高三理科数学暑期讲义 第5讲.等差数列与等比数列 教师版
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1、 48 本讲不分节,建议用时3课时复习重点为等差数列与等比数列的基本量、常用性质以及对定义的 深入理解其中共 6 道例题,等差数列与等比数列的基本量各一道例题,等差数列与等比数列的性质 各一道例题,等差数列与等比数列的判定共两道例题 一、等差数列 1定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示 通项公式: 1 (1)() nm aandanm d; 前n项和公式: 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 2等差数列 n a的性质(其中公差为d,前n项和为 n S) :
2、() nm aanm d, nm aa d nm ; 若pqmn,则有 pqmn aaaa;若2mp q,则有2 mpq aaa(p,q,m,n N) ; 等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 n a, n m a , 2nm a ,为等差数列,公差为md; 等差数列的连续n项和也构成等差数列, 即 232nnnnn SSSSS,为等差数列, 公差为 2 n d; 对于奇数项和有 121 21 () (21)(21) 2 n nn aa Snna ; 知识梳理 知识结构图 第 5 讲 等差数列与 等比数列 49 对于偶数项和有 12 21 () 2() 2 n nnn aa Snn aa ;
3、 若 n b也为等差数列,记 n S为其前n项和,则 21 (21) nn Snb , 21 21 nn n n aS b S 二、等比数列 3定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母(0)q q 表示等比数列 中的项不为0 通项公式: 1 1 nn m nm aaqa q ;前n项和公式: 1 11 1 (1) 1 11 n n n naq S aa qaq q qq , , 4等比数列 n a的性质(其中公比为q) : n m nm aa q , n n m m a q a ; 若pq
4、mn,则有 pqmn aaaa;若2mpq,则有 2 mpq aaa; 等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 n a, n m a , 2nm a ,为等比数列,公比为 m q 等比数列的连续n项和也构成等比数列,即 232nnnnn SSSSS,为等比数列,公比为 n q (2012 北京理 10) 已知 n a为等差数列, n S为其前n项和若 1 1 2 a , 23 Sa,则 2 a ; n S 【解析】 1; 2 4 nn ; (2011 北京理 11) 在等比数列 n a中,若 1 1 2 a , 4 4a ,则公比q ; 12n aaa 【解析】 2; 1 1 2 2 n ;
5、1、 在等比数列 n a中, 4 4a ,则 26 aa等于( ) A 4 B 8 C 16 D 32 2、 等差数列 n a的前n项和为 n S,且 3 6S , 3 4a ,则公差d等于( ) A1 B 5 3 C2 D3 3、 已知数列 n a的前n项和为 2 9 n Snn,第k项满足58 k a,则k等于( ) A9 B8 C7 D6 4、 已知 n a为等差数列, 135 105aaa, 246 99aaa, 以 n S表示 n a的前n项和, 小题热身 真题再现 50 则使得 n S达到最大值的n是( ) A21 B20 C19 D18 5、 等差数列 n a的前n项和为 n S
6、,已知 5 8a , 3 6S ,则 107 SS的值是( ) A24 B36 C48 D72 6、 设 n a是等比数列,则“1q ”是“数列 n a是递增数列”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7、 已知数列 n a的前n项和为 n n Saq(0a ,1q ,q为非零常数) , 则 n a为 ( ) A等差数列 B等比数列 C既是等差数列,又是等比数列 D既不是等差数列,又不是等比数列 8、 等比数列 n a的前n项和为 n S,且 123 4, 2,aaa成等差数列若 1 1a ,则 4 S ( ) A7 B8 C15 D16 9
7、、 已知数列 n a为等比数列, n S是它的前n项和,若 231 2aaa,且 4 a与 7 2a的等差中 项为 5 4 ,则 5 S ( ) A35 B33 C31 D29 10、 已知等比数列 n a的公比为q,前n项和为 n S,且 396 ,SSS成等差数列,则 3 q等于 ( ) A1 B 1 2 C1或 1 2 D1或 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B B C D D C C B 【教师备案】由于最近几年北京高考的最后一题已经固定为创新题,以集合或数列题型出现,因此常 规的等差等比数列题型除了在期末一模二模的大题偶有涉及,一般只在小题中出现而 在小题中
8、的考察就以考察基本量和基本性质为主 等差数列的基本量: 1 a,d,n, n a, n S;知道其中任意三个就可以确定另外两个; 等比数列的基本量: 1 a,q,n, n a, n S;同样也是知道其中三个就可以确定另外两个 考点:等差数列的基本量 【例1】 (2010 辽宁 14)设 n S为等差数列 n a的前n项和,若 36 324SS,则 9 a (2010 海淀一模理 6)已知等差数列1,ab,等比数列3 ,2 ,5ab,则该等差数列 的公差为( ) A3或3 B3或1 C3 D3 已知数列 n a是非零等差数列,又 1 a, 3 a, 9 a组成一个等比数列的前三项,则 139 2
9、410 aaa aaa 的值是( ) A1 B 13 16 C1或 13 16 D不能确定 【解析】 15; C; C 考点:等比数列的基本量 经典精讲 51 【例2】 (2010 福建理 11)在等比数列 n a中,若公比4q ,且前 3 项之和等于 21,则该数列 的通项公式 n a (2010 湖北文 7)已知等比数列 n a中,各项都是正数,且 1 a、 3 1 2 a、 2 2a成等差数列, 则 910 78 aa aa ( ) A12 B12 C32 2 D32 2 (2011 年上半学期西城高三期末统考理 6)设等比数列 n a的前n项和为 n S,若 25 80aa,则下列式子
10、中数值不能确定的是( ) A 5 3 a a B 5 3 S S C 1n n a a D 1n n S S (2010 天津理 6)已知 n a是首项为 1 的等比数列, n S是 n a的前n项和,且 36 9SS, 则数列 1 n a 的前 5 项和为( ) A 15 8 或 5 B 31 16 或 5 C 31 16 D15 8 【解析】 1 4n; C D C 【拓1】 (2009 江苏卷 14)设 n a是公比为q的等比数列,1q ,令1(12) nn ban , ,若数 列 n b有连续四项在集合5323 193782, ,中,则6q 【解析】 9 【教师备案】小题中对于等差数列
11、性质的考查,常着手于以下方面: n a是等差数列 n a是n不超过一次的多项式(因为 1 () n adnad) ; n S是n不超过二次的多项式且常数项必定为0(因为 2 1 22 n dd Snan ) ; n S n 是等差数列,且公差为 2 d (因为 1 22 n Sdd na n ) ; n S的最值: 若0d ,则 n S有最小值:若 1 0a ,则最小值就是 1 S;若 1 0a ,则最小值就是前面 全体非正项的和; 反之,若0d ,则 n S有最大值:若 1 a 0,则最大值就是 1 S;若 1 0a ,则最大值就 是前面全体非负项的和; 实际考试中,对 1 0a d 的情形
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