高三理科数学暑期讲义 第2讲.函数概念与基本初等函数 教师版

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1、 15 本讲分三小节，分别为函数的概念、基本初等函数、函数的值域，建议用时4.5课时重点应当放 在对函数三要素的基本求法与对基本初等函数的图象与性质的梳理上对于函数的图象与性质，掌握 了基本初等函数图象的作法，就把握了基本初等函数的性质，因此应以引导学生理解、记忆、应用基 本初等函数的图象为主要教学目标对于一次分式函数和对勾函数，由于这两类函数常见而易用，因 此对其图象与性质也需要达到相当的要求另外，我们在处理较为复杂的初等函数问题（其中）总是 设法将其转化为基本初等函数问题，因此对这种转化能力的培养也是本讲的重点与难点 第一小节为函数的概念，共 3 道例题其中 例 1 主要讲解函数的定义域；

2、 例 2 主要讲解函数的对应法则； 例 3 主要讲解函数的解析式； 此外还安排了关于映射的一道拓展题，该题难度较大，教师可以根据情况选用 第二小节为基本初等函数，共 7 道例题其中 例 4 主要讲解幂与对数的运算； 例 5 主要讲解指、对、幂函数的性质； 例 6 主要讲解指数函数与对数函数的图象； 例 7 主要讲解二次函数的性质； 第三小节为函数的值域，共 2 道例题其中 例 8 主要讲解根式函数的值域问题； 例 9 主要讲解二次函数、对勾函数、分式函数的值域问题 知识结构图 第 2 讲 函数概念与 基本初等函数 16 一、函数的概念 1、映射 对于非空集合A和非空集合B，如果对于集合A中的任

3、意一个元素在B中都有惟一元素按对应法 则f与之对应，那么所有的对应关系称为从A到B的一个映射，记为“:fAB”对每个对应关系而 言，集合A中的元素称为原象，集合B中的元素称为象 需要注意： 对于映射:fAB而言，集合A中的每个元素均是某个对应关系下的原象，而集合B中并非每个 元素均是某个对应关系下的象 2、函数的三要素 如果映射:fAB中，A、B均为数集，那么就称这个映射为函数此时所有原象组成的集合称 为定义域（即A） ，所有象组成的集合称为值域（即 |f xxA） 形成函数时所涉及到的定义域、 对应法则、值域称为函数的三要素 【备注】可以将映射看为函数概念的拓展，也可以将函数看作特殊的映射

4、由于定义域与对应法则决定着值域，因此定义域和对应法则也称为函数的两个要素 二、函数的表示法 1、列表法 当函数的定义域和值域均为离散的有限数集，且对应法则不便于解析表达时，我们采用可以用列 表法表示函数有时我们也借助列表法画函数的草图 2、图象法 将每个对应关系的原象与象看作平面直角坐标系下的点的横坐标与纵坐标，就可以用图象来表示 函数函数的图象具有很强的直观性，是研究函数的重要工具 3、解析式法 用式子表示每个对应关系中的原象与象的数值之间的联系，这种方法称为解析式法利用函数的 知识梳理 17 解析式可以简明、全面地概括对应关系，同时可以方便的求函数值 【备注】分段函数的表示法要注意各取值区

5、间应该无交点； 注意复合函数的书写方法 三、基本初等函数 1、指数函数 幂的运算性质 pqpq aaa， q pp q aa ， p pp a bab，其中,0ab ，,pqR 【备注】注意幂的运算次序， 2 2 n 是指 2 2 n 而不是 2 2 n 指数函数： 定义：函数(0 x ya a，且1)a 称指数函数； 指数函数的性质： 定义域：R；值域：(0)，；过定点：(01)，；1a 时，增函数；01a时，减函数 2、对数函数 对数的概念 定义：如果 b aN(0a ，且1)a ，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb，其中a 称对数的底，N称真数 常用对数， 10 logN记作l

6、gN； 自然对数： e log N记作ln N，其中e为自然常数，e2.71828 基本性质 正数才有对数；1的对数是0；底数的对数是1 运算性质：如果0100aaMN，则 log ()loglog aaa MNMN；logloglog aaa M MN N ；loglog() n aa MnM nR 换底公式： log log(01) log m a m N Nmm a ， 【备注】可配合下面的题目复习对数的运算性质 已知 2 3 4 0 9 aa，则 2 3 log a 【解析】 3； 法一： 3 3 3 22 2 2 33 442 993 aaa ，所以 2 3 log a 3 2 3

