2018-2019学年吉林省长春市南关区八年级（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019 学年吉林省长春市南关区八年级（上）期末数学试卷一、选择题 1 （3 分）计算的结果是（ ） A3 B3 C3 D 2 （3 分）下列运算中，正确的是（ ） A3a2a22 B （2a2）22a4 Ca6a3a2 Da3a2a5 3 （3 分）已知一组数据，1，2，则无理数出现的频率是（ ） A20% B40% C60% D80% 4 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC8，AB10，CDAB 于 D，则 CD 的 长是（ ） A6 B C D 5（3 分） 如图， 已知ABCBAD， 添加下列条件还不能判定ABCBAD 的是 （ ）  AACBD BCA

2、BDBA CCD DBCAD 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别 交 AC、AB 于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交 于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D，若 CD5，AB18，则ABD 的面积是（ ） A15 B30 C45 D60 7 （3 分）如图，在ABC 中，BABC，ABC120，AB 的垂直平分线交 AC 于点 M， 第 2 页（共 20 页） 交 AB 于点 E，BC 的垂直平分线交 AC 于点 N，交 BC 于点 F，连接 BM，BN，若 AC 24，则BMN 的周长是（ ）

3、 A36 B24 C18 D16 8 （3 分）如图，分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 BD，FH 剪开， 拼成如图所示的四边形 KLMN，若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形，且四边 形 KLMN 的面积为 52，则正方形 EFGH 的面积是（ ） A24 B25 C26 D27 二、填空题二、填空题 9 （3 分）如果某数的一个平方根是5，那么这个数是   10 （3 分）若矩形的面积为 a2+ab，长为 a+b，则宽为   11 （3 分）等腰三角形两边长分别是 3 和 6，则该三角形的周长为   12 （3 分）阅读理解

4、：引入新数 i，新数 i 满足分配律，结合律，交换律，已知 i21，那 么（1+i） （1i）   13 （3 分）如图，某县对辖内的 50 所中小学上半年工作情况进行了专项督导考核，成绩分 别记为 A、B、C、D 四等，绘制了扇形统计图，则该县被考核的学校中取得 D 等成绩的 有   所 14 （3 分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的 第 3 页（共 20 页） 正方形的边长为 7cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为   cm2 三、解答题三、解答题 15计算：4a2b （ab2）3（2ab） 16计算： （ab）

5、（a2+ab+b2） 17分解因式：2m38mn2 18先化简，再求值： （a+b） （ab）（a2b）2，其中 a，b1 19如图，在 43 的正方形网格中，ABC 的顶点都在正方形网格的格点上请你在图和 图中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件： （1）以点 A 为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上； （2）与ABC 全等，且不与ABC 重合 20 两位同学将一个二次三项式分解因式， 一位同学因看错了一次项系数而分解成 3 （x1） （x9） ，另一位同学因看错了常数项而分解成 3（x2） （x4） （1）求原来的二次三项式； （2）将（1）中的二次三项式分解因式 21如图， 九

6、章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问 折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10 尺） ，一阵风将竹子折断，其竹梢 恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，求折断处离地面的高度 第 4 页（共 20 页） 22如图，ABADACAE，BADCAE （1）求证：ABCADE； （2）若 AC9，AD12，BE15，请你判断ABE 的形状并说明理由 23为积极创建全国文明城市，我市对某路口的行人交通违章情况进行了 20 天的调查，将 所得的数据绘制成如下统计图（图 2 不完整） ： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）第 13 天，这一路口的行人交通违章次数是 &

7、nbsp; ；这 20 天中，行人交通违章 7 次的有   天 （2） 这 20 天中， 行人交通违章 6 次的有   天； 请把图 2 中的频数直方图补充完整  （3）请你根据图 2 绘制一个扇形统计图，并求行人违章 9 次的天数在扇形统计图中所对 的圆心角度数 24在等腰三角形 ABC 中， 第 5 页（共 20 页） （1）若A110，则B   度； （2）若A40，则B   度 通过上述解答，发现A 的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同如果在等腰三 角形 ABC 中，设A，求B 的度数（用含 的式子表示） 请你根据B 的度数的 个

