13 1C 28 P ； 3 2 3 13 2C 28 P ； 3 3 3 11 3C 28 P 的概率分布如下表： 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 1331 01231.5 8888 E （或 1 31.5 2 E ） 113 3 224 D ； 乙至多击中目标2次的概率为 3 3 3 219 1 C 327 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件 经典精讲 9 1 B，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件

27、2 B，则 12 ABB， 1 B、 2 B为互斥事 件 12 311 21 8 278 924 P AP BP B 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为 1 24 尖子班学案尖子班学案 3 【拓【拓2】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起， 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，6） ，求： 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； 甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望 【解析】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数 设A表示“甲、 乙的演出序号至少有一个为奇数”， 则A表示“甲、 乙的演出序号均

28、为偶数”， 由古典概型的概率计算公式得 2 3 2 6 C14 ( )111 C55 P AP A 的所有可能值为0，1，2，3，4，且 2 6 51 0 C3 P， 2 6 44 1 C15 P， 2 6 31 2 C5 P， 2 6 22 3 C15 P， 2 6 11 4 C15 P 从而知有分布列 0 1 2 3 4 P 1 3 4 15 1 5 2 15 1 15 所以， 141214 01234 315515153 E 目标班学案目标班学案 3 【拓【拓3】 甲、 乙两名射击运动员， 甲射击一次命中10环的概率为0.5， 乙射击一次命中10环的概率为s， 若他们独立的射击两次，设甲

29、、乙命中10环的次数分别为X、Y，则 4 ( ) 3 E Y 为甲与乙 命中10环的差的绝对值求的期望 【解析】 由已知可得(2 0.5)(2)XBYBs，故 4 ( )2 3 E Ys，所以 2 3 s |XY，的取值可以是0 1 2， (0)()(0)(1)(2)PP XYP XYP XYP XY 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是 22 111 (0) 2336 P XY ， 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是 11 22 1 11 22 (1)CC 2 23 39 P XY ， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是 22 22 22 121 (2)CC 239 P

30、 XY ； 所以 12113 (0) 369936 P； (2)(| 2)(02)(20)(0) (2)(2) (0)PP XYP XYP XYP XP YP XP Y， 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是： 10 22 20 22 111 (2) (0)CC 2336 P XP Y ， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是： 22 02 22 121 (0) (2)CC 239 P XP Y ； 所以 115 (2) 36936 P，因此 1 (1)1(0)(2) 2 PPP 的期望是 157 ( )2 2369 E 【例7】 综合运用 袋中装着标有

31、数字 1，2，3，4 的小球各 3 个，从袋中任取 3 个小球，每个小球被取出的可能 性都相等 求取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； 用X表示取出的 3 个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和期望 【追问】 用Y表示取出的3个小球上所标的最小数字，Y的分布列与期望是否可以直接看出来？ 【解析】 “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为A， 则 3111 4333 3 12 CCCC27 ( ) C55 P A 由题意X所有可能的取值为1，2，3，4 3 12 11 (1) C220 P X ； 12213 33333 3 12 CCCCC19 (2) C220 P

32、X ； 21123 63633 3 12 CCCCC6416 (3) C22055 P X ； 21123 93933 3 12 CCCCC13634 (4) C22055 P X 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 220 19 220 16 55 34 55 随机变量X的期望为 1191634155 1234 220220555544 E X 【追问】(4)(1)(3)(2)(2)(3)(1)(4)P YP XP YP XP YP XP YP X， 故Y的概率分布与上述X的分布正好有关系，如直接由X的分布列得到： X 1 2 3 4 P 34 55 16 55 19 22

33、0 1 220 且()( )5E XE Y从而 15565 ( )5 4444 E Y 设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一胜队，若有一队胜 4 场，则比赛宣告结束，假定A、B 在每场比赛中获胜的概率都是 1 2 ，需要比赛场数的期望是_ 【解析】 5.8125 11 【思路】随机变量表示比赛场数，根据题意：“有一队胜 4 场比赛才宣告结束”，故的取值应是 4， 5，6，7，把一次比赛看作一次试验，故n场(4567)n ， ， ，比赛视为n次独立重复试验 4表示甲胜 4 场或乙胜 4 场，且两两互斥 所以 4 4 4 11 (4)2C 28 P 5表示甲队第 5 场胜且前 4 场中胜 3 场

34、，或乙队第 5 场胜且前 4 场中胜 3 场 所以 44 33 44 11111 (5)CC 22224 P 类似地， 55 33 55 11115 (6)CC 222216 P ， 66 33 66 11115 (7)CC 222216 P 比赛场数的分布列为： 4 5 6 7 P 1 8 1 4 5 16 5 16 所以 11557593 4567135.8125 84161641616 E 这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均进行 6 场比赛才能决出胜负 【错因分析】本题若审题不严，对比赛规则搞不清楚，弄不清随机变量的取值，则会出错 【演练 1】从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通