7、2 log3 3 ； 法二： 22 33 2222 3333 442 logloglog2log3 993 aaaa 此题有多种解法，此处只给出其中两种解答 对数函数 定义：函数log(0 a yx a，且1)a 称对数函数， 对数函数的性质： 定义域：(0)，；值域：R；过定点：(1 0)，；1a 时，增函数；01a时，减函数 18 对数函数logayx与指数函数(0 x ya a，且1)a 互为反函数 3、幂函数 幂函数的定义 形如yx（R）的函数需要掌握 1 1, 2, 3,1 2 时，幂函数的图象与性质； 幂函数的性质 所有的幂函数在(0)，都有定义，且都过点(1 1)，； 如果0，则

8、幂函数过原点，且在0)，上单调递增； 如果0，则幂函数在(0)，上单调递减 四、常见初等函数 1、二次函数 形如 2 f xaxbxc（0a ）的函数称为二次函数 【备注】对于二次函数，我们需要掌握二次函数图象的作法 画二次函数图象时需要注意以下要素： 开口，由a决定； 对称轴，由 2 b x a 决定； 判别式，由 2 4bac 决定 另外还需要注意一些特殊点，如与y轴的交点0, c，与x轴的交点，等等 2、分式函数 形如 g x f x h x 的函数称为分式函数， 其中 g x、 h x均为多项式函数 若函数 g x与 h x均 为一次函数，则称 f x为一次分式函数；若函数 g x与

9、h x中至少有一个二次函数，而另一个 为一次函数或二次函数，则称 f x为二次分式函数 【备注】对于分式函数，我们需要掌握 一次分式函数图象的作法（画渐近线后判断位置） ； 求定义域为R的二次分式函数值域的判别式法； 定义域受限的二次函数值域的求法 3、对勾函数 形如 b f xax x （,0ab ）的函数称为对勾函数 （2011 北京理）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 c xA x f x c xA A ， ， （Ac，为常数） ，已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第A件 真题再现 19 产品用时 15 分钟，那么c和A的值分别是（ ） A75，

10、25 B75，16 C60，25 D60，16 【解析】 D； 当xA时( )f x单减，xA时( )f x恒为常数，故30 4 c ，15 c A ，解得60c ，16A 1、 下列函数中，与函数yx相同的函数是（ ） A 2 x y x B 2 yx Clg10xy D 2 log 2 x 2、 若函数 yf x的定义域是0, 2，则函数 2 1 fx g x x 的定义域是（ ） A0, 1 B0, 1 C0, 11, 4 D0, 1 3、 若函数 2 4 43 x f x mxmx 的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ） A, B 3 0 , 4 C 3 , 4 D 3 0 , 4

11、4、 若实数,xy满足2lg2lglgxyxy，则 y x 的值为（ ） A4 B1或 1 4 C1或4 D 1 4 5、 “lglgxy”是“xy”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6、 若1xy，01ab，则下列各式中一定成立的是（ ） A ab xy B ab xy C xy ab D xy ab 7、 已知函数 yfx的图象与函数 2 1 log 1 y x 的图象关于yx对称，则 1f的值为 （ ） A1 B1 C 1 2 D 1 2 8、 若函数 log1 a f xx（0a ，1a ）的定义域和值域都是0, 1，则a的值为（ ） A

12、 1 3 B2 C 2 2 D2 9、 已知函数 2f xxk，且存在a、b（ab）使 f x在,ab上的值域为,ab， 则k的取值范围是（ ） A 9 ,2 4 B 9 ,2 4 C2, 0 D 9 , 0 4 10、 设a、b分别为方程 2 log30xx和230 x x的根，则ab的值为（ ） A1 B2 C3 D4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 小题热身 20 C B D D A D D D B C 考点：函数的定义域 【例1】 函数 1 lg 21 32 yx x 的定义域为 ； 函数 2 21 log1 x f x x 的定义域为_ ； 设1f x的定义域为2 , 3，