8、数探索 的取值范围 25感知：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，BCm，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BD，过点 D 作 DECB 交 CB 的延长线于点 E，连接 CD （1）求证：ACBBED； （2）BCD 的面积为   （用含 m 的式子表示） 拓展：如图，在一般的 RtABC，ACB90，BCm，将边 AB 绕点 B 顺时针旋 转 90得到线段 BD，连接 CD，用含 m 的式子表示BCD 的面积，并说明理由 应用：如图，在等腰ABC 中，ABAC，BC8，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得 到线段 BD，连接 CD，则BCD 的面积为

9、   ；若 BCm，则BCD 的面积为   （用含 m 的式子表示） 第 6 页（共 20 页） 2018-2019 学年吉林省长春市南关区八年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市南关区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）计算的结果是（ ） A3 B3 C3 D 【分析】原式利用立方根定义计算即可得到结果 【解答】解：3， 故选：B 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键 2 （3 分）下列运算中，正确的是（ ） A3a2a22 B （2a2）22a4 Ca6a3a2 Da3a2a5 【分

10、析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案 【解答】解：A、3a2a22a2，故此选项错误； B、 （2a2）24a4，故此选项错误； C、a6a3a3，故此选项错误； D、a3a2a5，正确 故选：D 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法 则是解题关键 3 （3 分）已知一组数据，1，2，则无理数出现的频率是（ ） A20% B40% C60% D80% 【分析】由开方开不尽的数、无限不循环小数是无理数确定无理数的个数，然后用无理 数的个数除以总个数即可求得无理数出现的频率 【解答】解：在，1，2中， ，2都是无理数，共 2

11、 个， 无理数出现的频率为40% 故选：B 第 7 页（共 20 页） 【点评】本题主要考查了无理数的定义及频率、频数灵活运用的综合考查：频率、频数 的关系：频率 4 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC8，AB10，CDAB 于 D，则 CD 的 长是（ ） A6 B C D 【分析】根据勾股定理求出 BC，根据三角形的面积公式计算 【解答】解：ACB90，AC8，AB10， BC6， ABC 的面积ABCDACBC，即10CD86， 解得，CD， 故选：C 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长 为 c，那么 a2+b2c2 5（3 分）

12、 如图， 已知ABCBAD， 添加下列条件还不能判定ABCBAD 的是 （ ）  AACBD BCABDBA CCD DBCAD 【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案 【解答】解：由题意，得ABCBAD，ABBA， A、ABCBAD，ABBA，ACBD， （SSA）三角形不全等，故 A 错误； B、在ABC 与BAD 中，ABCBAD（ASA） ，故 B 正确； 第 8 页（共 20 页） C、在ABC 与BAD 中，ABCBAD（AAS） ，故 C 正确； D、在ABC 与BAD 中，ABCBAD（SAS） ，故 D 正确； 故选：A 【点评】本题考查了全

13、等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、 ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时， 必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别 交 AC、AB 于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交 于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D，若 CD5，AB18，则ABD 的面积是（ ） A15 B30 C45 D60 【分析】根据角平分线的性质得到 DEDC5，根据三角形的面积公式计算即可 【

14、解答】解：作 DEAB 于 E， 由基本尺规作图可知，AD 是ABC 的角平分线， C90，DEAB， DEDC5， ABD 的面积ABDE45， 故选：C 【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边 的距离相等是解题的关键 7 （3 分）如图，在ABC 中，BABC，ABC120，AB 的垂直平分线交 AC 于点 M， 第 9 页（共 20 页） 交 AB 于点 E，BC 的垂直平分线交 AC 于点 N，交 BC 于点 F，连接 BM，BN，若 AC 24，则BMN 的周长是（ ） A36 B24 C18 D16 【分析】 由直线 EM 为线段 AB 的垂直