35、岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互 独立的，并且概率都是 2 5 ，设为途中遇到红灯的次数，则随机变量的方差为（ ） A 6 5 B 18 25 C 6 25 D 18 125 【解析】 B； 2 3 5 B ， 2318 3 5525 D 【演练 2】设有产品12件，其中有次品3件，正品9件，现从中随机抽取3件，求抽得次品件数的分 布列 【解析】 从12件产品中随机抽取3件，抽得次品件数是一个离散型的随机变量，它的取值可能是 0、 1、2、3依题意，随机变量（次品件数）服从超几何分布，所以，从12件产品中抽取3件， 其中有k件次品的概率为 3 39 3 12 CC ()(0 1 23)

36、 C kk Pkk ， ， 03 39 3 12 CC21 (0) C55 P ， 12 39 3 12 CC27 (1) C55 P ， 21 39 3 12 CC27 (2) C220 P ， 30 39 3 12 CC1 (3) C220 P ， 的分布列为 0 1 2 3 实战演练 12 P 21 55 27 55 27 220 1 220 【演练 3】设在15个同类型的零件中有两个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再 放回，若以表示取出次品的个数，求的期望 E和方差 D 【解析】 3 13 3 15 C22 0 C35 P， 12 213 3 15 C C12 1 C35

37、 P， 21 213 3 15 C C1 2 C35 P 故的分布列是： 0 1 2 P 22 35 12 35 1 35 221212 012 3535355 E ，（满 足 参 数 为1523， ，的 超 几 何 分 布 ， 故 232 ( ) 155 E ） 222 2222122152 012 535535535175 D . 【演练 4】有一批数量很大的商品次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为， 求 E， D 【解析】 因为商品数量相当大，抽200件商品可以看做200次独立重复试验，所以200 1%B， 因为 Enp， Dnpq，这里200n ，1%p ，99

38、%q ，所以， 200 1%2E， 200 1% 99%1.98D 【演练 5】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是 1 3 ， 2 5 ， 1 2 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率； 用表示乙投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望 E 【解析】 设A表示事件“3人各投篮1次，3人都没有投进”， 1 B表示“甲投进”， 2 B表示事件“乙 投进”， 3 B表示事件“丙投进”，则 123 1211 111 3525 P AP BP BP B 的可能取值为0 1 23， ， ， 则 3 327 0 5125 P ， 12 1 3 2354 1C 55125 P ； 21 2 3

39、2336 2C 55125 P ， 3 3 3 28 3C 5125 P 分布列为 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 的数学期望为 2754368 01231.2 125125125125 E （或 26 ( )3 55 E ） 13 排球单循环赛，南方球队比北方球队多 9 支，南方球队总得分是北方球队的 9 倍 求证：冠军是一支南方球队 （注：每场比赛获胜队得 1 分，负队得 0 分） 【解析】 设北方球队共有x支，则南方球队有9x 支， 所有球队总得分为 2 29 (29)(28) C(29)(4) 2 x xx xx 由题意，南方球队总得分为 9

40、(29)(4) 10 xx，北方球队总得分为 1 (29)(4) 10 xx， 南方球队内部比赛总得分 2 9 Cx，北方球队内部比赛总得分为 2 (1) C 2 x x x ， 由于北方球队总得分不少于北方球队内部比赛总得分，故 (29)(4)(1) 0 102 xxx x 解得11 2291122911 16 9 333 x 因为 1 (29)(4) 10 xx为整数，所以6x 或8x 当6x 时，所有球队总得分为 2 29 C(29)(4)210 x xx 南方球队内部比赛总得分 9 (29)(4)189 10 xx，北方球队总得分为21018921 南方球队内部比赛总得分 2 9 C1

41、05 x ，北方球队内部比赛总得分为 2 6 C15 北方胜南方得分21 156，北方球队最高得分5611，因为11 15165189，所以南方 球队中至少有一支得分超过 11 分故冠军在南方球队中 当8x 时，所有球队总得分为 2 29 C(29)(4)300 x xx ， 南方球队总得分为 9 (29)(4)270 10 xx，北方球队总得分为30027030 南方球队内部比赛总得分 2 9 C136 x ，北方球队内部比赛总得分 2 8 C28 北方胜南方得分30282，北方球队最高得分729，因为9 17153270，所以南方 球队中至少有一支得分超过 9 分，故冠军在南方球队中 综上所述，冠军是一支南方球队 大千世界