13、则 1 2f x 的定义域为_ 【解析】 2 , 3 ； 3, ； 1 , 5 考点：函数的对应法则 【例2】 设函数 2 log10 0 a xx f x xaxbx ， ， ，若 32f，20f ，则ab ； 设函数 2 460 60 xxx f x xx ， ， ，则不等式 1f xf的解集是 ； 已知函数 11f xxx如果 91ff af，则实数a等于 【解析】 2； 3, 13,； 1 4 考点：函数的解析式 【例3】 若 1 2 x fx x ，则 f x ； 已知 2 2 11 11 xx f xx ，则 f x ； 已知 f x为二次函数，且 131ff， 22f，则函数 f

14、 x ； 已知定义在R上的函数满足 223f xfxx，则函数 f x _ 【解析】 2 21 3 xx f x x ，1,x 2 2 1 x f x x ，1x 2 42f xxx 34f xx； 【备注】求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法等 用配凑法或换元法时，要注意函数的定义域； 待定系数法在已知函数的形式时用 2.1 函数的概念与定义域 21 【拓1】 已知定义在R上的函数满足 2 23f xfx x ，则函数 f x 【解析】 4 f xx x ； 考点：映射 【拓2】 （2010 海淀二模文 14） 给定集合1, 2, 3, n An，n N若f是 nn

15、 AA的映射，且满足： 任取, n ijA，若ij，则( )( )f if j； 任取 n mA，若2m，则有 (1),(2),( )mfff m 则称映射f为 nn AA的一个“优映射” 例如：用表 1 表示的映射f： 33 AA是一个“优映射” 表 1 表 2 i 1 2 3 i 1 2 3 4 ( )f i 2 3 1 ( )f i 3 已知f： 44 AA是一个“优映射”，请把表 2 补充完整（只需填出一个满足条件的映射） ； 若f： 20102010 AA是“优映射”，且(1004)1f，则(1000)(1007)ff的最大值为_ 【解析】 i 1 2 3 4 或 i 1 2 3 4

16、 ( )f i 2 3 1 4 ( )f i 2 3 4 1 2011 考点：幂运算与对数运算 【例4】 设25 ab m，且 11 2 ab ，则m ； 2 3 lg5 lg8000lg2 11 lg600lg0.036lg0.1 22 ； 3948 log 2log 2log 3log 3 【解析】 10； 本小题考查幂与对数形式的互换 3 4 ； 本小题考查对数运算的性质 5 4 ； 本小题考查换底公式 2.2 基本初等函数 22 【拓3】 已知,0ab ， 91216 logloglogabab，则 b a ； 已知 2 34 log 3233 x fx，则 8 2482ffff 【解

17、析】 15 2 2008； 考点：指、对、幂函数的性质 【例5】 下列四个数中最大的是（ ） A 2 ln2 Bln ln2 Cln2 Dln2 若 2 |228 x Ax Z， 2 | log1BxxR，则AB R 的元素个数为（ ） A0 B1 C2 D3 当0,x时，幂函数 253 1 m ymmx 为减函数，则实数m的值为（ ） A2m B1m C1m 或2m D 15 2 m 若 3 7 2 7 a ， 2 7 3 7 b ， 2 7 2 7 c ，则,abc按照从小到大的顺序排列为（ ） A abc Bacb Ccab Dbac 若log 3log 30 ab ，则（ ） A01a

18、b B1ab C01ba D1ba 若 1 0 2 ab，则（ ） A22 aba B22 abb C 2 log1ab D 2 log2ab 【解析】 D； C； A； B； B； D； 考点：指数函数、对数函数的图象 【例6】 若 1 , 1 2 x ， 1 22 a x ， 1 2 logbx， 2 logcx，则（ ） Aabc Bcab Cacb Dbca 下列 4 个命题 1 11 :0 23 xx px ， 2: 0 1px ， ， 11 23 loglogxx 31 2 1 :0log 2 x pxx ， 41 3 11 :0log 32 x pxx ， 其中的真命题是（ ）

19、13 pp， B 14 pp， C 23 pp， D 24 pp， 设,a b c均为正数，且 1 2 2log a a， 1 2 1 log 2 b b ， 2 1 log 2 c c 则（ ） Aabc Bcba Ccab Dbac 23 【解析】 C； D； A 考点：二次函数的性质 【例7】 若函数 2f xxabxa（常数abR，）是偶函数，且其值域为, 4，则该 函数的解析式 f x ； 二次函数 2 1f xxax在区间0, 3上有最小值2，则实数a ； 若对任意0, 1a，函数 2 2f xaxxa恒正，则x的取值范围是 ； 已知函数 2 25f xxax在区间, 2上是减函数