15、平分线， 根据线段垂直平分线定理： 可得 AMBM， 同理可得 BNNC，然后表示出三角形 BMN 的三边之和，等量代换可得其周长等于 AC 的长； 【解答】解：直线 ME 为线段 AB 的垂直平分线， MAMB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ， 又直线 NF 为线段 BC 的垂直平分线， NBNC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ， BMN 的周长BM+MN+BNAM+MN+NCAC24（等量代换） ， 故选：B 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线定理，熟练掌握线段垂直平分线定理是关键， 是一道基础题目 8 （3 分）如图，分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形

16、纸片 EFGH 的对角线 BD，FH 剪开， 拼成如图所示的四边形 KLMN，若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形，且四边 形 KLMN 的面积为 52，则正方形 EFGH 的面积是（ ） A24 B25 C26 D27 【分析】如图，设 PMPLNRKRa，正方形 ORQP 的边长为 b，构建方程即可解 决问题； 第 10 页（共 20 页） 【解答】解：如图，设 PMPLNRKRa，正方形 ORQP 的边长为 b 由题意：a2+b2+（a+b） （ab）52， a226， 正方形 EFGH 的面积a226， 故选：C 【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题

17、的关键是学会 利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题 二、填空题二、填空题 9 （3 分）如果某数的一个平方根是5，那么这个数是 25 【分析】利用平方根定义即可求出这个数 【解答】解：如果某数的一个平方根是5，那么这个数是 25， 故答案为：25 【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键 10 （3 分）若矩形的面积为 a2+ab，长为 a+b，则宽为 a 【分析】根据多项式除以多项式的运算法则计算即可 【解答】解：矩形的宽（a2+ab）（a+b） a， 故答案为：a 【点评】本题考查的是整式的除法，掌握多项式除以多项式的运算法则、因式分解是解 题的关键

18、11 （3 分）等腰三角形两边长分别是 3 和 6，则该三角形的周长为 15 【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是 3 和 6， 所以其另一边只能是 6， 第 11 页（共 20 页） 故其周长为 6+6+315 故答案为 15 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些 简单的计算、证明问题 12 （3 分）阅读理解：引入新数 i，新数 i 满足分配律，结合律，交换律，已知 i21，那 么（1+i） （1i） 2 【分析】根据定义即可求出答案 【解答】解：由题

19、意可知：原式1i21（1）2 故答案为：2 【点评】本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义，本题属于基础题型 13 （3 分）如图，某县对辖内的 50 所中小学上半年工作情况进行了专项督导考核，成绩分 别记为 A、B、C、D 四等，绘制了扇形统计图，则该县被考核的学校中取得 D 等成绩的 有 2 所 【分析】用总学校数D 等的百分比即可 【解答】解：50（125%65%6%）2（所） ； 故答案为：2 【点评】本题主要考查了扇形统计图，解题的关键是从扇形统计图得出正确的数据 14 （3 分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的 正方形的边长为 7cm，

20、则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 49 cm2 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等 于最大正方形的面积 【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 第 12 页（共 20 页） 故正方形 A，B，C，D 的面积之和49cm2 故答案为：49cm2 【点评】本题考查勾股定理，熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键 三、解答题三、解答题 15计算：4a2b （ab2）3（2ab） 【分析】先计算乘方，再计算乘法，最后计算除法即可得 【解答】解：原式4a2b （a3b6）（2ab） 4a5b7（2ab） 2a4b6 【点评】本题

21、主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算 法则 16计算： （ab） （a2+ab+b2） 【分析】根据多项式乘以多项式的法则和单项式乘单项式的法则进行计算即可 【解答】解：原式a3+a2b+ab2a2bab2b3 a3b3 【点评】本题主要考查对多项式乘以多项式的法则和单项式乘单项式的法则得理解和掌 握，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键 17分解因式：2m38mn2 【分析】直接提取公因式 2m，再利用平方差公式分解因式即可 【解答】解：2m38mn22m（m24n2） 2m（m2n） （m+2n） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用

22、公式是解题关键  18先化简，再求值： （a+b） （ab）（a2b）2，其中 a，b1 【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式a2b2a2+4ab4b24ab5b2， 当 a，b1 时，原式257 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19如图，在 43 的正方形网格中，ABC 的顶点都在正方形网格的格点上请你在图和 第 13 页（共 20 页） 图中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件： （1）以点 A 为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上； （2

23、）与ABC 全等，且不与ABC 重合 【分析】可以 AB 为对称轴，作出原三角形的轴对称图形；可以 AB 的中点为对称中心， 作原图形的中心对称图形 【解答】解：如图所示，ABD 和ABE 即为所求 【点评】本题主要考查作图应用与设计作图，正确结合勾股定理得出相等线段与轴对 称和中心对称的性质是解题关键 20 两位同学将一个二次三项式分解因式， 一位同学因看错了一次项系数而分解成 3 （x1） （x9） ，另一位同学因看错了常数项而分解成 3（x2） （x4） （1）求原来的二次三项式； （2）将（1）中的二次三项式分解因式 【分析】 （1）根据两位同学的结果确定出所求多项式即可； （2）原式

24、提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解： （1）3（x1） （x9）3x230x+27，3（x2） （x4）3x218x+24， 根据题意得：原来的多项式为 3x218x+27； （2）原式3（x26x+9）3（x3）2 【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键  21如图， 九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问 折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10 尺） ，一阵风将竹子折断，其竹梢 恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，求折断处离地面的高度 第 14 页（共 20 页） 【分析】竹子折断后刚好构

25、成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺，利用勾股定理解题即可 【解答】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10x）尺， 根据勾股定理得：x2+62（10x）2 解得：x3.2 答：折断处离地面的高度是 3.2 尺 【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从 而运用勾股定理解题 22如图，ABADACAE，BADCAE （1）求证：ABCADE； （2）若 AC9，AD12，BE15，请你判断ABE 的形状并说明理由 【分析】 （1）根据 SAS 即可证明ABCADE； （2）根据勾股定理的逆定理即可解决问题； 【解答】 （1）

26、证明：BADCAE， BACDAE， 在ABC 和ADE 中， ， ABCADE（SAS） 第 15 页（共 20 页） （2）解：结论ABE 是直角三角形 理由：ABAD12，AEAC9，BE15， AB2+AE2122+92225，BE2225， AB2+AE2BE2， BAE90， BAE 是直角三角形 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是 熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 23为积极创建全国文明城市，我市对某路口的行人交通违章情况进行了 20 天的调查，将 所得的数据绘制成如下统计图（图 2 不完整） ： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）

27、第 13 天，这一路口的行人交通违章次数是 8 ；这 20 天中，行人交通违章 7 次 的有 6 天 （2）这 20 天中，行人交通违章 6 次的有 5 天；请把图 2 中的频数直方图补充完整  （3）请你根据图 2 绘制一个扇形统计图，并求行人违章 9 次的天数在扇形统计图中所对 的圆心角度数 【分析】 （1）根据折线统计图即可得到结论； （2）根据这 20 天中，求得行人交通违章 6 次的有 5 天，补全直方图即可； （3）根据已知条件中的数据绘制扇形统计图即可 【解答】解： （1）由折线图知，第 13 天，这一路口的行人交通违章次数是 8，这 20 天中， 行人交通违章 7 次

28、的有 6 天， 故答案为：8，6； 第 16 页（共 20 页） （2）这 20 天中，行人交通违章 6 次的有 5 天， 补全直方图如图 2 所示： 故答案为：5； （3）扇形统计图如图 3 所示， 违章 9 次的天数在扇形统计图中所对的圆心角度数为：36015%54 【点评】本题考查了频数直方图，扇形统计图，正确的绘出扇形统计图是解题的关键 24在等腰三角形 ABC 中， （1）若A110，则B 35 度； （2）若A40，则B 70 或 100 或 40 度 通过上述解答，发现A 的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同如果在等腰三 角形 ABC 中，设A，求B 的度数（用含 的式子表