20、，且对任意的 12 ,1,1xxa， 总有 12 4f xf x，则实数a的取值范围是_ 【解析】 2 24f xx ； 2； 1, ； 23a； 【例8】 求下列函数的值域： 2 1 2f xxx； 21f xxx； 21f xxx 【解析】 0 ,2 ； 17 8 ，； 2, 【拓4】 2 f xaxbxc（0a ）的定义域为D，点 ,sf t，,stD构成正方形，则实数a 的值为 _ 【解析】 4 【例9】 已知二次函数 f x满足11fxfx， 且 00f， 11f， f x在区间,mn 上的值域是,mn，则m _，n _ _； 当3, 5x时，函数 21 1 x y x 的值域为 ；

21、 若函数 yf x的值域是 1 , 3 2 ，则函数 1 F xf x f x 的值域是 ； 已知 5 2 x，则 2 24 45 x f x xx 的值域是 【解析】 0 1，； 53 , 42 ； 2.2 函数的值域 24 10 2 , 3 ； 0, 1； 【拓5】 函数 2 44 1 xx f x x 的值域是_ _； 函数 2 2 1 x f x xx 的值域是 ； 函数 2 2 41 x f x xx ， 1 , 1 3 x 的值域是_ _ 【解析】 , 04,； 4 0, 3 11 , 23 ； 一、选择题 1、 已知函数 3 log0 ( ) 2x xx f x x 0 ， ，

22、则 1 9 ff （ ） A4 B 1 4 C4 D 1 4 【解析】 B； 2、 55 2log 10log 0.25（ ） A0 B1 C2 D4 【解析】 C； 3、 函数 log1 x a f xax在0, 1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ ） A 1 4 B 1 2 C2 D4 【解析】 B 4、 设 1 2 3 2e,2 log1 ,2 x x f x xx ，则不等式 2f x 的解集为（ ） A 1, 210 , B 10 , C1, 23, D1, 2 【解析】 A； 5、 设 1 3 log 2a ， 1 2 1 log 3 b ， 0.3 1 2 c ，则（ ）

23、 Aabc Bacb Cbca Dbac 【解析】 B； 二、填空题 6、 若函数 log1 a f xx的定义域和值域都是0, 1，则a的值为 【解析】 2 课后习题 25 7、 当1, 2x时，不等式 2 40xmx恒成立，则m的取值范围是 【解析】 ,5 令 2 4f xxmx，则 10f且 20f，解得5m 8、 给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量 0 x，都有函数值 0 f xD， 则称函数 yfx在D上封闭若定义域0, 1D，则下列函数中，在D上封闭的 是 31f xx； 2 11 1 22 f xxx ； 1f xx ； 1 2 yx 【解析】 9、 设1a ，

24、若仅有一个常数c，使得对于任意的, 2xaa，都有 2 ,yaa 满足方程 loglog aa xyc，这时a的取值的集合为 【解析】 2 三、解答题 10、 已知过原点O的一条直线与函数 8 logyx的图象交于A、B两点， 分别过点A、B作y轴 的平行线与函数 2 logyx的图象交于C、D两点 证明：点C、D和原点O在同一条直线上； 当BC平行于x轴时，求点A的坐标 【解析】 证明：设A、B的横坐标分别为 1 x、 2 x， 由题意知， 1 1x ， 2 1x ，则A、B的纵坐标分别为 81 log x、 82 log x， 因为A、B在过点O的直线上，所以 8182 12 loglog

25、xx xx 点C、D坐标分别为 121 , logxx、 222 , logxx， 容易证明 OCOD kk，于是命题得证 当BC平行于x轴时， 3 12 xx，进而 8 3 , log3A 11、 求函数 2 1 23 x f x xx ，0, 3x的值域 【解析】 22 , 94 12、 已知函数 2 2 8 1 axxb y x 的最大值为9，最小值为1，求实数a、b的值 【解析】 5a ，5b 13、 已知函数 2 f xxbxc（,bcR，0b ） ， 当 f x的定义域为0, 1时，值域也是0, 1，求,bc的值 当2b 时，函数 f x g x x 对于任意的3,x， 0g x 恒成立，试求实数c的 26 取值范围 【解析】 2,1bc ； 3c