29、示） 请你根据B 的度数的 个数探索 的取值范围 【分析】（1） 根据三角形内角和定理， 因为A11090， 即可得到BC35；  （2）根据三角形内角和定理，因为A4090，所以推出AB 或AC 或BC，进而得到B 的度数 分两种情况：90180；090，结合三角形内角和定理求解即可  【解答】解： （1）A11090， 第 17 页（共 20 页） A 为顶角， BC35； 故答案为：35； （2）若A 为顶角，则B（180A）70； 若A 为底角，B 为顶角，则B180240100； 若A 为底角，B 为底角，则B40； 故B70 或 100 或 40； 分两种情况：

30、 当 90180时，A 只能为顶角， B 的度数只有一个； 当 090时， 若A 为顶角，则B（180）90； 若A 为底角，B 为顶角，则B（1802）； 若A 为底角，B 为底角，则B 当 901802 且 1802 且 90， 即 60时，B 有三个不同的度数 当 090且 60时，B 有三个不同的度数 综上所述， 当 90180时，B 的度数只有一个； 当 090且 60时， B 有三个不同的度数 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关 键 25感知：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，BCm，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到

31、线段 BD，过点 D 作 DECB 交 CB 的延长线于点 E，连接 CD （1）求证：ACBBED； （2）BCD 的面积为 m2 （用含 m 的式子表示） 拓展：如图，在一般的 RtABC，ACB90，BCm，将边 AB 绕点 B 顺时针旋 转 90得到线段 BD，连接 CD，用含 m 的式子表示BCD 的面积，并说明理由 第 18 页（共 20 页） 应用：如图，在等腰ABC 中，ABAC，BC8，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得 到线段 BD，连接 CD，则BCD 的面积为 16 ；若 BCm，则BCD 的面积为 m2 （用含 m 的式子表示） 【分析】感知： （1）由题意可得

32、 CACB，AABC45，由旋转的性质可得 BA BD，ABD90，可得DBEABC，即可证ACBBED； （2）由ACBBED，可得 BCDEm，根据三角形面积求法可求BCD 的面积； 拓展：作 DGCB 交 CB 的延长线于 G，可证ACBBGD，可得 BCDGm，根据 三角形面积求法可求BCD 的面积； 应用：过点 A 作 ANBC 于 N，过点 D 作 DMBC 的延长线于点 M，由等腰三角形的性 质可以得出 BNBC，由条件可以得出AFBBED 就可以得出 BNDM，由三角 形的面积公式就可以得出结论 【解答】感知：证明： （1）ABC 是等腰直角三角形， CACBm，AABC45，

33、 由旋转的性质可知，BABD，ABD90， DBE45， 在ACB 和DEB 中， ， ACBBED（AAS） （2）ACBBED DEBCm SBCDBCEDm2， 故答案为：m2， 拓展：作 DGCB 交 CB 的延长线于 G， 第 19 页（共 20 页） ABD90， ABC+DBG90，又ABC+A90， ADBG， 在ACB 和BGD 中， ， ACBBGD（AAS） ， BCDGm SBCDBCDGm2， 应用：作 ANBC 于 N，DMBC 交 CB 的延长线于 M， ANBM90，BNBC4 NAB+ABN90 ABD90， ABN+DBM90， NABMBD 线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的， ABBD 在AFB 和BED 中， ， 第 20 页（共 20 页） ANBBMD（AAS） ， BNDMBC4 SBCDBCDM8416， 若 BCm，则 BNDMBCm， SBCDBCDMmmm2 故答案为：16，m2 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积计 算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，三角形的三线合一是解题的关键